RECTA NUMÉRICA Y ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

RECTA NUMÉRICA Y ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Recta Numérica en los Números Enteros

La recta numérica es una herramienta útil para visualizar y comprender la relación entre los números enteros. Consiste en una línea recta donde cada punto representa un número entero.

Ubicación de números enteros en la recta numérica

Ejercicio 1: Ubicar los números enteros -3, 0 y 5 en la recta numérica.

Solución: 

Para ubicar -3 en la recta numérica, nos movemos 3 unidades hacia la izquierda desde el 0 y marcamos el punto correspondiente. Para ubicar 5, nos movemos 5 unidades hacia la derecha desde el 0 y marcamos el punto correspondiente. El número 0 se ubica en el punto central de la recta numérica.

-3 0 5 ◄--------●--------►

Comparación de números enteros en la recta numérica

Ejercicio 2: Comparar los números enteros -6 y 2 en la recta numérica.

Solución: Podemos observar que -6 se ubica a la izquierda del 0, mientras que 2 se ubica a la derecha del 0. Por lo tanto, podemos concluir que 2 es mayor que -6.

-6 0 2 ◄--------●--------►

La recta numérica real o recta de coordenadas

es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real. Se usa el símbolo para este conjunto.

Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.

Orden de los números enteros

El orden de los números enteros es una parte fundamental de las matemáticas, que nos permite comparar y clasificar los números enteros en función de su magnitud. A continuación, se presentan 5 ejercicios resueltos paso a paso utilizando subtemas incluidos en el tema.

Comparación de números enteros

Ejercicio 1: Comparar los números enteros -5 y 3.

Solución: Podemos observar que -5 se ubica a la izquierda del 0, mientras que 3 se ubica a la derecha del 0. Por lo tanto, podemos concluir que 3 es mayor que -5.

Ordenamiento de números enteros en una secuencia

Ejercicio 2: Ordenar los números enteros -3, 7, 0, -2, 5 en una secuencia de menor a mayor.

Solución: La secuencia de menor a mayor quedaría: -3, -2, 0, 5, 7.

Ordenamiento de números enteros en una recta numérica

Ejercicio 3: Ubicar los números enteros -2, 0, 4 en una recta numérica y ordenarlos de menor a mayor.

Solución: Los números se ubican en la recta numérica de la siguiente manera:

-2 0 4 ◄--------●--------►

La secuencia de menor a mayor quedaría: -2, 0, 4.

Valor absoluto de números enteros

Ejercicio 4: Calcular el valor absoluto de los números enteros -8, 0, 3.

Solución: El valor absoluto de -8 es 8, el de 0 es 0 y el de 3 es 3.

Propiedades del orden de los números enteros

Ejercicio 5: Demostrar que si a es un número entero y b es un número entero positivo, entonces a < a + b.

Solución: Sabemos que b es positivo, por lo que a + b siempre será mayor que a. Por lo tanto, podemos concluir que a < a + b.

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LÍMITE TRIGONOMÉTRICO ejercicios resueltos

Límite Trigonométrico | Ejercicios Resueltos

Los Limites trigonométricos se pueden resolver aplicando un límite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un número, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites.

Los tipos de teoremas básicos generalmente proporcionan en su primera aplicación, la indeterminación 0/0. Por ello, es necesario tener en cuenta la aplicación de las identidades básicas trigonométricas, para eliminar tal indeterminación.

1. Límite Trigonométrico

Los límites trigonométricos son una herramienta importante en el cálculo de límites que involucran funciones trigonométricas. Estos límites se utilizan para encontrar el valor al que se aproximan las funciones trigonométricas cuando la variable independiente se acerca a cierto valor o cuando se alcanza un valor determinado.

2. Límites trigonométricos básicos

Los límites trigonométricos básicos son aquellos que involucran funciones trigonométricas elementales como el seno, el coseno y la tangente. A continuación, se presentan 2 ejercicios resueltos paso a paso.

