Identidades Trigonométricas Ejercicios Resueltos

Identidades Trigonométricas Ejercicios Resueltos

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.

Equivalencia de identidades trigonométricas

Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.

Tema: Identidades Trigonométricas

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que relacionan las funciones trigonométricas entre sí. Estas ecuaciones son muy útiles para simplificar expresiones trigonométricas y resolver ecuaciones trigonométricas. En esta explicación, se abordarán los siguientes subtemas:

• A. Identidades trigonométricas básicas 
• B. Identidades trigonométricas complementarias 
• C. Identidades trigonométricas reciprocas 
• D. Ejemplos resueltos

A. Identidades trigonométricas básicas

Las identidades trigonométricas básicas son las siguientes:

• sen^2(x) + cos^2(x) = 1
• 1 + tan^2(x) = sec^2(x)
• 1 + cot^2(x) = csc^2(x)

Estas identidades son conocidas como las identidades fundamentales de la trigonometría y son verdaderas para cualquier valor de x.

B. Identidades trigonométricas complementarias

Las identidades trigonométricas complementarias son aquellas que relacionan las funciones trigonométricas de ángulos complementarios. Las siguientes son las identidades complementarias:

1. sen(x) = cos(90° - x)
2. cos(x) = sen(90° - x)
3. tan(x) = cot(90° - x)
4. cot(x) = tan(90° - x)
5. sec(x) = csc(90° - x)
6. csc(x) = sec(90° - x)

C. Identidades trigonométricas reciprocas

Las identidades trigonométricas reciprocas son aquellas que relacionan las funciones trigonométricas de un ángulo con las funciones trigonométricas de su ángulo complementario. Las siguientes son las identidades reciprocas:

1. sen(x) = csc(90° - x)
2. cos(x) = sec(90° - x)
3. tan(x) = cot(90° - x)
4. cot(x) = tan(90° - x)
5. sec(x) = cos(90° - x)
6. csc(x) = sen(90° - x)

Ejercicios resueltos

1. Simplificar la expresión: sen(x) * cot(x) / csc(x)

Solución: 

sen(x) * cot(x) / csc(x) = (sen(x) / csc(x)) * (cos(x) / sen(x)) * (sin(x) / 1) = cos(x)

2. Resolver la ecuación: 2cos^2(x) - 3cos(x) + 1 = 0

Solución: Se puede observar que esta ecuación cuadrática puede ser factorizada como sigue: (2cos(x) - 1)(cos(x) - 1) = 0 De esta manera, se tiene que: cos(x) = 1/2 o cos(x) = 1 Por lo que las soluciones de la ecuación son: x = π/3 + 2kπ o x = 2kπ

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Simplificar la expresión trigonométrica: 2cos^2(x) - 1 Solución: Usando la identidad trigonométrica fundamental cos^2(x) + sin^2(x) = 1, podemos expresar cos^2(x) como 1 - sin^2(x). Así, la expresión se puede reescribir como: 2cos^2(x) - 1 = 2(1 - sin^2(x)) - 1 = 2 - 2sin^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) Por lo tanto, 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)

Ejemplo 2: Simplificar la expresión trigonométrica: 2sin(x)cos(x) Solución: Podemos usar la identidad trigonométrica sin(2x) = 2sin(x)cos(x) para reescribir la expresión como: 2sin(x)cos(x) = sin(2x) Por lo tanto, 2sin(x)cos(x) = sin(2x)

Ejemplo 3: Simplificar la expresión trigonométrica: (sec(x) + tan(x))^2 Solución: Usando las identidades trigonométricas sec(x) = 1/cos(x) y tan(x) = sin(x)/cos(x), podemos reescribir la expresión como: (sec(x) + tan(x))^2 = (1/cos(x) + sin(x)/cos(x))^2 = ((1+sin(x))/cos(x))^2 Por lo tanto, (sec(x) + tan(x))^2 = ((1+sin(x))/cos(x))^2

