Tablas de verdad proposiciones compuestas. Ejemplos

TABLAS DE VERDAD. PROPOSICIONES COMPUESTAS

En esta entrada mostramos las tablas de verdad como introducción a la lógica matemática. Dentro de los temas a tratar están incluidos aspectos como la conjunción, la disyunción, la implicación o condicional, la bicondicional o equivalencia y la negación.

Dentro del campo de la lógica matemática es conveniente iniciar este estudio con las tablas de verdad que involucran las proposiciones simples y compuestas.

Las Proposiciones Compuestas

Una proposición compuesta es una oración; consta de uno o varios sujetos y de un predicado que afirma algo en torno a estos sujetos. Los sujetos de una proposición simple deben ser todos términos singulares. El predicado debe contener un verbo que exprese la acción sobre los sujetos.

En las proposiciones, El valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1.

El valor falso se representa con la letra F; si se emplea notación numérica se expresa con cero: 0.

Entre proposiciones podemos establecer las siguientes relaciones:

1. Negación
2. Conjunción
3. Disyunción
4. Implicación o condicional
5. Equivalencia o bicondicional

En el siguiente vídeo presentamos un ejercicio paso a paso para completar una tabla de verdad de una proposición compleja.

Ejercicio resuelto:

Tabla de verdad de la negación

Si una proposición es verdadera, su negación es falsa y si una proposición es falsa, su negación será verdadera, veamos:

Tabla de verdad de la conjunción

En la conjunción la proposición compuesta sólo es verdadera si las dos proposiciones simples son ambas verdaderas.

Tabla de verdad de la disyunción

Para la disyunción la proposición compuesta sólo es falsa cuando las dos proposiciones simples son falsas.

Tabla de verdad de la implicación o condicional

En este caso la proposición compuesta sólo es falsa si la primera es verdadera y la segunda es falsa, en los demás casos es verdadera.

Tabla de verdad de la equivalencia o bicondicional

Si las dos proposiciones simples son iguales (ambas verdaderas ó ambas falsas), la proposición compuesta es verdadera; si las dos proposiciones simples son diferentes (una verdadera y otra falsa), la proposición compuesta es falsa.

Esto se parece a la ley de los signos: signos iguales da más y signos diferentes da menos. Veamos la tabla:

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Problemas de aplicacion ley del coseno

Ejercicios resueltos y problemas de aplicación de la ley del coseno.

En la vida diaria tenemos muchas situaciones donde se aplica la ley del coseno, más que todo para trabajar con triángulos o aspectos cotidianos donde se formen triángulos.

Al concluir el repaso en ésta entrada, deberás ser capaz de:

• Entender y aplicar la Ley o el Teorema de Cosenos.
• Determinar los lados de un triángulo utilizando la Ley de Cosenos.
• Conseguir de forma correcta los ángulos de un triángulo utilizando la Ley de Cosenos.
• Reconocer situaciones de la vida diaria donde se usa la Ley de Cosenos.

Situaciones para la Aplicación de la Ley de Cosenos

Como veremos en los ejemplos, podemos resumir la ley de cosenos de la siguiente forma:

La Ley de Cosenos nos permite expresar un lado de un triángulo en términos de los otros dos lados y el coseno del ángulo entre estos dos lados conocidos.

Cuando resolvemos problemas que involucran triángulos podemos encontrar los siguientes casos:

1. Si el triángulo es rectángulo, la mejor forma de resolverlo es usando las razones trigonométricas que aprendimos en las entradas de Trigonometría de Triángulos Rectángulos.
2. Si el triángulo es oblicuo, entonces se pueden presentar los casos que se muestran en los siguientes vídeos tutoriales.

Problema con funciones trigonométricas. Uso de la ley del coseno

Ejercicios resueltos paso a paso para practicar.

Problema resuelto con Ley de Cosenos

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza normalmente en el área de la trigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados como se pone de manifiesto en el vídeo.

Problema con Ley de Cosenos

En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso. Todo esto lo podemos notar en le siguiente ejercicio.

Teorema del Coseno Ejemplo Resuelto

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos
el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que se forman entre ellos.

Aplicación de Ley de Cosenos

La ley de los cosenos para el cálculo de uno de los lados de un triángulo cuando se conocen el ángulo opuesto y los otros dos lados. Puede ser utilizado en conjunción con la ley de los senos para encontrar todos los lados y ángulos.

Trigonometría: Aplicaciones de Ley de Seno y Coseno

Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos. 

Para resolver triángulos que no son rectángulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo dependerá de los valores conocidos o los datos en el ejercicio.

