Multiplicación de Números Enteros | Ejercicios Resueltos
La multiplicación de números enteros es una operación que permite obtener un resultado a partir de dos o más números enteros. La multiplicación se puede entender como la suma repetida de un número, es decir, la multiplicación de dos números a y b se puede interpretar como sumar a "b" veces el número "a".
Para multiplicar números enteros, se multiplican los valores absolutos de los números y se determina el signo del resultado según las siguientes reglas:
- Si ambos números son positivos, el resultado es positivo.
- Si ambos números son negativos, el resultado es positivo.
- Si uno de los números es positivo y otro es negativo, el resultado es negativo.
Ley de los Signos
La ley de signos de la multiplicación de números enteros establece que:
- Si los números tienen el mismo signo (positivo o negativo), el resultado de su multiplicación es positivo.
- Si los números tienen signos diferentes, el resultado de su multiplicación es negativo.
Esta ley puede ser representada en una tabla de la siguiente manera:
| Signo de los números | Resultado de la multiplicación |
|---|---|
| Igual (+ y +) o (- y -) | Positivo |
| Distinto (+ y -) o (- y +) | Negativo |
Por ejemplo, si tenemos los números 3 y -4, podemos aplicar la ley de signos de la multiplicación para determinar el signo del resultado:
- Como los números tienen signos diferentes, el resultado de su multiplicación será negativo.
- Entonces, podemos multiplicar los valores absolutos de los números (3 y 4) para obtener 12.
- Finalmente, agregamos el signo negativo al resultado, luego el resultado de la multiplicación es -12.
De esta forma, la ley de signos de la multiplicación nos permite determinar el signo de la multiplicación de dos números enteros y obtener el resultado correcto.
A continuación, se presentan cuatro ejemplos de multiplicaciones de números enteros:
Ejemplo | Operación | Explicación |
|---|---|---|
| 1 | 3 x 4 | Multiplicamos los valores absolutos de los números: 3 x 4 = 12. Ambos números son positivos, por lo que el resultado es positivo. |
| 2 | -2 x 5 | Multiplicamos los valores absolutos de los números: 2 x 5 = 10. Uno de los números es negativo, por lo que el resultado es negativo. Entonces, -2 x 5 = -10. |
| 3 | -3 x -2 | Multiplicamos los valores absolutos de los números: 3 x 2 = 6. Ambos números son negativos, por lo que el resultado es positivo. Entonces, -3 x -2 = 6. |
| 4 | 0 x 7 | Multiplicamos los valores absolutos de los números: 0 x 7 = 0. Cualquier número multiplicado por cero es cero, por lo que el resultado es cero. |
La multiplicación de números enteros se puede entender como una especie de "escalado". Al multiplicar un número entero por otro, estamos multiplicando la magnitud o tamaño de ese número. Si el número es positivo, se agranda, y si es negativo, se reduce y se invierte.
Por ejemplo, si multiplicamos 3 por 4, estamos escalando el número 3 tres veces para que sea igual a 12, que es el resultado de la multiplicación. Si multiplicamos -2 por 5, estamos escalando el número negativo 2 cinco veces para obtener -10 como resultado.
A continuación, se presentan cuatro ejemplos de multiplicación de números enteros:
Ejemplo | Operación | Explicación |
|---|---|---|
| 1 | 3 x 4 | Escalamos el número 3 tres veces para obtener 12, ya que estamos multiplicando por un número positivo. |
| 2 | -2 x 5 | Escalamos el número negativo 2 cinco veces, pero invertimos el signo del resultado ya que estamos multiplicando por un número positivo. Así, -2 x 5 = -10. |
| 3 | -3 x -2 | Escalamos el número negativo 3 dos veces, lo que nos da 6. Luego invertimos el signo del resultado ya que estamos multiplicando dos números negativos. Así, -3 x -2 = 6. |
| 4 | 0 x 7 | Al multiplicar cualquier número por cero, obtenemos cero como resultado, ya que no hay nada que escalar. |
En forma similar a la empleada para obtener la suma de dos números enteros de una manera intuitiva, interpretaremos el producto o multiplicación de dos números enteros mediante la recta numérica.
