EJERCICIOS RESUELTOS TEOREMA DEL SENO Y COSENO
1.Teorema del Seno | Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1: Dado un triángulo ABC con ángulos ∠A = 50°, ∠B = 70° y ∠C = 60° y un lado conocido de medida AB = 8 cm, encuentra la medida de los otros dos lados del triángulo.
Solución:Aplicamos el teorema del seno para encontrar el lado AC:
sen(50°)/8 = sen(60°)/AC
AC = 8·sen(60°)/sen(50°) ≈ 9.318 cm
sen(70°)/BC = sen(60°)/AC
BC = AC·sen(70°)/sen(60°) ≈ 10.17 cmAplicamos el teorema del seno para encontrar el lado BC:
Por lo tanto, los lados del triángulo ABC son AB = 8 cm, AC ≈ 9.318 cm y BC ≈ 10.17 cm.
Ejercicio 2: En un triángulo ABC, se sabe que AB = 5 cm, AC = 8 cm y el ángulo ∠BAC mide 120°. Encuentra la medida del lado BC.
Solución:Aplicamos el teorema del seno: BC/sen(120°) = AB/sen(∠BCA) = AC/sen(∠CAB)
Despejamos BC: BC = sen(120°)·AC/sen(∠CAB) BC = √3·8/sen(∠CAB)
Usando la ley de cosenos, sabemos que: cos(∠CAB) = (AC^2 + AB^2 - BC^2)/(2·AC·AB) cos(∠CAB) = (8^2 + 5^2 - BC^2)/(2·8·5) cos(∠CAB) = (89 - BC^2)/80
Despejamos sen(∠CAB) usando la identidad trigonométrica: sen^2(∠CAB) = 1 - cos^2(∠CAB) sen^2(∠CAB) = 1 - (89 - BC^2)/80 sen^2(∠CAB) = (BC^2 - 9)/80 sen(∠CAB) = √((BC^2 - 9)/80)
Sustituimos sen(∠CAB) en la ecuación de BC: BC = √3·8/sen(∠CAB) = √3·8/√((BC^2 - 9)/80) BC^2 = (3/4)·(BC^2 - 9)/80·64 BC ≈ 6.858 cm
Por lo tanto, el lado BC mide aproximadamente 6.858 cm.
2. Ejercicios Resueltos del Teorema del Seno Organizados en Tabla
| # | Datos | Fórmula | Solución |
|---|---|---|---|
| 1 | a = 8, b = 10, A = 45° | a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) | a/sen(A) = 8/sen(45°) = 11.31 |
| b/sen(B) = 10/sen(B) = 14.14 | |||
| c/sen(C) = c/sen(90°-A-B) = 15.56 | |||
| 2 | a = 5, b = 7, A = 60° | a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) | a/sen(A) = 5/sen(60°) = 5.77 |
| b/sen(B) = 7/sen(B) = 8.09 | |||
| c/sen(C) = c/sen(90°-A-B) = 9.43 | |||
| 3 | a = 6, b = 9, C = 30° | a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) | a/sen(A) = 6/sen(60°) = 6.93 |
| b/sen(B) = 9/sen(B) = 10.39 | |||
| c/sen(C) = c/sen(30°) = 12 | |||
| 4 | b = 12, c = 15, A = 40° | a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) | a/sen(A) = a/sen(40°) = 8.46 |
| b/sen(B) = 12/sen(B) = 14.55 | |||
| c/sen(C) = 15/sen(C) = 23.09 | |||
| 5 | a = 8, b = 10, C = 70° | a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) | a/sen(A) = 8/sen(110°) = -5.38 |
| b/sen(B) = 10/sen(70°) = 13.29 | |||
| c/sen(C) = c/sen(70°) = 12.02 |
Ejercicio 1: Dados los lados de un triángulo ABC de medida a = 7, b = 9 y c = 10, encuentra el ángulo opuesto al lado c.
Solución: Para encontrar el ángulo opuesto al lado c, utilizamos el teorema del coseno. Primero, calculamos el coseno del ángulo opuesto al lado c: cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab) cos(C) = (7^2 + 9^2 - 10^2) / (279) cos(C) = 0.575 Ahora, despejamos el ángulo C utilizando la función inversa del coseno: C = cos^-1(0.575) C = 55.27°
Por lo tanto, el ángulo opuesto al lado c mide aproximadamente 55.27°.
Ejercicio 2: Un triángulo tiene un lado de medida 10 cm y los otros dos lados miden 8 cm y 6 cm. Encuentra el ángulo opuesto al lado de 10 cm.
Solución: De nuevo, utilizamos el teorema del coseno para encontrar el ángulo opuesto al lado de 10 cm. Primero, identificamos los lados del triángulo y el ángulo opuesto: a = 10 cm, b = 8 cm, c = 6 cm A es el ángulo opuesto al lado a.
Ahora, calculamos el coseno del ángulo A: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc) cos(A) = (8^2 + 6^2 - 10^2) / (286) cos(A) = 0.25
Despejamos el ángulo A utilizando la función inversa del coseno: A = cos^-1(0.25) A = 75.52°
Por lo tanto, el ángulo opuesto al lado de 10 cm mide aproximadamente 75.52°.
Ejercicio 3: En un triángulo ABC, los lados tienen medida a = 5 cm, b = 7 cm y c = 8 cm. Encuentra la medida del ángulo opuesto al lado b.
Solución: De nuevo, utilizamos el teorema del coseno para encontrar la medida del ángulo opuesto al lado b. Primero, identificamos los lados del triángulo y el ángulo opuesto: a = 5 cm, b = 7 cm, c = 8 cm A es el ángulo opuesto al lado a.
Calculamos el coseno del ángulo A: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc) cos(A) = (7^2 + 8^2 - 5^2) / (278) cos(A) = 0.634
Despejamos el ángulo A utilizando la función inversa del coseno: A = cos^-1(0.634) A = 50.17°
Por lo tanto, el ángulo opuesto al lado b mide aproximadamente 50.17°.
4. Ejercicios Resueltos del Teorema del Coseno Organizados en Tabla
| Ejercicio | Datos | Fórmula utilizada | Solución |
|---|---|---|---|
| 1 | a = 10 cm, b = 8 cm, c = 12 cm, ∠A = 40° | c² = a² + b² - 2ab cos(∠C) | c² = 10² + 8² - 2(10)(8)cos(40°) = 144.2 cm², c ≈ 12.00 cm |
| 2 | a = 5 m, b = 7 m, ∠C = 120°, ∠A = 40° | c² = a² + b² - 2ab cos(∠C) | c² = 5² + 7² - 2(5)(7)cos(120°) = 34 + 35cos(120°) = 69.5 m², c ≈ 8.34 m |
| 3 | a = 8 cm, b = 10 cm, c = 12 cm, ∠A = 30° | b² = a² + c² - 2ac cos(∠B) | b² = 8² + 12² - 2(8)(12)cos(30°) = 196 cm², b = √196 = 14 cm |
| 4 | a = 12 m, b = 10 m, c = 8 m, ∠A = 70° | a² = b² + c² - 2bc cos(∠A) | a² = 10² + 8² - 2(10)(8)cos(70°) = 179.5 m², a ≈ 13.4 m |
| 5 | a = 6 cm, b = 7 cm, c = 9 cm, ∠A = 60°, ∠B = 50° | c² = a² + b² - 2ab cos(∠C), ∠C = 180° - ∠A - ∠B | c² = 6² + 7² - 2(6)(7)cos(70°) = 24.4 cm², c ≈ 4.94 cm, ∠C ≈ 70° |