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Problema de Trigonometría con Triángulos Rectángulos

Ejercicios y Problema con Triángulos Rectángulos

Abordamos en ésta entrada una serie de problemas donde aparece la figura de un triángulo rectángulo. Recordemos que en un triángulo rectángulo cualquiera se cumple el teorema de Pitágoras.

Al concluir la lección de ésta entrada, deberás ser capaz de:

• Escoger el método adecuado para resolver un problema que involucre triángulos.
• Obtener los lados o ángulos de un triángulo.
• Resolver problemas verbales con triángulos.

Resolución de triángulos rectángulos

Recordemos que resolver un triángulo es determinar los tres lados y los tres ángulos. 

Debemos estar pendientes que con la ayuda del teorema de Pitágoras, de las razones trigonométricas, y de la calculadora científica se puede resolver cualquier triángulo rectángulo. A continuación podemos ver los siguientes ejercicios en vídeos.

PROBLEMAS CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Ejercicios resueltos para practicar:

Solución de Triángulos Rectángulos

Ahora podemos complementar las situaciones planteadas con la siguiente información:
Debemos permanecer atentos a la estructura de los triángulos.

Problema de aplicación de triángulos rectángulos

Los problemas resueltos son de gran ayuda para seguir avanzando en el estudio de la trigonometría. Veamos más ejemplos para practicar y reforzar.

Ejercicios resueltos de triángulos rectángulos

Es importante notar que para definir en forma única y precisa un triángulo debemos conocer al menos tres elementos del conjunto de sus lados y ángulos, entre los cuales debe estar incluido por lo menos uno de los lados.

Ahora notamos que resolver un triángulo significa encontrar todos los valores de sus lados y ángulos.

El siguiente vídeo nos ayudará a determinar el método adecuado para resolver un problema que vincula triángulos rectángulos:

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Aplicación del Teorema de Thales. Ejercicios resueltos

Ejercicios y Aplicación del Teorema de Thales

Comenzaremos estableciendo lo siguiente: Si dos rectas se cortan por varias rectas que sean paralelas, podemos notar que los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Debemos estar atentos que cuando  hablemos del Teorema de Tales o Thales, debemos precisar a cuál nos referimos ya que en realidad existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto.

El primero de se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente, recordemos que los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos.

El segundo desglosa una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos, recordemos que los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa.

APLICACIÓN DEL TEOREMA DE THALES

Ejercicio resuelto para colocar en práctica los aspectos teóricos que se nombran en el teorema.

APLICANDO EL TEOREMA DE TALES

Aclaración sobre los dos teoremas de Tales.

Aspectos sobre los triángulos semejantes.

Problema resuelto.

Teorema de Tales

Del primer teorema de Tales establecemos lo siguiente:

Si dos rectas cualesquieras (p y q) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).

Teorema de Tales - Trigonometría 

Si tres o más paralelas son cortadas por dos o más secantes, la razón de las longitudes de los segmentos determinados en una de las paralelas, es igual a la razón de las longitudes de los segmentos correspondientes determinados por las otras paralelas.

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Triángulo de Pascal y Binomio de Newton. Ejercicios Resueltos

Triángulo de Pascal y Binomio de Newton

Para esta introducción vamos a hablar sobre el triángulo de Pascal y su aplicación en el álgebra. El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular, esto lo podemos entender mejor en los próximos vídeos. Es llamado de ésta forma en honor al matemático francés Blaise Pascal. Si bien es de notar que las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, debemos dar mérito prioritario a Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta. En los siguientes apartes ampliaremos éstos conceptos con los tutoriales seleccionados.

El Triángulo de Pascal y binomio de Newton

Explicación y ejercicios resueltos sobre binomio de Newton y triángulo de Pascal.

El Triángulo de Pascal: Teoría

Aspectos generales sobre la teoría que define algunos conceptos importantes para comprender lo referente a la construcción y aplicación del triángulo de Pascal.

Binomio de Newton y Triangulo de Pascal

Se puede decir que el binomio de Newton es un algoritmo que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio dado, atentos que para ello se emplean los coeficientes binomiales, que no son más que una sucesión de números combinatorios.

Uso del Triangulo de Pascal

El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico. Se empieza con un uno (1) en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos. esta parte está descrita completamente en el siguiente vídeo.

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Amortizacion financiera. Ejercicios resueltos

EJERCICIOS DE AMORTIZACIÓN FINANCIERA

Primero vamos a determinar algunos conceptos fundamentales: La amortización es un término financiero y contable que está referido básicamente a la distribución en el tiempo de un valor que es duradero.