Ejemplo 4: Simplificar la expresión trigonométrica: (1 - cos(x))/(sin^2(x)) Solución: Usando la identidad trigonométrica fundamental sin^2(x) + cos^2(x) = 1, podemos reescribir la expresión como: (1 - cos(x))/(sin^2(x)) = (sin^2(x))/(sin^2(x)) - (cos(x))/(sin^2(x)) = 1/sin^2(x) - cot^2(x)/sin^2(x) = (1 - cos^2(x))/sin^2(x) = sin^2(x)/sin^2(x) = 1 Por lo tanto, (1 - cos(x))/(sin^2(x)) = 1

Ejemplo 5: Simplificar la expresión trigonométrica: (sin(x) - cos(x))^2 Solución: Usando las identidades trigonométricas sin^2(x) + cos^2(x) = 1 y 2sin(x)cos(x) = sin(2x), podemos reescribir la expresión como: (sin(x) - cos(x))^2 = sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) + cos^2(x) = sin^2(x) - sin(2x) + cos^2(x) = 1 - sin(2x) Por lo tanto, (sin(x) - cos(x))^2 = 1 - sin(2x)

Leer más...

Regla de Ruffini Ejercicios Resueltos

Regla de Ruffini Ejercicios Resueltos

En matemáticas, la regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de la división. La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x-a.

En este artículo se explica la Regla de ruffini o división sintética que nos sirve en algunos casos para factorizar. Este tipo de división solo lo podemos utilizar cuando tengamos división por cocientes de grado uno.

Normalmente una división de polinomios en algebra es un proceso largo hasta la obtención del residuo, en cambio con el proceso de ruffini (recordemos que solo se puede utilizar cuando tengamos un divisor de tipo (x-a) o también (x+a). Si tenemos este tipo de divisor lo primero que hacemos es escribir los coeficientes del polinomio de grado mayor a menor y por último los números.

La Regla de Ruffini

Es un método utilizado para dividir polinomios de una sola variable por un binomio de la forma (x - a). El proceso se realiza de la siguiente manera:

1. Se escribe el polinomio a dividir en orden descendente de grado.
2. Se escribe el número a, que es el opuesto del término independiente (x - a).
3. Se coloca el número a en una línea vertical a la izquierda del polinomio.
4. Se escriben los coeficientes del polinomio en diagonal, comenzando por el coeficiente del término de mayor grado, hasta el término independiente.
5. Se traza una línea debajo del último coeficiente.
6. Se multiplica el número a por el coeficiente del término de mayor grado y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente.
7. Se suma ese resultado con el siguiente coeficiente y se coloca el resultado debajo del tercer coeficiente.
8. Se repite el proceso de sumar y multiplicar hasta llegar al último coeficiente.
9. Si el último número de la última línea es igual al resto (el término independiente del polinomio original), la división se ha realizado correctamente.

Ahora, vamos a ver algunos ejemplos resueltos paso a paso:

Ejercicio 1: Divide el polinomio x^3 - 3x^2 + 2x + 1 entre (x - 1).

Solución:

1. Escribimos el polinomio en orden descendente de grado: x^3 - 3x^2 + 2x + 1.

2. Obtenemos el número a, que es el opuesto del término independiente del binomio (x - a): a = 1.

3. Colocamos el número a en una línea vertical a la izquierda del polinomio:

   1 |

4. Escribimos los coeficientes del polinomio en diagonal:

1 |  -3   2   1

   ___________

5. Tras la línea, añadimos un espacio para el resultado de la operación:

1 |  -3   2   1

   ___________

6. Multiplicamos el número a (1) por el coeficiente del término de mayor grado (x^3) y escribimos el resultado debajo del siguiente coeficiente:

1 |  -3   2   1

   ___________

    1

7. Sumamos ese resultado con el siguiente coeficiente y escribimos el resultado debajo del tercer coeficiente:

1 |  -3   2   1

   ___________

    1   -2

8. Repetimos el proceso de sumar y multiplicar hasta llegar al último coeficiente:

1 |  -3   2   1

   ___________

    1   -2   4

         2  -2

         _____

         0   2

9. Como el último número de la última línea es 2, que es igual al término independiente del polinomio original, la división se ha realizado correctamente. Por lo tanto, la solución es:

x^3 - 3x^2

Ejercicio 2: Divide el polinomio P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 2x^2 - 7x - 4 entre el polinomio Q(x) = x + 2, utilizando la regla de Ruffini.