Ejercicio 1: Calcular el límite: lim(x→0) (sen(x))/x.

Solución: Usando la definición de límite, tenemos:

lim(x→0) (sen(x))/x = 1.

Ejercicio 2: Calcular el límite: lim(x→π/4) (cos(x) - √2/2)/(x - π/4).

Solución: Usando la regla de L'Hôpital, tenemos:

lim(x→π/4) (cos(x) - √2/2)/(x - π/4) = 

lim(x→π/4) -sen(x)/(x - π/4) = -1/√2.

3. Límites trigonométricos con identidades trigonométricas

Los límites trigonométricos con identidades trigonométricas son aquellos que se resuelven utilizando identidades trigonométricas para simplificar la función trigonométrica y luego aplicando las técnicas básicas de límites. A continuación, se presentan 2 ejercicios resueltos paso a paso.

Ejercicio 3: Calcular el límite: lim(x→0) (1 - cos(x))/x^2.

Solución: Usando la identidad trigonométrica 1 - cos(x) = 2sen^2(x/2), podemos simplificar la función y obtener:

lim(x→0) (1 - cos(x))/x^2 = 

lim(x→0) 2sen^2(x/2)/x^2 = 

lim(x→0) (sen(x/2)/x/2)^2 = 1/2.

Ejercicio 4: Calcular el límite: lim(x→0) (sen(x) + x)/x^3.

Solución: Usando la identidad trigonométrica sen(x) = x - (x^3)/3! + O(x^5), podemos simplificar la función y obtener:

lim(x→0) (sen(x) + x)/x^3 = 

lim(x→0) (x - (x^3)/3! + O(x^5) + x)/x^3 = 

lim(x→0) (1/x^2 - 1/3! + O(x^2)) = ∞.

4. Límites trigonométricos con funciones exponenciales

Los límites trigonométricos con funciones exponenciales son aquellos que se resuelven utilizando propiedades de las funciones exponenciales y trigonométricas para simplificar la función y luego aplicando las técnicas básicas de límites. A continuación, se presentan 2 ejercicios resueltos paso a paso.

Ejercicio 5: Calcular el límite: lim(x→0) [(e^x - 1)/x]cos(x).

Solución: Usando la regla de L'Hôpital, tenemos:

lim(x→0) [(e^x - 1)/x]cos(x) = 

lim(x→0) [(e^x)/1]cos(x) = cos(0) = 1.

Ejercicio 6: Calcular el límite: lim(x→π/2) (1 - cos(x))/e^(tan(x) - π/2).

Solución: Usando la identidad trigonométrica 1 - cos(x) = 2sen^2(x/2) y la propiedad exponencial e^a/b = (e^a)^(1/b), podemos simplificar la función y obtener:

lim(x→π/2) (1 - cos(x))/e^(tan(x) - π/2) = 

lim(x→π/2) 2sen^2(x/2)/(e^(tan(x) - π/2)) = 

lim(x→π/2) (sen(x/2)/cos(x/2))^2/(e^(tan(x) - π/2)) = 

lim(x→π/2) [(sen(x/2)/cos(x/2))/(e^(tan(x) - π/2))]^2 = 

lim(x→π/2) [(sen(x/2)/cos(x/2))/(e^[(tan(x) - π/2)/2])]^2 = 1/4.

Límite Trigonométrico | Ejemplo paso a paso

Explicación para expresar un ejercicio determinado en términos de senos y cosenos.

Ejercicios Resueltos de Límites Trigonométricos

Ejercicios resueltos por el profe Jorge paso a paso, de forma detallada.

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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2x2 EJERCICIOS RESUELTOS

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema 2 X 2

Consiste en dos ecuaciones lineales en dos variables.

La solución de este sistema es todo par ordenado que pertenezca al conjunto solución de ambas ecuaciones.

Un sistema 2x2 de ecuaciones lineales es un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas cada una. Estas ecuaciones se escriben generalmente en la forma:

ax + by = c

dx + ey = f

donde a, b, c, d, e, f son coeficientes numéricos y x, y son las incógnitas. El objetivo del sistema es encontrar los valores de x y y que satisfagan ambas ecuaciones simultáneamente.