Este término e emplea referido a dos ámbitos diferentes y que son casi opuestos, por una parte tenemos la amortización de un activo y por otra parte la amortización de un pasivo. Notemos que en ambos casos se trata de un valor, con una duración que se extiende a varios periodos, para cada uno de los cuales se calcula una amortización, de tal forma que se reparte ese valor entre todos los periodos en los que permanece.

En términos generales amortizar es el proceso financiero mediante el cual se extingue de forma gradual, una deuda por medio de pagos periódicos; estos pagos a que nos referimos pueden ser iguales o diferentes.

Es de suma importancia saber que en las amortizaciones de una deuda, cada pago que se entrega o se realiza, está encaminado a pagar los intereses y reducir el importe de la deuda.

Sistema Lineal de Amortización o depreciación contable

Tenemos algunos ejercicios mediante tablas y cuadros para comprender los procesos a realizar de forma precisa.

Como hacer una tabla de Amortización

Es importante conocer la forma de elaborar una tabla de amortización, para ello es muy recomendable analizar el siguiente vídeo en donde podemos notar los procesos a realizar.

Tablas de amortización en excel

Ahora podemos utilizar la tecnología para realizar algunos procesos de manera más rápida, para ello podemos practicar la forma de realizar tablas de amortización con Excel.

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Tasas de interes nominal y efectiva. Ejercicios resueltos

Ejercicios resueltos sobre tasas de interés nominal y efectiva

Siempre que hablamos de tasa de interés efectiva, nos referimos específicamente a la tasa que estamos aplicando verdaderamente a una cantidad de dinero en un periodo establecido de tiempo. debemos notar que la tasa efectiva siempre es compuesta y vencida, ya que se aplica cada mes al capital existente al final del periodo.

También debemos recordar y estar atentos a lo siguiente: cuando trabajamos con tasas efectivas no podemos decir que una tasa de interés del 2% mensual equivale al 24% anual, debido a que esta tasa genera intereses sobre los intereses generados en periodos anteriores.

Conceptos sobre tasa interés Efectiva, periódica y nominal

Analizamos el siguiente tutorial que presenta algunos conceptos importantes para tener en cuenta en el curso de tasas de interés.

TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA

En la presente entrada se explican en detalle los diferentes tipos de tasas de interés que se utilizan en el mercado financiero y en general en aspectos de la economía. En el siguiente vídeo veremos la diferencia entre una tasa nominal y una efectiva, también su aplicación en las fórmulas y ecuaciones de valor, enseguida se verá un método de conversión de una tasa nominal a una efectiva, y viceversa.

Tasas nominales, efectivas y equivalentes. EJERCICIOS

Recordemos que la tasa de interés efectiva es aquella que se utiliza en la fórmulas de la matemática financiera. Luego podemos expresar que las tasas efectivas son aquellas que forman parte de los procesos de capitalización y de actualización. Por otro lado, una tasa nominal, solamente es una definición o una forma de expresar una tasa efectiva. Las tasas nominales no se utilizan directamente en las fórmulas de la matemática financiera. Pero podemos entender esto de forma amplia analizando el siguiente tutorial.

Tasa de interés nominal y efectiva. Ejercicio de aplicación

Ejercicios resueltos para practicar, veamos el desarrollo del ejercicio en el siguiente vídeo.

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Multiplicacion y division con decimales. Ejercicios resueltos

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON NÚMEROS DECIMALES

El trabajo con números decimales necesita especial atención, por eso en ésta entrada hablaremos de las operaciones de multiplicación y división para estos números.

A continuación presentamos ejercicios resueltos y tutoriales que describen los pasos a seguir para resolver las operaciones que se nos pueden presentar.

Los números decimales se nos pueden presentar en varias situaciones de cálculos para cualquier nivel de las matemáticas, por tal motivo es conveniente manejar éstos de forma precisa.

Multiplicación de números decimales

a continuación vamos a resolver una multiplicación con números decimales, debemos estar atento a todo el procedimiento para entender los procesos correspondientes.

División y multiplicación de decimales

Los ejercicios a continuación son de suma importancia para resolver operaciones, más que todo cuando nos encontramos con un uno seguido de ceros.

Esto aplicado tanto a la multiplicación como a la división.

Multiplicación de números decimales

Presentamos a continuación más tutoriales para reforzar el tema. El vídeo muestra los procedimientos paso a paso y describe de forma detallada los pasos a seguir para multiplicar decimales.

División de números decimales

A continuación tenemos dos ejercicios sobre división de números decimales. Los ejercicios se resuelve de la forma como se realiza en latinoamérica y luego la forma como se resuelven en Estados Unidos y otros países.