Solución: Para utilizar la regla de Ruffini, primero se debe determinar el coeficiente principal de Q(x), que en este caso es 1. Luego, se colocan los coeficientes de P(x) en orden descendente en la primera fila de la tabla y se escribe el coeficiente principal de Q(x) en la segunda fila, dejando un espacio en blanco entre ellos.

En la tercera fila se escribe el primer término de P(x), y en las celdas restantes se escriben los resultados de multiplicar el término de la fila anterior por el coeficiente principal de Q(x). Estos resultados se suman diagonalmente y se escriben en la cuarta fila. A continuación, se repite este proceso con los términos restantes de P(x) hasta completar la tabla.

   |  3   5   -2   -7   -4

-2 |    3  -1    3  -15   26

   |_____________________

    3   2   -3  -10   22

Por lo tanto, la división de P(x) entre Q(x) es:

P(x) = Q(x) * C(x) + R(x) 3x^4 + 5x^3 - 2x^2 - 7x - 4 = (x + 2) * (3x^3 + 2x^2 - 3x - 10) + 22

Entonces, el cociente es C(x) = 3x^3 + 2x^2 - 3x - 10 y el resto es R(x) = 22.

Ejercicio 2: Divide el polinomio P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 entre el polinomio Q(x) = x - 1, utilizando la regla de Ruffini.

Solución: En este caso, la tabla quedaría así:

| 2 -5 3 1


1 | 2 -3 6 7

|_________________


2 -3 6 7

Por lo tanto, la división de P(x) entre Q(x) es:

P(x) = Q(x) * C(x) + R(x) 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 = (x - 1) * (2x^2 - 3x + 6) + 7

Entonces, el cociente es C(x) = 2x^2 - 3x + 6 y el resto es R(x) = 7.

Leer más...

Productos Notables Ejercicios Resueltos

Productos Notables Ejercicios Resueltos

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

DEFINICIÓN DE PRODUCTO Y PRODUCTO NOTABLE

Un producto es el resultado de multiplicar dos o más números. Los números que se multiplican se llaman factores o divisores del producto. Se llaman productos notables (o productos especiales) a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación, como ya hemos dicho.

En álgebra, los productos notables son expresiones que aparecen con frecuencia y se pueden simplificar utilizando fórmulas específicas. Saber cómo identificar y simplificar estos productos notables puede ahorrar tiempo y esfuerzo al resolver ecuaciones algebraicas más complejas.

Tipos de productos notables

Hay varios tipos de productos notables que se utilizan con frecuencia en álgebra, incluyendo:

1. Cuadrado de un binomio: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
2. Diferencia de cuadrados: (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
3. Producto de suma por diferencia: (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
4. Cubo de un binomio: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
5. Suma o diferencia de cubos: (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 o (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3

Ejercicios resueltos

1. Simplificar la expresión (x + 2)^2: (x + 2)^2 = x^2 + 2(x)(2) + 2^2 = x^2 + 4x + 4

2. Simplificar la expresión (3a - 2b)^2: (3a - 2b)^2 = (3a)^2 - 2(3a)(2b) + (2b)^2 = 9a^2 - 12ab + 4b^2

3. Simplificar la expresión (x + 5)(x - 5): (x + 5)(x - 5) = x^2 - 5x + 5x - 25 = x^2 - 25

4. Simplificar la expresión (2x + 3)(2x - 3): (2x + 3)(2x - 3) = (2x)^2 - (3)^2 = 4x^2 - 9

5. Simplificar la expresión (a + b + c)^2: (a + b + c)^2 = a^2 + 2ab + 2ac + b^2 + 2bc + c^2

6. Simplificar la expresión (a - b)^3: (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

7. Simplificar la expresión (x + 2)(x^2 - 2x + 4): (x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + 4x + 8 = x^3 + 8