Este tipo de sistemas se pueden resolver de varias maneras, como por ejemplo por el método de sustitución, el método de eliminación o por medio de matrices. La solución del sistema puede ser un par ordenado (x, y) si existe una única solución, una infinidad de soluciones si las dos ecuaciones son equivalentes o no tiene solución si las dos ecuaciones son contradictorias.

Sistema determinado

1. La solución es un par ordenado, es decir existe una solución única.
2. El par ordenado es la coordenada del punto de intersección.

Sistema inconsistente

• Ambas líneas tienen la misma inclinación por lo tanto no hay intersección entre ellas, decimos que son líneas paralelas.
• Este sistema no tiene solución.

Sistema dependiente

Este sistema consta de dos ecuaciones equivalentes por lo que el conjunto
solución es un conjunto infinito de la forma { (x,y)| ax + by + c = 0 }

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales 2x2?

Hay varias formas de resolver un sistema de ecuaciones lineales 2x2, pero aquí te describiré dos de los métodos más comunes:

• Método de sustitución:

En este método, se despeja una de las variables en una de las ecuaciones y se sustituye en la otra ecuación. Luego, se resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de la variable restante. Finalmente, se sustituye este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable. Los pasos para resolver un sistema 2x2 por el método de sustitución son los siguientes:

1. Despejar una variable en una de las ecuaciones, por ejemplo, si la primera ecuación es ax + by = c, despejar y para obtener y = (c - ax) / b.
2. Sustituir esta expresión de y en la segunda ecuación, dx + ey = f, para obtener una ecuación con una sola variable en términos de x.
3. Resolver la ecuación resultante para x.
4. Sustituir el valor de x encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de y.

• Método de eliminación:

En este método, se suman o restan las dos ecuaciones para eliminar una de las variables y luego se resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de la variable restante. Los pasos para resolver un sistema 2x2 por el método de eliminación son los siguientes:

1. Multiplicar una de las ecuaciones por un número adecuado de manera que el coeficiente de una de las variables en ambas ecuaciones sea igual y opuesto. Por ejemplo, si las dos ecuaciones son ax + by = c y dx + ey = f, multiplicar la primera ecuación por e y la segunda ecuación por -b para que ambos términos tengan un coeficiente de ey.
2. Sumar o restar las dos ecuaciones para eliminar una de las variables y obtener una ecuación con una sola variable.
3. Resolver la ecuación resultante para encontrar el valor de la variable restante.
4. Sustituir el valor de esta variable en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

En ambos métodos, es importante verificar la solución encontrada reemplazando los valores de x y y en ambas ecuaciones originales para asegurarse de que sean solución del sistema.

EJERCICIOS RESUELTOS

Solución de un Sistema de Ecuaciones de 2x2 por el Método de Cramer

El método de Cramer es una forma sistemática de resolver estos sistemas.

Solución de un Sistema de 2 x 2 por el Método de Sustitución

Uno de los métodos para resolver estos sistemas de ecuaciones es el de sustitución que abordamos a continuación resolviendo ejercicios.

Ejercicio: 

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x2 por el método de sustitución:

2x + y = 7   (primera ecuación)

x - y = 1      (segunda ecuación)

Solución:

Paso 1: Despejar una variable en una de las ecuaciones. 

En este caso, despejaremos x en la segunda ecuación:

x - y = 1

x = y + 1

Paso 2: Sustituir esta expresión de x en la primera ecuación:

2x + y = 7

2(y + 1) + y = 7

Paso 3: Resolver la ecuación resultante para y:

2y + 2 + y = 7

3y = 5

y = 5/3

Paso 4: Sustituir el valor encontrado de y en la expresión de x que obtuvimos en el paso 1:

x = y + 1

x = (5/3) + 1

x = 8/3

Paso 5: Verificar la solución reemplazando los valores encontrados de x e y en ambas ecuaciones originales:

2x + y = 7

2(8/3) + (5/3) = 7

16/3 + 5/3 = 7

7 = 7 (Es una solución válida)

 

x - y = 1

(8/3) - (5/3) = 1

3/3 = 1 (Es una solución válida)

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones lineales es x = 8/3 y y = 5/3.