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CASOS DE FACTORIZACION. Ejercicios resueltos

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CASOS DE FACTORIZACIÓN

Caso uno: Factor común

El factor común es el factor que se repite en los términos de la operación, siendo así el resultado se daría dejando fuera del paréntesis el factor común y dentro del paréntesis los términos que difieren con el factor común, o también se puede dar que en un ejercicio en el que haya que hallar el factor común y en los términos no se repita ninguno, lo que se puede hacer es sacar el mínimo común múltiplo (M.C.D) de los números que se encuentren en la operación, colocando así el factor común fuera del paréntesis y dentro de él se colocan lo números que restaron del procedimiento de sacar el (M.C.D) junto con los términos que difieren del factor común en la operación inicial.

SEGUNDO CASO: FACTOR COMÚN POLINOMIO

El segundo caso de factorización es el factor común por grupos, en este caso se necesitan cuatro términos o a partir de cuatro se cuentan los números par para completar los términos, para resolverlo armamos dos grupos y a estos se les saca el factor común por separado, en este caso se aplica de la misma manera el factor común, luego el factor común se coloca fuera del paréntesis y dentro del paréntesis colocamos los resultados de la división entre el factor común con la expresión inicial del grupo que se está factor izando. Después se saca el factor común de los dos términos (unidos), posteriormente entre un paréntesis se ubica el resultante entre cada uno de los dos grupos multiplicado y dividido por el factor común.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO - Ejercicios resueltos

Caso 3: Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto, para empezar el trinomio debe estar organizado de forma ascendente y de forma descendente luego debemos localizar si el primer y el tercer término son positivos y que tengan raíz exacta, después realizamos el doble producto de los dos mismos elementos con el fin de comprobar que resulte igual al segundo término de la expresión, luego empezaremos la factorización, tomamos la raíz cuadrada del primer y el tercer término y con ellos se forma un binomio al cuadrado, como signo se toma el signo del segundo término.

FACTORIZACIÓN POR DIFERENCIA DE CUADRADOS - CASO IV - Ejercicios resueltos

Cuarto caso: diferencia de cuadrados, para saber que es una diferencia de cuadrados deben haber dos términos y estos deben ser así; el primer termino debe ser positivo y el segundo termino negativo, los exponentes de cada letra deben ser pares, para factor izar se extrae la raíz cuadrada de los dos términos, la raíz cuadrada de los dos se escriben en dos cuadrados diferentes uno sumando y uno restando, agrupado en los paréntesis multiplicando entre sí.

TRINOMIO DE LA FORMA x^2 + bx + c. Ejercicios resueltos

Quinto caso: trinomio de la forma X a la dos N más BX a la N más C, las características deben ser las siguientes; el coeficiente principal debe ser uno, el exponente del primer término debe ser el doble de el exponente del segundo término, para comenzar a factor izar se abren dos paréntesis multiplicándose entre sí, se le saca la raíz cuadrada al primer término y se coloca en los dos paréntesis, los signos dependerán de los signos del término inicial, a continuación buscamos un numero negativo y un numero positivo que multiplicados entre si nos den como resultado el valor de el tercer término y sumados entre si nos den el valor del segundo término, podemos comprobar utilizando la propiedad distributiva y al operar términos semejantes nos tiene que dar el trinomio original.

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NOTACION ALGEBRAICA. Ejercicios resueltos

EJERCICIOS RESUELTOS DE NOTACIÓN ALGEBRAICA

Traducción de lenguaje verbal a lenguaje algebraico

En álgebra debemos familiarizarnos con el lenguaje algebraico, éste lenguaje nos permite manejar de forma adecuada la materia.

Muchas situaciones se pueden describir en éste lenguaje y éste nos permite comprender situaciones planteadas en varios campos profesionales y cotidianos.

Notación Algebraica

Cada una de las sesenta y cuatro casillas de un tablero de ajedrez es identificada con dos caracteres de manera única. El primer carácter identifica la columna de la casilla, y se representa por una de las siguientes letras minúsculas a, b, c, d, e, f, g y h, ordenadas desde la izquierda del jugador con piezas blancas hasta su derecha.

La Notación algebraica

En muchas situaciones cotidianas podemos emplear el lenguaje algebraico y es importante manejar tal esquema de comunicación en las matemáticas.

También es de gran ayuda saber traducir el lenguaje verbal al lenguaje algebraico, detalle que nos permite movernos mejor en el área del álgebra y de muchos campos profesionales.

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POTENCIACION Y RADICACION. Ejercicios resueltos

EJERCICIOS RESUELTOS DE POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

Potenciación y radicación de fracciones

La propiedad de la potenciación que dice que el exponente se distribuye con respecto a la división y en la radicación el índice se distribuye con respecto a la división en un ejemplo (3/5) ala 2 en este caso el exponente es dos entonces el primer término se multiplicara por sí mismo dos veces y el denominador también por sí mismo.

