5.8.13

DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES - Ejercicios Resueltos

DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES - Problemas y Ejercicios Resueltos.

El procedimiento para la división de decimales es muy similar a la división de números enteros. Podemos convertir el divisor en un número entero multiplicando ambos, divisor y el dividendo por el mismo número (por ejemplo por, 10, 100, 1000, etc) hasta que el divisor quede como un número entero.

Una manera lógica de hacer esto es para mover el punto decimal en el extremo derecho del divisor y mover el punto decimal del dividendo el mismo número de lugares.

Cuando sabe cómo hacer una división larga, es fácil encontrar la manera de dividir decimales. Sin embargo, a diferencia de dividir números enteros, con los decimales, hay que añadir ceros en el dividendo y también hay que completar el problema sin residuos en lo posible.

Dividir números decimales:

Si el divisor no es un número entero, mueva el punto decimal a la derecha para que sea un número entero y mueva el punto decimal en el dividendo el mismo número de lugares.

Divida como de costumbre. Siga dividiendo hasta que la respuesta termine o se den las repeticiones.

Coloque el punto decimal directamente encima del punto decimal en el dividendo.

Compruebe su respuesta. Multiplique el cociente por el divisor y el resultado debe ser el dividendo.

A continuación tenemos un tutorial del profe Julio donde explica el proceso de manera detallada:



Recuerde:

Para dividir un número decimal entre otro número decimal se debe:

Hacer que el divisor se convierta en un número entero moviendo el punto decimal en el divisor hacia la derecha hasta que sea un número entero.

A continuación, mueva el punto decimal en el dividendo hacia la derecha el mismo número de lugares.

Finalmente divida el nuevo dividendo por el nuevo divisor.

Aquí tenemos más ejercicios resueltos:

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES. Ejemplos

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES. Ejemplos.

La adición de decimales

La adición de decimales es muy similar a la adición de números enteros, excepto por unos pocos detalles técnicos adicionales. Recuerde que los decimales son sólo fracciones. Añadimos fracciones mediante la adición de las partes de números enteros y las partes fraccionarias separadas.

Para sumar números decimales siga los siguientes pasos.

Paso 1: Alinear los números verticalmente, de modo que todos los puntos decimales están en una recta vertical.

Paso 2: Agregar ceros adicionales a la derecha del número de modo que cada número tenga el mismo número de dígitos a la derecha del punto decimal.

Paso 3: Sumar como lo haría con números enteros. Coloque el punto de los resultados en línea con los otros puntos decimales.

Si sabe cómo sumar y restar números enteros, entonces puede sumar y restar decimales. Sólo asegúrese de alinear las condiciones para que todos los puntos decimales están en una línea vertical.

Ejemplo 7

Calcular 5,84 + 8 + 12.79.

Solución:












El punto decimal en la respuesta está alineado con los puntos decimales de los números que figuran en vertical.

Resta de Decimales

A continuación veremos la suma y la reta de decimales con ejercicios resueltos en el siguiente tutorial



A continuación veremos la estimación de sumas con decimales, comparar y ordenar decimales, suma y resta de decimales con décimas, centésimas y milésimas.

Ejercicios resueltos de suma y resta de decimales.

4.8.13

PROBLEMAS SOBRE EDADES - Ejercicios Resueltos

PROBLEMAS SOBRE EDADES.

Es te tipo de problemas, se deben plantear de la siguiente forma:

Primero entendiendo muy bien el enunciado y luego se debe realizar la estructura de la ecuación apropiada para luego proceder a resolver la ecuación con el fin de encontrar la respuesta que nos piden.

Para muchas pruebas de aptitud numérica se tienen en cuenta éste tipo de problemas, los cuales pueden ser muy tediosos si no se maneja de manera aprropiada el concepto y el planteamiento de ecuaciones.

Veamos a continuación varios ejercicios resueltos en vídeo que nos permitirán llevar un proceso sistemático para estos tipos de problemas:

Ejercicio 1: La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo y dentro de 14 años será el doble. ¿Qué edad tiene cada uno?

Solución en el vídeo.




Ejercicio 2: Un padre de 43 años tiene dos hijos de 9 y 11 años. ¿Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?

Solución en el vídeo siguiente.




Ejercicio 3: Roberto tiene el triple de edad que su hija Nuria. Calcula la edad de cada uno sabiendo que dentro de 12 años la edad del padre será solamente el doble que la de su hija.

Solución en el próximo vídeo.


PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE ECUACIONES DE PRIMER GRADO.

Vamos a aprender a plantear los problemas que se resuelven a partir de una ecuación dada.

Por ejemplo, la ecuación:
x + 14 = 3x tiene la solución:

x-3x = -14 ⇒-2x = -14 ⇒ x = 7

Sobre esta base, podemos plantear un verdadero problema que debe ser resuelto por medio de la ecuación descrita. Un recurso sencillo es crear una declaración de uso de números, "traducir" en palabras lo que la ecuación representa, es decir:

"Si se agrega un número a 14 vamos a obtener el triple de ese número. ¿Cuál es el número?"