Solución de un Sistema de 2 x 2 por el Método de Eliminación (Suma y Resta)

Ejercicios resueltos por el método de eliminación, forma de eliminar una de las letras y poder trabajar sólo con una para resolver el sistema de forma práctica.

Ejercicio: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x2 por el método de eliminación:

3x + 2y = 7 (primera ecuación)

2x - 5y = -8 (segunda ecuación)

Solución:

Paso 1: Multiplica la primera ecuación por 5, la segunda ecuación por 2 para eliminar y:

15x + 10y = 35

4x - 10y = -16

Paso 2: Sumar ambas ecuaciones para eliminar y:

15x + 10y + 4x - 10y = 35 - 16

Simplificando, obtenemos:

19x = 19

Paso 3: Resolver la ecuación resultante para x:

19x = 19

x = 1

Paso 4: Sustituir el valor encontrado de x en una de las ecuaciones originales para encontrar y:

3x + 2y = 7

3(1) + 2y = 7

Paso 5: Resolver la ecuación resultante para y:

3 + 2y = 7

2y = 4

y = 2

Paso 6: Verificar la solución reemplazando los valores encontrados de x e y en ambas ecuaciones originales:

3x + 2y = 7

3(1) + 2(2) = 7

3 + 4 = 7

7 = 7 (Es una solución válida)

2x - 5y = -8

2(1) - 5(2) = -8

2 - 10 = -8

-8 = -8 (Es una solución válida)

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones lineales es x = 1 y y = 2.

Solución de un Sistema de 2 x 2 por el Método de Igualación

Forma de resolver el sistema por el método de igualción, escogemos una letra para despejar y luego igualamos las expresiones resultantes, lo cual nos permite trabajar con una de las letras.

Ejercicio: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x2 por el método de igualación:

2x - 3y = 4 (primera ecuación)

4x + y = 7 (segunda ecuación)

Solución:

Paso 1: Despejar una variable en ambas ecuaciones.

En este caso, despejaremos y en la primera ecuación y x en la segunda ecuación:

2x - 3y = 4

-3y = -2x + 4

y = (2/3)x - (4/3)

4x + y = 7

y = -4x + 7

Paso 2: Igualar ambas expresiones de y:

(2/3)x - (4/3) = -4x + 7

Paso 3: Resolver la ecuación resultante para x:

(2/3)x + 4x = 7 + (4/3)

(14/3)x = (25/3)

x = (25/3) ÷ (14/3)

x = 25/14

Paso 4: Sustituir el valor encontrado de x en cualquiera de las expresiones de y que obtuvimos en el paso 1 para encontrar y:

y = (2/3)x - (4/3)

y = (2/3)(25/14) - (4/3)

y = 5/7 - (16/21)

y = (5/7) - (8/21)

y = (15/21) - (8/21)

y = 7/21

Paso 5: Verificar la solución reemplazando los valores encontrados de x e y en ambas ecuaciones originales:

2x - 3y = 4

2(25/14) - 3(7/21) = 4

(25/7) - (9/7) = 4

16/7 = 4

4 = 4 (Es una solución válida)



4x + y = 7

4(25/14) + (7/21) = 7

(50/7) + (1/3) = 7

(150/21) + (7/21) = 7

157/21 = 7

7 = 7 (Es una solución válida)

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones lineales es x = 25/14 y y = 7/21.

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Suma y Resta de Números Enteros | Ejercicios Resueltos

1. Introducción a la Suma de Números Enteros

La suma de números enteros es una operación aritmética básica que consiste en encontrar la cantidad total resultante de sumar dos o más números enteros. En este tema, se presentarán los conceptos básicos de la suma de números enteros y se proporcionarán ejemplos resueltos paso a paso.