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

Primero vamos a suponer que a y b son números reales y que c y de son números enteros entonces con los enteros y los racionales se cumplen las siguientes propiedades primero si se tiene a ala n por a ala m se pone la misma base es decir a y se suman los exponentes es decir n más m la segunda si te tiene a por b elevado a un exponente n ambos términos se elevaran a la n.

POTENCIACION Y RADICACION DE NUMEROS NATURALES

La potenciación dice que hay una base y un exponente el exponente nos indica el número de veces que se debe multiplicar la base por sí misma y la radiación es hallar el número que multiplicado por sí mismo nos del número que está en la base de la raíz por ejemplo la raíz cuadrada de 16 seria

La Radicación y sus Propiedades

Se había visto la operación llamada potenciación es decir una base a elevada a una cantidad n nos daba como resultado una nueva cantidad c recordemos que a es la base n es el exponente estas dos cantidades juntas conforman la potencia y c es el resultado de efectuar esta operación que es dicha multiplicación abreviada.

Potenciación

Primero intentamos simplificar con las propiedades de la potenciación primero hay una división de dos potencias que tienen la misma base lo que quiere decir es que se deja la misma base y se restan los exponentes y la otra propiedad que dice que una potencia elevada a otra potencia lo que se hace es que se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

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DERIVADA DE UN PRODUCTO. Ejercicios resueltos

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA DERIVADA DE UN PRODUCTO.

Derivada de un producto

Me dan una función y dos derivadas matemáticas que se están multiplicando entonces la derivada de un producto seria la función elevada al cuadrado y la primera derivada matemática elevada al cuadrado por la segunda derivada más la primera derivada del producto multiplicada por la segunda derivada del producto elevada al cuadrado.

Dada una función (y) y dos expresiones qué se están multiplicando (u, v), la derivada de esa función se determina por la primera expresión multiplicada por la derivada de la segunda expresión, sumada a la segunda expresión por la derivada de la primera expresión.

Derivar de un producto de funciones

Para derivar un producto (multiplicación) de una función, se descompone la función en cada uno de sus factores (u, v), se saca la derivada a cada uno de los factores del producto (u', v'), se multiplica el primer factor por la derivada del segundo factor (u v') y se suma con el producto del segundo factor con la derivada del primer factor (v u'); posteriormente se resuelve la expresión algebraica.

Derivada - Producto de polinomios

Cuándo la función Y es el producto de un polinomio, la derivada se puede hallar de dos maneras, resolviendo el producto y derivando el resultado o siguiendo el método de solución de derivadas con la fórmula el primero por la derivada del segundo más el segundo por la derivada del primero.

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PROPIEDADES DE LOS LIMITES. Ejercicios resueltos

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Suma de limites

Teorema de límites, si existen los límites de dos funciones (L y M) respectivamente, la suma de los límites corresponde la suma de los resultados (L más M), el producto de límites es la multiplicación de los resultados (L por M), de igual forma el cociente entre dos límites será igual a la división de los resultados siempre y cuando el denominador sea diferente de cero.

Límites de funciones

El límite de la suma de dos funciones es la suma de los límites de cada uno cada una de ellas. El límite de la resta de dos funciones es la resta de los límites de cada una de ellas. El producto de los límites de dos funciones es la multiplicación de los límites de cada una de ellas. El límite de un cociente de dos funciones qué es la división de los límites de cada una de ellas, siempre y cuando el límite de la función divisor sea diferente de cero.

Propiedades de los límites producto y cociente

La propiedad de límite de producto de funciones dice que el límite de multiplicación de dos funciones es igual la multiplicación del límite de la primera función por el límite de la segunda función. La propiedad de los límites de cociente de funciones dice que el que el límite de la división de dos funciones es igual al límite del numerador dividido el límite del denominador, siempre y cuando el límite del denominador sea diferente de cero.

Límites de división y propiedades

Cuando se tiene un límite que la variable tiende a infinito y el exponente de la variable del numerador es mayor que la del denominador el resultado del límite tiende a infinito, por el contrario cuándo el exponente de la variable en el numerador es menor que en el denominador el resultado tiende a cero.

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LIMITE DE FUNCIONES RACIONALES. Ejercicios resueltos

LÍMITE DE FUNCIONES RACIONALES. Ejercicios

Limite De Una Función Racional

Para determinar el límite de una función se sustituye la variable x en la función con el número que este en el denominador de la función, luego se realizan las operaciones remplazando x con el número que se eligió donde al final al operar en el numerador debió quedar 0 y el denominador también donde se diría que se obtuvo la forma indeterminada de cero sobre cero.