8. Simplificar la expresión (3x + 1)(9x^2 - 3x + 4): (3x + 1)(9x^2 - 3x + 4) = 27x^3 + 9x^2 + 12x - 9x^2 + 3x - 4 = 27x^3 + 15x - 4

Tutorial para descubrir el paso a paso para resolver ejercicios:

Aplicaciones de producto notable

Para aplicar estos productos notables, solo necesitas identificar qué tipo de expresión algebraica tienes y aplicar la fórmula correspondiente. Veamos algunos ejemplos:

Ejercicio 1: Multiplicación de un binomio por un trinomio. 

Factoriza completamente la expresión 3x^2 - 6x - 45.

Solución: Podemos ver que el primer término de esta expresión es el cuadrado de x, por lo que podemos escribir 3x^2 como (x + x)(3). Luego, el último término es 45, que podemos escribir como (5)(9). Ahora, podemos aplicar el producto de la suma por la diferencia para factorizar el trinomio del medio: -6x = -(3)(2x) = -(3)(x + x). Juntando todo, tenemos: 3x^2 - 6x - 45 = (x + x)(3) - (x + x)(3)(5) = (x + x)(3 - 15)(x + x) = -12(x + x)^2

Ejercicio 2: Diferencia de cuadrados. 

Factoriza completamente la expresión x^4 - 16.

Solución: Podemos ver que esta expresión se puede escribir como la diferencia de dos cuadrados, donde a = x^2 y b = 4: x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 + 4)(x^2 - 4) = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)

Ejercicio 3: Cuadrado de un binomio. 

Resuelve la ecuación x^2 - 6x + 9 = 0.

Solución: Podemos ver que el primer y el último término de esta expresión son cuadrados perfectos, por lo que podemos escribir: x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 Ahora podemos ver que esta ecuación es una ecuación de segundo grado, por lo que podemos aplicar la fórmula general para resolverla: (x - 3)^2 = 0 x - 3 = 0 x = 3

Leer más...

LENGUAJE ALGEBRAICO EJERCICIOS RESUELTOS

LENGUAJE ALGEBRAICO EJERCICIOS RESUELTOS

El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y, además, las trata como números en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico. La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se llama Álgebra.

Para poder manejar el lenguaje algebraico es necesario comprender lo siguiente:

1. Se usan todas las letras del alfabeto.
2. Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es decir, cualquier número o constante como el vocablo pi.
3. Por lo regular las letras X., Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la función o expresión álgebraica.

El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números lo que normalmente tomamos como expresiones particulares. De esta forma se pueden manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir lo que permite simplificar teoremas, formular ecuaciones e inecuaciones y el estudio de cómo resolverlas. Este lenguaje nos ayuda a resolver problemas matemáticos mostrando generalidades.

Introducción al lenguaje algebraico

El lenguaje algebraico es una herramienta utilizada para representar expresiones y ecuaciones matemáticas de una manera más compacta y fácil de manejar. En lugar de trabajar con números y operaciones aritméticas, el lenguaje algebraico utiliza letras y símbolos para representar números y operaciones.

Representación de expresiones en lenguaje algebraico

Las expresiones algebraicas están formadas por variables, coeficientes y operaciones matemáticas. Las variables son letras que representan números desconocidos o variables independientes. Los coeficientes son números que multiplican a las variables. Las operaciones matemáticas son los símbolos que indican qué hacer con las variables y los coeficientes.

Ejemplo de lenguaje algebraico

Por ejemplo, la expresión 3x + 2 representa un número desconocido (x) multiplicado por 3 y sumado a 2. La letra x es la variable, el número 3 es el coeficiente y el símbolo + indica que se debe sumar.