2. Reglas básicas para la Suma de Números Enteros

A. Suma de dos números enteros

Cuando se suman dos números enteros, se debe seguir la siguiente regla: si ambos números son positivos, se suman; si ambos son negativos, se suman y se coloca el signo negativo en el resultado; si uno de los números es positivo y el otro es negativo, se restan y se coloca el signo del número con mayor valor absoluto en el resultado.

B. Suma de tres o más números enteros

Cuando se suman tres o más números enteros, se puede realizar la suma de dos números a la vez o se pueden agrupar los números de forma que se sumen todos los números positivos y luego todos los números negativos. La suma final es el resultado de restar la suma de los números negativos a la suma de los números positivos.

3. Ejercicios resueltos paso a paso

A continuación se presentan 10 ejemplos resueltos paso a paso de suma de números enteros:

1. 3 + 5 = 8
2. -4 + 7 = 3
3. 2 + (-6) = -4
4. -8 + (-2) = -10
5. 4 + (-5) + 8 = 7
6. -3 + 6 - 2 = 1
7. 9 + (-3) - 7 + 2 = 1
8. -10 + 5 - 8 + 12 = -1
9. 2 + 4 + (-6) - 3 = -3
10. -5 + (-7) + 9 - 3 = -6

En cada ejemplo, se aplicó la regla correspondiente para sumar los números enteros. En algunos ejemplos, se agruparon los números para realizar la suma de dos a la vez, mientras que en otros se sumaron todos los números positivos y luego todos los números negativos para obtener el resultado final.

Con estos ejemplos, se demuestra la importancia de conocer las reglas básicas de la suma de números enteros para poder realizar operaciones aritméticas precisas y obtener resultados correctos.

4. Introducción a la Resta de Números Enteros

En el ámbito de las matemáticas, la resta es una de las operaciones aritméticas más básicas. En términos generales, la resta implica la eliminación de una cantidad de otra. Por ejemplo, si se tiene un total de 10 manzanas y se quitan 4, se tendrán 6 manzanas restantes.

En el caso de los números enteros, la resta implica la diferencia entre dos valores enteros. En otras palabras, la resta de números enteros es el proceso de encontrar la diferencia entre dos números enteros.

5. Reglas para la Resta de Números Enteros

La resta de números enteros se rige por las siguientes reglas:

1. La resta de un número positivo y un número negativo se convierte en una suma. Ejemplo: 5 - (-3) = 5 + 3 = 8

2. La resta de dos números negativos se convierte en una suma. Ejemplo: -7 - (-3) = -7 + 3 = -4

3. La resta de dos números positivos se realiza normalmente. Ejemplo: 10 - 4 = 6

4. La resta de un número negativo y un número positivo se realiza normalmente, pero se cambia el signo del número negativo. Ejemplo: -8 - 3 = -(8 + 3) = -11

6. Ejercicios Resueltos Sobre Resta de Enteros

1. 5 - 3 = 2 En este ejemplo, se realiza la resta de dos números positivos. La respuesta es 2.

2. -8 - (-3) = -8 + 3 = -5 En este ejemplo, se resta un número negativo de otro número negativo. La respuesta es -5.

3. 7 - (-2) = 7 + 2 = 9 En este ejemplo, se resta un número negativo de un número positivo. La respuesta es 9.

4. -5 - 3 = -(5 + 3) = -8 En este ejemplo, se resta un número positivo de un número negativo. La respuesta es -8.

5. 0 - (-7) = 0 + 7 = 7 En este ejemplo, se resta un número negativo de cero. La respuesta es 7.

6. 4 - 4 = 0 En este ejemplo, se resta dos números iguales. La respuesta es 0.

7. -6 - (-6) = -6 + 6 = 0 En este ejemplo, se resta un número negativo de otro número negativo, pero ambos números son iguales. La respuesta es 0.

