17.1.13

Multiplicación de Números Naturales

Multiplicación de Números Naturales

En forma similar a la empleada para obtener la suma de dos números enteros de una manera intuitiva, interpretaremos el producto o multiplicación de dos números enteros mediante la recta numérica.

Si a y b son números enteros, el producto de a y b se representa por:

a x b, ab, a • b , (a) (b); donde "a" es el primer factor y "b" es el segundo factor.

Obtenemos el producto a x b mediante la siguiente interpretación geométrica:



1. Gráfica del plano cartesiano


Trazamos dos rectas numéricas que sean perpendiculares (una horizontal y la otra vertical) y asignamos el entero cero al punto de intersección. Los números positivos y negativos quedan representados en cada recta como lo indica la figura.

A las rectas numéricas dispuestas en esta forma se les llama sistema de coordenadas.

La recta horizontal se llama eje de las abscisas y la vertical se llama eje de las ordenadas.

2. Localizamos el primer factor a sobre la recta horizontal y el segundo factor
b sobre la recta vertical




3. Trazamos la recta R1 que pasa por el punto que corresponde al primer factor a
(sobre la horizontal) y por el punto que corresponde al 1 sobre la vertical.








4. Por el punto b (que corresponde al segundo factor y que se encuentra sobre la recta vertical) trazamos la recta R2 tal que R1IIR2,es decir que R1 sea paralela a R2. El punto de intersección de R2 con la horizontal corresponde al producto a x b, como se indica en la figura.

Como a y b son números enteros, entonces puede ocurrir que los dos factores tengan igual signo o signos diferentes.

PRODUCTO DE NÚMEROS ENTEROS DE IGUAL SIGNO

Ejemplo 1

Determinemos 3X4, donde los dos factores son positivos. Se traza R1 que pasepor el punto que corresponde a 1 sobre la vertical y por el que corresponde a 3sobre la horizontal. A continuación trazamos por el punto que corresponde anúmero 4 sobre la vertical, la recta R2|| R1.
Observemos en la figura, quela recta R2 corta al eje horizontal en un punto que corresponde al número entero12.Luego, 3x4= 12, donde 12tiene signo positivo (+12) y esel producto de los valoresabsolutos de los factores.



Ejemplo 2

Determinemos -3 X -2, donde los dos factores son negativos. La figura nos;ilustra que el resultado es + 6.Procediendo de la mismamanera, teniendo cuidado en laubicación de cada numero, esdecir, en este caso los númerosse ubican en la parte negativade cada recta, por esto (-3);queda ubicado en la parte


izquierda de la recta horizontal y (-2) en la parte inferior de la recta vertical seobtiene la gráfica.

Luego, (-3) X (-2) = + 6 = 6, donde 6 tiene signo positivo (+6) y es producto delos valores absolutos de los factores

|- 3| = 3 y |-2| = 2, o sea: |- 3| • |- 2| =3X2 = 6.

Los ejemplos anteriores nos permiten generalizar y dar la siguiente regla;práctica:

El producto de dos números enteros del mismo signo es otro número entero
cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores y susigno es positivo.

Ejemplo 3

Como aplicación de la regla dada, tenemos:

5 x 8 = + 40 = 40

-5 x - 8 = + 40 = 40

-128 x -235 = + 30 080 = 30 080
-1 x -128 = +128= 128

PRODUCTO DE NÚMEROS ENTEROS DE DISTINTO SIGNO


Ejemplo 4

Determinemos 2 X ( 4), donde el primer factor es positivo y el segundo factor
es negativo.

En este caso el 2, por ser positivo, queda;ubicado en la parte derecha de la recta horizontal, mientras que el (-4) por sernegativo queda en la parte inferior de la recta vertical. La figura nos ilustra que el resultado es 8. Luego, 2 X ( 4) = 8, donde 8tiene signo negativo y su valor absoluto coincide con el producto de los valoresabsolutos de los dos factores.

|2| = 2, |-4| = 4 y |-8| = |2| X |-4| = 2 X 4 = 8





El producto de dos números enteros de distinto signo es otro número entero
cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores y su
signo es negativo.

PROPIEDADES

La interpretación geométrica de la multiplicación de números enteros la hemos establecido con el fin de que esta operación tenga las mismas propiedades dela multiplicación de números naturales y cero. A continuación enunciamos estas propiedades y sus aplicaciones, dejando como ejercicio la verificación geométrica de las mismas.

A. Propiedad Clausurativa.


Si a, b Z, entonces a X b € Z. El producto de dos números enteros es otro
número entero.



Ejemplo 10


-8 є Z y 4 є Z; -8 x 4 = -32; y -32 є Z.



-3 є Z y -4 є Z; -3 x (-4)= +12 y +12 є Z.

-20 є Z y 0 є Z-20 x 0 = 0 y 0 є Z.

B. Propiedad conmutativa

Si a, b Z, entonces ab = ba.

Ejemplo 11
-5 x 3 = -15 y 3 x (-5) = -15. Luego, -5 x 3 = 3 x (-5).


-4 x (-6) = + 20y -5 x (-4) = + 20.Luego,
4 x ( 5) = 5 x (4).



C. Propiedad asociativa

Si a, b y c Z, entonces (ab) c = a (be).

Ejemplo 12


a) (5 x 3) x (-4) = 15 x (-4) = -60 5 x {3 x (-4)} = 5 x (-12) = -60

Luego, (5 x 3) x ( 4) = 5 x (3 x ( 4)).


b) [-5 x (-3)] x (-1) = 15 x (-1) = -15 y -5 x [(-3) x (-1)] = -5 x 3 = -15


Luego, [-5x (-3)] x (-1) = -5 x [(-3) x (-1)].


D. Propiedad del elemento neutro (modulativa)

Si a є Z, entonces a • 1 = 1 • a = a.

El número 1 es el elemento neutro para el producto de números enteros.

Ejemplo 13

-5 x 1=1=1x (-5) = -5 4x1 = 1 x 4 = 4 0 x 1 = 1 x 0 = 0

Observemos que ( 1) x 5 = 5 X ( 1) = 5, pero 5 ≠ 5, luego 1 no es

elemento neutro para el producto de enteros.


E. Propiedad uniforme



Si a, b y c 6 Z y a = b, entonces a • c = b • c

Ejemplo 14

Sea 5 x 3 = 15 una igualdad de números y 4 e Z.

Entonces, (-5 x 3) x (-4) = -5 x [3 x (-4)] = -5 x (-12) = +60y
-15 x (-4) = +60.;Luego, (-5 x 3) X ( 4) = -15 x (-4).


F. Propiedad cancelativa


Si a, b y c є Z y a • c = b • c, entonces a = b, con c ≠ 0

Ejemplo 15 Hallemos el valor de x entero en: 3 • x =7 • ( -3).
Solución 3 • x = -7 • (3)
3 • x =3 • ( -7) (propiedad conmutativa)
x = -7 (propiedad cancelativa)
G. Propiedad distributiva
Si a, b y c e Z, entonces (a + b) • c = a • c + b • c.