Límites de funciones racionales

Los limites más sencillos son los de las funciones polinómicas donde generalmente se aplica el principio de sustitución y se remplaza el valor al cual tiende donde en los límites de funciones racionales al momento de remplazar siempre quedara cero sobre cero y a esas expresiones se les llamara indeterminación es decir que es un valor que no se acepta.

Límite con racionalización y factorización

Para empezar siempre se debe evaluar la expresión en el término que se tiende donde se remplaza la x por ese término donde al final nos dará cero sobre cero lo cual se conoce como una indeterminación es decir algo que se le tiene que dar solución un límite nunca puede dar como resultado una indeterminación entonces se modifica la expresión y se utiliza la racionalización.

Límites de funciones racionales

En las funciones racionales se da polinomio sobre polinomio el cual lo podemos diferenciar en dos grupos diferentes cuando x tiende a un número real o cuando x tiende a más o menos infinito cuando x tiende a un número real nos puede aparecer dos tipos de indeterminaciones el tipo cero sobre cero y el tipo de una constante sobre 0.

Límites al infinito de funciones racionales

Para evaluar el límite de una función donde la variable tiende a infinito es importante saber evaluar el límite de otras funciones pero más básicas a estos límites se les llama limites importantes cuando x tiende a infinito utilizando el concepto de limite se toman valores cercanos a infinito y observar hacia donde tiende el resultado y hacia donde tiende llegar.

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FUNCION CUADRATICA. Ejercicios resueltos

EJERCICIOS DE FUNCIÓN CUADRÁTICA

Función Cuadrática Introducción

Son funciones generalmente de este tipo y=ax²+bx+c
donde a debe ser diferente de 0, la cual siempre va a dar al graficar una parábola que tiene un vértice que es el punto más alto o más bajo y las intersecciones con los ejes con la formula se puede graficar rápidamente y encontrar rápidamente los puntos para graficar.

La función cuadrática

Una función cuadrática está identificada por una ecuación 

f(x)=ax²+bx+c

donde a, b y c son coeficientes, números enteros positivos y la variable está en un primer término elevado al cuadrado y en un segundo término con un exponente de uno, el tercer término es un término independiente.

Funciones cuadráticas

Lo primero es ¿Cómo identificar una función cuadrática? Toda función cuadrática debe estar escrita de la siguiente forma La función f es una función cuadrática si y solo si f(x) puede ser escrita en la forma: donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero otra característica es que si a es mayor que cero la parábola va a abrir hacia arriba y si es menor que cero va abrir hacia abajo.

Cómo analizar y graficar una función cuadrática

El dominio de una función son todos los valores que va a tomar una función en el eje x, las funciones cuadráticas a no ser que estén restringidas van a estar siempre el dominio en todos los números reales, la imagen tiene que ver con el vértice en el caso de las funciones cuadráticas porque son solamente los valores que toma y.

Ejercicios de Función Cuadrática

La función cuadrática también llamada función de segundo grado o parábola la forma general de una función de segundo grado es f(x)=ax²+bx+c

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ECUACION DE LA LINEA RECTA. Ejercicios resueltos

EJERCICIOS: ECUACIÓN DE LA LÍNEA RECTA

Introducción a la línea recta

Una pendiente es una parte muy elemental de las rectas, a partir del eje x a la recta se forma un ángulo que recibe el nombre de ángulo de inclinación, cuando a este se le aplica la función tangente se le llama pendiente de la recta; cuando la inclinación es de esta manera (/) se dice que es positiva y si es al contrario se dice que es negativa, las ecuaciones de las rectas pueden ser: ordinarias, generales y simétricas.

Concepto de línea recta

Las líneas rectas se forman de la unión de varios puntos, que conservan una misma inclinación, una línea recta es infinita, el segmento de recta se forma cuando una línea recta se limita por dos puntos, la parte entre dos puntos ubicados en una línea recta se denominan segmentos rectilíneos, y cuando queremos medir el segmento toma el nombre de segmento rectilíneo dirigido.

Ecuaciones de lineas rectas

Cada recta tiene una inclinación particular y eso hace parte de la ecuación, para hallar de una recta con una determinada pendiente y una determinada intercepción en Y, para esto podemos usar la formula intercepto - pendiente de la que teniendo los datos a mencionados solo faltara reemplazarlos, o de la forma general los datos se ubicaran en un lado de la ecuación lo que será igual a cero, para resolverlo se pasan los datos cambiándole el signo a Y.