8. 9 - 12 = -3 En este ejemplo, se resta un número positivo de otro número positivo, pero el resultado es negativo. La respuesta es -3.

9. -2 - 5 = -(2 + 5) = -7 En este ejemplo, se resta un número positivo de un número negativo. La respuesta es -7.

10. -10 - (-8) = -10 + 8 = -2 En este ejemplo, se resta un número negativo de otro número negativo, pero el resultado es positivo. La respuesta es -2.

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EJERCICIOS RESUELTOS TEOREMA DEL SENO Y COSENO

1.Teorema del Seno | Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1: Dado un triángulo ABC con ángulos ∠A = 50°, ∠B = 70° y ∠C = 60° y un lado conocido de medida AB = 8 cm, encuentra la medida de los otros dos lados del triángulo.

Solución:

1. Aplicamos el teorema del seno para encontrar el lado AC:

   sen(50°)/8 = sen(60°)/AC
   AC = 8·sen(60°)/sen(50°) ≈ 9.318 cm
   sen(70°)/BC = sen(60°)/AC
   BC = AC·sen(70°)/sen(60°) ≈ 10.17 cm

2. Aplicamos el teorema del seno para encontrar el lado BC:

Por lo tanto, los lados del triángulo ABC son AB = 8 cm, AC ≈ 9.318 cm y BC ≈ 10.17 cm.

Ejercicio 2: En un triángulo ABC, se sabe que AB = 5 cm, AC = 8 cm y el ángulo ∠BAC mide 120°. Encuentra la medida del lado BC.

Solución:

1. Aplicamos el teorema del seno: BC/sen(120°) = AB/sen(∠BCA) = AC/sen(∠CAB)

2. Despejamos BC: BC = sen(120°)·AC/sen(∠CAB) BC = √3·8/sen(∠CAB)

3. Usando la ley de cosenos, sabemos que: cos(∠CAB) = (AC^2 + AB^2 - BC^2)/(2·AC·AB) cos(∠CAB) = (8^2 + 5^2 - BC^2)/(2·8·5) cos(∠CAB) = (89 - BC^2)/80

4. Despejamos sen(∠CAB) usando la identidad trigonométrica: sen^2(∠CAB) = 1 - cos^2(∠CAB) sen^2(∠CAB) = 1 - (89 - BC^2)/80 sen^2(∠CAB) = (BC^2 - 9)/80 sen(∠CAB) = √((BC^2 - 9)/80)

5. Sustituimos sen(∠CAB) en la ecuación de BC: BC = √3·8/sen(∠CAB) = √3·8/√((BC^2 - 9)/80) BC^2 = (3/4)·(BC^2 - 9)/80·64 BC ≈ 6.858 cm

Por lo tanto, el lado BC mide aproximadamente 6.858 cm.

2. Ejercicios Resueltos del Teorema del Seno Organizados en Tabla

#	Datos	Fórmula	Solución
1	a = 8, b = 10, A = 45°	a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)	a/sen(A) = 8/sen(45°) = 11.31
			b/sen(B) = 10/sen(B) = 14.14
			c/sen(C) = c/sen(90°-A-B) = 15.56
2	a = 5, b = 7, A = 60°	a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)	a/sen(A) = 5/sen(60°) = 5.77
			b/sen(B) = 7/sen(B) = 8.09
			c/sen(C) = c/sen(90°-A-B) = 9.43
3	a = 6, b = 9, C = 30°	a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)	a/sen(A) = 6/sen(60°) = 6.93
			b/sen(B) = 9/sen(B) = 10.39
			c/sen(C) = c/sen(30°) = 12
4	b = 12, c = 15, A = 40°	a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)	a/sen(A) = a/sen(40°) = 8.46
			b/sen(B) = 12/sen(B) = 14.55
			c/sen(C) = 15/sen(C) = 23.09
5	a = 8, b = 10, C = 70°	a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)	a/sen(A) = 8/sen(110°) = -5.38
			b/sen(B) = 10/sen(70°) = 13.29
			c/sen(C) = c/sen(70°) = 12.02

3.Teorema del Coseno | Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1: Dados los lados de un triángulo ABC de medida a = 7, b = 9 y c = 10, encuentra el ángulo opuesto al lado c.