Si a y b son números enteros, el producto de a y b se representa por:
a x b, ab, a • b , (a) (b); donde "a" es el primer factor y "b" es el segundo factor.
Obtenemos el producto a x b mediante la siguiente interpretación geométrica:
1. Gráfica del plano cartesiano
Trazamos dos rectas numéricas que sean perpendiculares (una horizontal y la otra vertical) y asignamos el entero cero al punto de intersección. Los números positivos y negativos quedan representados en cada recta como lo indica la figura.
A las rectas numéricas dispuestas en esta forma se les llama sistema de coordenadas.
2.
Localizamos el primer factor
a
sobre
la recta horizontal y el segundo factor
b
sobre la
recta vertical
3. Trazamos la recta R1 que pasa por el punto que corresponde al primer factor a (sobre la horizontal) y por el punto que corresponde al 1 sobre la vertical.
4. Por el punto b (que corresponde al segundo factor y que se encuentra sobre la recta vertical) trazamos la recta R2 tal que R1IIR2,es decir que R1 sea paralela a R2. El punto de intersección de R2 con la horizontal corresponde al producto a x b, como se indica en la figura.
Como a
y b
son números enteros, entonces puede ocurrir que los dos factores
tengan igual signo o signos diferentes.
PRODUCTO DE NÚMEROS ENTEROS DE IGUAL SIGNO
Ejemplo 1
Determinemos
3X4, donde los dos factores son positivos. Se traza
R1
que
pasepor
el punto que corresponde a 1 sobre la vertical y por el que
corresponde a 3sobre
la
horizontal. A
continuación
trazamos
por
el
punto
que
corresponde
anúmero
4 sobre la vertical, la recta
R2||
R1.
Observemos en la figura, quela recta R2 corta al eje horizontal en un punto que corresponde al número entero12.Luego, 3x4= 12, donde 12tiene signo positivo (+12) y esel producto de los valoresabsolutos de los factores.
Ejemplo 2
Observemos en la figura, quela recta R2 corta al eje horizontal en un punto que corresponde al número entero12.Luego, 3x4= 12, donde 12tiene signo positivo (+12) y esel producto de los valoresabsolutos de los factores.
Ejemplo 2
Determinemos -3 X -2, donde los dos factores son negativos. La
figura nos;ilustra
que el resultado es + 6.Procediendo
de la mismamanera,
teniendo cuidado en laubicación
de cada numero, esdecir,
en este caso los númerosse
ubican en la parte negativade
cada recta, por esto (-3);queda
ubicado en la parte
izquierda de la recta horizontal y (-2) en la parte inferior de
la recta vertical seobtiene
la gráfica.
Luego, (-3) X (-2) =
+ 6 = 6,
donde 6 tiene signo positivo (+6) y es producto
delos
valores absolutos de los factores
|- 3| = 3 y |-2| = 2, o sea: |- 3| •
|- 2|
=3X2 = 6.
Los
ejemplos anteriores nos permiten
generalizar
y
dar
la
siguiente
regla;práctica:
El producto de dos números enteros del mismo
signo es otro número entero
cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de
los factores y susigno es
positivo.
Ejemplo
3
Como aplicación de la regla dada, tenemos:
5 x 8 = + 40 = 40
-5 x - 8 = + 40 = 40
-128 x -235 = + 30 080 = 30 080
-1
x -128 = +128= 128
PRODUCTO DE NÚMEROS ENTEROS DE DISTINTO SIGNO
Ejemplo
4
Determinemos
2 X ( 4), donde el primer factor es positivo y el segundo
factor
es negativo.