Ecuación general de una recta dados dos puntos

Vamos a hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, con los puntos conocidos se determina el valor de la pendiente, la pendiente se define como la diferencia de ordenadas sobre diferencia de abscisas, cuando el valor de la pendiente resultante es positiva se obtiene una recta ascendente (/), para encontrar la ecuación de la recta, se utiliza el modelo punto pendiente, para resolver esta ecuación debemos reemplazar los datos (no importa qué punto se elija) se resuelve la multiplicación y el resultado se pasa al lado izquierdo del igual cambiando los signos, y al lado derecho ponemos un cero, posteriormente organizamos la ecuación empezando por X, cuando la formula general empieza con un término negativo se multiplica por (-1) en ambos lados de la ecuación, lo que generara un cambio de signos.

Ejercicio Pendiente e Intercepto de una Linea Recta - Gráfica

En este vídeo nos proponen un ejercicio en el cual debemos hallar la pendiente y el intercepto con el eje Y, en este vídeo nos muestran una forma diferente de hallar el valor de la pendiente a comparación del anterior vídeo, entonces nos dice que la pendiente es igual a Y menos B sobre X menos cero, luego utilizamos la fórmula para pendiente y el intercepto con Y, el paso a seguir es despejar Y, al realizar la ecuación debemos recordar que esta debe ser equivalente por lo tanto si se realiza una operación a un lado se debe hacer en el otro lado de la ecuación.

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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. Ejercicios reueltos

EJERCICIOS SOBRE DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Distancia entre dos puntos

Para hallar la distancia entre dos puntos debemos hallar primero la distancia entre (X1) y (X2) para lo que utilizaremos una resta, posteriormente hallaremos la distancia entre (Y1) y (Y2) utilizando una resta, luego utilizamos el teorema de Pitágoras, uniendo los dos puntos se forma un triangulo rectángulo del que la distancia entre los dos puntos será la hipotenusa, así que la distancia entre dos puntos será igual a la raíz cuadrada de la diferencia de la distancia entre los puntos X’s al cuadrado mas la distancia entre los puntos Y’s al cuadrado.

Ejercicios de distancia entre dos puntos

En este vídeo nos muestran la fórmula para hallar la distancia entre dos puntos, luego nos explica como sustituir valores en ecuaciones, para hallar la distancia entre dos puntos lo primero que hacemos es graficar los dos puntos dados (A y B) el primer número dado en cada punto será el valor del eje X y el segundo numero será el valor del eje Y, uniendo los dos puntos resultantes obtenemos una recta la cual representara la distancia que debemos hallar, posteriormente se reemplazan los datos en la formula, el resultado de la distancia entre los dos puntos se podrá hallar con la raíz de la suma de el cuadrado de los puntos X y los puntos Y.

Ejemplos de distancia entre dos puntos

Los valores de X1 y X 2 y de Y1 y Y2 serán los valores dados en las coordenadas A y B, el video nos muestra cómo solucionar un ejercicio diferente al de los anteriores videos pero con la misma solución, utilizando el teorema de Pitágoras, sustituyendo los valores y obteniendo así el resultado final. Todo numero negativo elevado al cuadrado siempre dará positivo.

Distancia entre 2 puntos

Al unir los puntos dados obtenemos un segmento, la distancia entre los puntos es la longitud del segmento que se obtiene uniendo los puntos, podemos orientar el segmento A en sentido del punto B de esto se obtiene el vector AB, un vector fijo es un segmento orientado, cuando se proyectan los ejes se hallan los componentes de cada vector en el eje X y en el eje Y, formando un triangulo con los vectores con el valor de los componentes nos permite hallar la distancia de los puntos que es el modulo de el vector, posteriormente se emplea únicamente el teorema de Pitágoras, hallando así el resultado final.

Coordenadas cartesianas. Distancia entre dos puntos

Para representar un punto en un plano se recurre a un sistema de ejes cartesianos, este viene del filosofo y matemático descartes, que diseño un sistema de representación de un punto en un plano, La línea horizontal del plano cartesiano se denomina el eje de las abscisas, y la vertical se denomina el eje de las ordenadas, las que están a la derecha del punto del corte del eje x son positivas y las que están a la izquierda son negativas, lo mismo ocurre con el eje de las ordenadas, las que están arriba del corte son positivas y las que están abajo del corte son negativas.

Ejercicios resueltos sobre la distancia entre dos puntos

Como ya vimos en los anteriores vídeos el proceso para desarrollar un ejercicio en el que debamos hallar la distancia entre dos puntos se realiza mediante el teorema de Pitágoras, lo primero que hacemos es graficar en un plano cartesiano en donde ubicamos los dos puntos para determinar la distancia que debemos hallar, determinar los valores que serán reemplazados en la formular, y por ultimo resolver.