Solución: Para encontrar el ángulo opuesto al lado c, utilizamos el teorema del coseno. Primero, calculamos el coseno del ángulo opuesto al lado c: cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab) cos(C) = (7^2 + 9^2 - 10^2) / (279) cos(C) = 0.575 Ahora, despejamos el ángulo C utilizando la función inversa del coseno: C = cos^-1(0.575) C = 55.27°

Por lo tanto, el ángulo opuesto al lado c mide aproximadamente 55.27°.

Ejercicio 2: Un triángulo tiene un lado de medida 10 cm y los otros dos lados miden 8 cm y 6 cm. Encuentra el ángulo opuesto al lado de 10 cm.

Solución: De nuevo, utilizamos el teorema del coseno para encontrar el ángulo opuesto al lado de 10 cm. Primero, identificamos los lados del triángulo y el ángulo opuesto: a = 10 cm, b = 8 cm, c = 6 cm A es el ángulo opuesto al lado a.

Ahora, calculamos el coseno del ángulo A: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc) cos(A) = (8^2 + 6^2 - 10^2) / (286) cos(A) = 0.25

Despejamos el ángulo A utilizando la función inversa del coseno: A = cos^-1(0.25) A = 75.52°

Por lo tanto, el ángulo opuesto al lado de 10 cm mide aproximadamente 75.52°.

Ejercicio 3: En un triángulo ABC, los lados tienen medida a = 5 cm, b = 7 cm y c = 8 cm. Encuentra la medida del ángulo opuesto al lado b.

Solución: De nuevo, utilizamos el teorema del coseno para encontrar la medida del ángulo opuesto al lado b. Primero, identificamos los lados del triángulo y el ángulo opuesto: a = 5 cm, b = 7 cm, c = 8 cm A es el ángulo opuesto al lado a.

Calculamos el coseno del ángulo A: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc) cos(A) = (7^2 + 8^2 - 5^2) / (278) cos(A) = 0.634

Despejamos el ángulo A utilizando la función inversa del coseno: A = cos^-1(0.634) A = 50.17°

Por lo tanto, el ángulo opuesto al lado b mide aproximadamente 50.17°.

4. Ejercicios Resueltos del Teorema del Coseno Organizados en Tabla

Ejercicio	Datos	Fórmula utilizada	Solución
1	a = 10 cm, b = 8 cm, c = 12 cm, ∠A = 40°	c² = a² + b² - 2ab cos(∠C)	c² = 10² + 8² - 2(10)(8)cos(40°) = 144.2 cm², c ≈ 12.00 cm
2	a = 5 m, b = 7 m, ∠C = 120°, ∠A = 40°	c² = a² + b² - 2ab cos(∠C)	c² = 5² + 7² - 2(5)(7)cos(120°) = 34 + 35cos(120°) = 69.5 m², c ≈ 8.34 m
3	a = 8 cm, b = 10 cm, c = 12 cm, ∠A = 30°	b² = a² + c² - 2ac cos(∠B)	b² = 8² + 12² - 2(8)(12)cos(30°) = 196 cm², b = √196 = 14 cm
4	a = 12 m, b = 10 m, c = 8 m, ∠A = 70°	a² = b² + c² - 2bc cos(∠A)	a² = 10² + 8² - 2(10)(8)cos(70°) = 179.5 m², a ≈ 13.4 m
5	a = 6 cm, b = 7 cm, c = 9 cm, ∠A = 60°, ∠B = 50°	c² = a² + b² - 2ab cos(∠C), ∠C = 180° - ∠A - ∠B	c² = 6² + 7² - 2(6)(7)cos(70°) = 24.4 cm², c ≈ 4.94 cm, ∠C ≈ 70°

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