En
este
caso
el
2, por
ser
positivo, queda;ubicado
en
la
parte
derecha
de
la
recta horizontal,
mientras que
el
(-4)
por
sernegativo
queda en la parte inferior de la recta vertical.
La
figura nos ilustra que el resultado es 8. Luego, 2 X ( 4) = 8,
donde 8tiene
signo negativo y su valor absoluto coincide con el producto de
los valoresabsolutos
de los dos factores.
|2| = 2,
|-4| = 4 y |-8| = |2| X |-4| = 2 X 4 = 8
El producto de dos números enteros de distinto signo
es otro número entero
cuyo valor absoluto es el producto de los valores
absolutos de los factores y su
signo es negativo.
PROPIEDADES
La interpretación geométrica de la multiplicación de números enteros la hemos establecido con el fin de que esta operación tenga las mismas propiedades dela multiplicación de números naturales y cero. A continuación enunciamos estas propiedades y sus aplicaciones, dejando como ejercicio la verificación geométrica de las mismas.A. Propiedad Clausurativa.
Si a, b
€ Z, entonces a X b € Z.
El
producto de dos números enteros es otro
número
entero.
Ejemplo 5
-8
є Z y 4 є Z; -8 x 4 =
-32; y -32 є Z.
-20
є Z y 0 є Z-20
x
0 = 0 y 0 є Z.
B. Propiedad conmutativa
Si a, b € Z, entonces ab = ba.Ejemplo 6
-5
x 3 = -15
y
3 x (-5) = -15.
Luego, -5 x 3 = 3 x (-5).
-4
x (-6) = + 20y
-5 x (-4) = + 20.Luego,
4 x ( 5) =
5 x (4).
C. Propiedad asociativa
Si
a, b y c €
Z, entonces (ab) c = a (be).
Ejemplo
12
a)
(5 x 3) x (-4) = 15 x (-4) = -60 5 x {3 x (-4)} = 5 x (-12) =
-60
Luego,
(5 x 3) x ( 4) = 5 x (3 x ( 4)).
b)
[-5 x (-3)] x (-1) = 15 x (-1) = -15 y -5 x [(-3) x (-1)] = -5 x 3 =
-15
Luego,
[-5x (-3)] x (-1) = -5 x [(-3) x (-1)].
D. Propiedad del elemento neutro (modulativa)
Si a є Z, entonces a • 1 = 1 • a = a.El número 1 es el elemento neutro para el producto de números enteros.
Ejemplo 7
-5 x 1=1=1x (-5) = -5 4x1 = 1 x 4 = 4 0 x 1 = 1 x 0 = 0
Observemos que ( 1) x 5 = 5 X ( 1) = 5, pero 5 ≠ 5, luego 1 no es
elemento neutro para el producto de enteros.
E. Propiedad uniforme
Si a, b y c 6 Z y a = b, entonces a • c = b • cEjemplo 8
Sea 5 x 3 = 15 una igualdad de números y 4 e Z.
Entonces, (-5 x 3) x (-4) = -5 x [3 x (-4)] = -5 x (-12) = +60y
-15 x (-4) = +60.;Luego, (-5 x 3) X ( 4) = -15 x (-4).
F. Propiedad cancelativa
Si a, b y c є Z y a • c = b • c, entonces a = b, con c ≠ 0Ejemplo 9
Hallemos
el valor de
x
entero en:
3 •
x
=7
• ( -3).
Solución 3 • x = -7 • (3)
3 • x =3 • ( -7) (propiedad conmutativa)
x = -7 (propiedad cancelativa)
G. Propiedad distributiva
Si a, b y c e Z, entonces (a + b) • c = a • c + b • c.
Solución 3 • x = -7 • (3)
3 • x =3 • ( -7) (propiedad conmutativa)
x = -7 (propiedad cancelativa)
G. Propiedad distributiva
Si a, b y c e Z, entonces (a + b) • c = a • c + b • c.