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SUMA DE VECTORES. Ejercicios resueltos

EJERCICIOS SOBRE SUMA DE VECTORES

Como Sumar Vectores en Fisica

En el ejercicio nos dan dos vectores y nos piden hallar un tercer vector al cual lo llamaremos vector suma, este se consigue uniendo el origen del primer sumando con el extremo del segundo, cuando este se traslada paralelamente a su dirección hasta que su origen coincida con el extremo del primero. 

Ya que los vectores poseen magnitud y dirección debemos sumar por el método gráfico, lo primero que hacemos es unir los dos vectores como ya se ha explicado anteriormente, ubicándolos notamos que el orden de los factores no altera el producto y como conclusión podemos decir que la suma de vectores es conmutativa.

Para seguir con el desarrollo del ejercicio utilizamos lo que se conoce como el método del paralelogramo, identificamos el vector diferencia, posterior se invierte gráficamente la posición de los vectores y la resultante va a ser el punto de inicio y el punto final no que nos dará el vector suma.

Para mayor precisión presentamos el siguiente tutorial que contiene los pasos a seguir para desarrollar ejercicios.

Todo explicado de una forma clara y didáctica.

Suma de vectores libres por el método de cabeza y cola. Ejercicio

Un vector se representa por medio de un segmento de recta de longitud igual al valor numérico del vector y una punta de flecha para indicar la dirección, en este vídeo nos hablaran de el método cabeza cola, que consiste en unir los vectores de la siguiente manera, se elige un vector como primer sumando luego un segundo vector paralelo a su dirección de manera que su origen coincida con el extremo y así sucesivamente dependiendo de el numero de vectores que nos den.

Suma de vectores libres

En este vídeo nos habla sobre suma de vectores libres, nos hablan sobre el método de cabeza y cola que se refiere a que la cabeza de un vector se une con la cola de otro vector dependiendo de la cantidad de vectores que se vayan a emplear, el vector suma se va a trazar desde la cola del primero y la cabeza de el último, sumamos el vector a con el vector b y a el resultado le sumamos el vector c para verificar que el vector resultante de esa operación sea igual al vector suma.

Suma y resta de vectores método analítico

En el video nos muestran una caja la cual es alada hacia diferentes direcciones ejerciendo en cada una de ellas una fuerza distinta, para saber así que dirección se mueve la caja debemos sumar los vectores dados, sabiendo esto dibujamos cada vector en un plano cartesiano, deduciendo que es una suma trigonométrica para hallar los catetos a partir de la hipotenusa utilizamos las relaciones trigonométricas, se suman las fuerzas en el eje x y en el eje y, ubicamos estas dos fuerzas en el plano cartesiano para hallar el vector resultante de la suma de estas fuerzas así que construimos un paralelogramo y a partir del vértice que está en el origen y de allí resulta el vector de origen, observamos que tenemos un triangulo rectándolo y con el teorema de Pitágoras para hallar la fuerza con la que se mueve la caja ahora para hallar la dirección para esto utilizamos la fórmula para hallar el ángulo,

Ejemplos de la suma de vectores libres utilizando dos vectores

En este vídeo nos proponen un ejercicio en el cual debemos hallar la magnitud del desplazamiento y la dirección, determinando los valores y mediante el teorema de Pitágoras podemos hallar el vector resultante, en el segundo ejercicio los dos vectores están en la misma dirección pero en sentidos opuestos, la suma de estos vectores se realizara sumando la magnitud de a mas la magnitud de b y con esto obtenemos el vector resultante.

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TRANSFORMACION DE COORDENADAS. Ejercicios resueltos

EJERCICIOS DE TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

Geometría Analítica - Transformación de Coordenadas

En el vídeo muestran los pasos para reducir una ecuación de segundo grado a una ecuación más simple para luego graficar los sistemas resultantes y después se analiza la curva o la recta resultante.

En los siguientes vídeos veremos:

1. Ejemplos paso a paso
2. Ejercicios Resueltos
3. Ejemplos y Ejercicios
4. Problemas Resueltos
5. Algoritmos de solución
6. Respuesta
7. Conclusión

Punto medio de un segmento

En el vídeo muestran la forma de hallar el punto medio de un segmento de recta dadas las coordenadas de los extremos usando la fórmula del punto medio.

Ecuación de la recta. Pendiente de una recta

En el vídeo muestra al principio una ecuación explicita de una recta después se explica el concepto de la pendiente de la recta y como se halla mediante las coordenadas de dos puntos además explica cuáles son los tipos de pendientes que hay

Distancia entre dos puntos

En el vídeo se muestra como hallar la distancia entre dos puntos de un segmento de recta mediante el uso del teorema de Pitágoras.

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