Ecuacion de la circunferencia

La Ecuación de la Circunferencia - Ejercicios Resueltos

La ecuación de la forma estándar de una círcunferencia es una forma de expresar la definición de de ésta en el plano de coordenadas.

• En el plano de coordenadas, la fórmula se convierte en:

(x-h)² + (y-k)² = r²

donde h y k son las coordenadas x e y del centro del círculo

o (x-9)² + (y-6)² = 100 es un círculo centrado en (9,6) con un radio de 10

Introducción a la Circunferencia

La circunferencia es una figura geométrica comúnmente vista en problemas de geometría y trigonometría. 

Se define como el conjunto de puntos en un plano que se encuentran a una distancia fija (llamada radio) de un punto fijo (llamado centro). La ecuación de la circunferencia es una forma de expresar la relación matemática entre los puntos de la circunferencia y su centro.

Ecuación de la circunferencia

La ecuación de la circunferencia se escribe en la forma estándar:

(x - h)² + (y - k)² = r²

donde (h, k) son las coordenadas del centro de la circunferencia y r es su radio.

Ejercicio Resuelto 1

Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (3, -2) y radio de 5 unidades.

Para resolver este problema, sustituimos los valores dados en la ecuación estándar de la circunferencia:

(x - 3)² + (y + 2)² = 25

Ejercicio Resuelto 2

Encuentre el centro y el radio de la circunferencia con la ecuación:

X² + y² - 4x + 6y + 9 = 0

Primero reorganizamos la ecuación para obtener la forma estándar de la ecuación de la circunferencia. 

Para hacer esto, agrupamos los términos que contienen x y y, y luego completamos el cuadrado para cada término:

(x² - 4x) + (y² + 6y) = -9

(x - 2)² - 4 + (y + 3)² - 9 = -9

(x - 2)² + (y + 3)² = 4

Por lo tanto, el centro de la circunferencia es (2, -3) y su radio es 2 unidades.

Conclusión sobre la ecuación de la circunferencia

La ecuación de la circunferencia es una herramienta útil en la geometría y la trigonometría, ya que nos permite describir la relación matemática entre los puntos de la circunferencia y su centro. 

Con la práctica, es fácil usar esta ecuación para resolver problemas de circunferencias en una variedad de contextos.

Leer más...

Teoria de Conjuntos Ejercicios Resueltos

Teoría de Conjuntos. Ejercicios

La teoría de conjuntos es la rama de las matemáticas que estudia los conjuntos, que son colecciones de objetos. 

Aunque cualquier tipo de objeto se puede recoger en un conjunto, la teoría de conjuntos se aplica con mayor frecuencia a los objetos que son relevantes para las matemáticas. 

El lenguaje de la teoría de conjuntos puede ser utilizado en las definiciones de casi todos los objetos matemáticos.

La Teoría de Conjuntos: Fundamento de las Matemáticas

El estudio moderno de la teoría de conjuntos fue iniciada por Georg Cantor y Dedekind Richard en 1870. 

Después del descubrimiento de las paradojas de la teoría de conjuntos, numerosos sistemas axiomáticos se propusieron en el siglo XX, de los cuales los axiomas de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección, son los más conocidos.

La teoría de conjuntos se refiere a la noción de un conjunto, esencialmente una colección de objetos que llamamos elementos.

Debido a su generalidad, la teoría de conjuntos es la base de casi todas las demás partes de las matemáticas.

Todas las matemáticas se basan en conjuntos

La teoría de conjuntos se emplea comúnmente como un sistema fundamental para las matemáticas, particularmente en la forma de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección. 

Más allá de su papel fundacional, la teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas en sí misma, con una comunidad de investigación activa. 

La investigación contemporánea en la teoría de conjuntos incluye una colección diversa de temas, que van desde la estructura de la recta numérica real para el estudio de la consistencia de los grandes cardinales.

Conceptos básicos de la teoría de conjuntos

Ejercicios Resueltos

La teoría de conjuntos se inicia con una relación binaria fundamental entre un objeto o y un conjunto A. Si o es un miembro (o elemento) de A, o ∈ A. Puesto que los conjuntos son objetos, la relación de pertenencia se puede relacionar con conjuntos también.

La Unión de los conjuntos A y B, se denotado A ∪ B, es el conjunto de todos los objetos que son miembros de A, o B, o ambos. La unión de {1, 2, 3} y
{ 3, 4} es el conjunto {1, 2, 3, 4}.

La Intersección de los conjuntos A y B, denotada A ∩ B, es el conjunto de todos los objetos que son miembros de A y B. La intersección de {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es el conjunto {2, 3}.

Diferencia simétrica de los conjuntos A y B, denotado A △ B o A ⊖ B,
ejemplo, para los conjuntos {1,2,3} y {2,3,4}, el conjunto diferencia simétrica es {1,4}. Es la diferencia de conjuntos de la unión y la intersección, (A ∪ B) \ (A ∩ B) o (A \ B) ∪ (B \ A).

Producto cartesiano de A y B, denotada A × B, es el conjunto cuyos miembros son todos los posibles pares ordenados (a, b). El producto cartesiano de {1, 2} y {rojo, blanco} es {(1, rojo), (1, blanco), (2, rojo), (2, blanco)}.

El Conjunto potencia de un conjunto A es el conjunto cuyos miembros son todos los posibles subconjuntos de A. Por ejemplo, el conjunto potencia de {1, 2} es {{}, {1}, {2}, {1,2}}.

Leer más...