Representación de ecuaciones en lenguaje algebraico

Las ecuaciones algebraicas son declaraciones matemáticas que igualan dos expresiones. Las ecuaciones se representan mediante una igualdad (=). Por ejemplo, la ecuación 3x + 2 = 8 significa que la expresión 3x + 2 es igual a 8.

Para resolver ecuaciones, se utilizan las mismas operaciones aritméticas que se utilizan en la resolución de problemas numéricos. El objetivo es aislar la variable para encontrar su valor. Para ello, se pueden aplicar las operaciones inversas a ambos lados de la igualdad.

Ejercicios resueltos

1. Representa la expresión matemática "el triple de un número más cinco". 
2. Solución: La expresión se puede representar como 3x + 5, donde x es el número desconocido.
3. Resuelve la ecuación 2x + 4 = 10. 
4. Solución: Primero se resta 4 a ambos lados de la igualdad, quedando 2x = 6. Luego, se divide entre 2 en ambos lados para obtener x = 3.
5. Representa la expresión matemática "la mitad de la suma de dos números". 
6. Solución: La expresión se puede representar como (x + y)/2, donde x e y son los números desconocidos.
7. Resuelve la ecuación 5x - 2 = 13. 
8. Solución: Primero se suma 2 a ambos lados de la igualdad, quedando 5x = 15. Luego, se divide entre 5 en ambos lados para obtener x = 3.
9. Representa la expresión matemática "el doble de la resta de un número menos cuatro". Solución: La expresión se puede representar como 2(x - 4), donde x es el número desconocido.
10. Resuelve la ecuación 3(x + 2) = 21. 
11. Solución: Primero se divide entre 3 en ambos lados de la igualdad, quedando x + 2 = 7. Luego, se resta 2 a ambos lados para obtener x = 5.

Ejemplos resueltos:

Ejemplo 1: Si x representa la edad de Ana, escribe una expresión algebraica para representar la edad de su hermano Juan, sabiendo que este tiene dos años menos que ella.

Solución: Si x representa la edad de Ana, entonces podemos decir que la edad de Juan es x - 2. Por lo tanto, la expresión algebraica que representa la edad de Juan es x - 2.

Ejemplo 2: Escribe una expresión algebraica para la siguiente situación: el triple de un número, disminuido en 5.

Solución: Si llamamos "n" al número, el triple de ese número es 3n. Para disminuirlo en 5, restamos 5 a la expresión anterior, quedando como sigue: 3n - 5.

Ejemplo 3: Escribe una expresión algebraica para la siguiente situación: la suma de tres números consecutivos.

Solución: Si llamamos "n" al primer número, entonces el siguiente número sería "n + 1", y el tercero sería "n + 2". Por lo tanto, la expresión algebraica que representa la suma de estos tres números consecutivos es: n + (n + 1) + (n + 2).

Ejemplo 4: Escribe una expresión algebraica para la siguiente situación: la suma de dos números pares consecutivos.

Solución: Si llamamos "n" al primer número par, entonces el siguiente número par sería "n + 2". Por lo tanto, la expresión algebraica que representa la suma de estos dos números pares consecutivos es: n + (n + 2).

Ejemplo 5: Escribe una expresión algebraica para la siguiente situación: el doble de un número más la mitad de otro número.

Solución: Si llamamos "n" al primer número y "m" al segundo número, entonces el doble de "n" es 2n y la mitad de "m" es m/2. Por lo tanto, la expresión algebraica que representa la suma de estas dos expresiones es: 2n + m/2.

Ejemplo 6: Escribe una expresión algebraica para la siguiente situación: la suma de dos números consecutivos es 43.

Solución: Si llamamos "n" al primer número, entonces el siguiente número sería "n + 1". Como la suma de estos dos números consecutivos es 43, podemos escribir la siguiente ecuación: n + (n + 1) = 43. Luego, resolvemos la ecuación: 2n + 1 = 43, 2n = 42, n = 21. 

Por lo tanto, el primer número es 21 y el segundo número es 22. La expresión algebraica para la suma de estos dos números consecutivos es: 21 + 22 = 43.

Leer más...