Llamemos x ese número, el triple será 3x, así que se puede ahora plantear y resolver la ecuación. Como el resultado ya se conoce, sabemos de antemano que la solución es 7, pero lo podemos reemplazar para comprobar que el resultado es válido:

7 + 14 = 3 ⋅ 7 ⇒ 21 = 21
Así, 7 + 14 es igual a 21, es decir, el triple de 7.

Este tipo de problema puede plantearse con objetos reales, como monedas, pasteles, etc

Por ejemplo:

Veamos la siguiente ecuación:

2x + x / 3 = 77

La solución es:





Ejercicios Resueltos con ecuaciones de primer grado:



Más ejercicios resueltos:

a) 3x + 6 = 12

b) 3x = 6

c) x = 2

Utilización de las ecuaciones para resolver problemas

Como se puede ver, la resolución de ecuaciones de primer grado en una variable no es demasiado difícil. Por otro lado, la resolución de problemas matemáticos, que dan lugar a las ecuaciones de primer grado, a menudo nos causa mucha ansiedad y dolor. La dificultad se produce en la traducción del problema expresado en lenguaje estándar en términos matemáticos.

Afortunadamente para todos nosotros, hay algunas reglas que se pueden seguir y pueden ayudarnos a superar esta dificultad.

Reglas para resolver problemas

Paso 1. Lee el problema cuidadosamente, asegurándose de que entiende lo que se dice y lo que se está pidiendo.

Paso 2. Si es posible realizar un diagrama apropiado, dibujar, y utilizarlo para resolver el problema.

Paso 3. Plantea la ecuación respectiva.

Paso 4. Resuelve la ecuación.

Tenemos a continuación algunos trucos para resolver las ecuaciones en el siguiente vídeo:

OPERACIONES COMBINADAS CON ENTEROS - Ejercicios Resueltos

OPERACIONES COMBINADAS CON ENTEROS - Ejercicios.

En esta entrada se revisan las ideas básicas de los números enteros y los utilizamos para la práctica de las siguientes operaciones: suma, multiplicación, división y potencias en operaciones combinadas utilizando signos de agrupación.

Estas actividades son adecuadas como un complemento para obtener una mejor comprensión de los conceptos y las operaciones.

El objetivo principal de esta entrada es aprender cosas sobre números enteros en cuando a las operaciones combinadas con signos de agrupación como paréntesis, corchetes, llaves, etc.

Para resolver ejercicios con operaciones combinadas, es conveniente que recordemos la eliminación de signos de agrupación:

1) Si el signo de agrupación está precedido del signo mas (+), podemos quitar el signo de agrupación sin realizar ningún cambio en su interior.

2) Si el signo de agrupación está precedido del signo menos (-), al quitar el signo de agrupación, cambiamos el signo de cada uno de los términos que que están dentro de él.

A continuación miremos los ejercicios resueltos:



Más operaciones combinadas con la utilización y destrucción de signos de agrupación. Ejercicios resueltos paso a paso:

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES - Ejercicios Resueltos.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES - Ejemplos.

Para multiplicar una fracción por un número natural, se multiplica el número por el numerador de la fracción y se deja el mismo denominador.

Aquí hay 3 sencillos pasos para multiplicar fracciones

1. Multiplica los números de arriba (los numeradores).

2. Multiplica los números de abajo (el denominador).

3. Simplificar la fracción, si es necesario.

Pero aquí otro pasos sencillos que pueden ser más útiles:

Para multiplicar fracciones:

1) Simplifique las fracciones, si no en su mínima expresión.

2) Multiplica los numeradores de las fracciones para obtener el nuevo numerador.

3) Multiplica los denominadores de las fracciones para obtener el nuevo denominador.

4) Simplifica la fracción resultante, si es posible.

La ventaja de los últimos pasos es que puedes simplificar al principio y ésto facilita los cálculos.

Veamos a continuación los ejemplos de forma sencilla:



Conceptos generales de matemáticas y más ejercicios resueltos:
Vídeo tutorial.



SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS - Ejercicios Resueltos.

Suma y Resta de Fracciones Heterogéneas.

Sumar y restar fracciones heterogéneas en matemáticas NO es tan fácil como sumar y restar fracciones homogéneas, pero la buena noticia es que siempre podemos convertir las fracciones heterogéneas en homogéneas y proceder a sumar y resta de forma fácil.

Recordemos que son fracciones heterogéneas las que tienen diferente denominador. Para sumar y restar fracciones heterogéneas de la misma unidad, se hallan fracciones equivalentes con denominador igual al mínimo común múltiplo de los denominadores o mínimo común denominador.


Luego, se suman o se restan, según el caso, las fracciones homogéneas correspondientes como se indicó en la anterior entrada.


Esto quiere decir que por medio del mínimo común múltiplo podemos convertir las fracciones que inicialmente están heterogéneas a homogéneas.

En los siguientes vídeos encontramos todos los ejercicios resueltos:




Es importante seguir practicando. Además podemos utilizar otras técnicas como aplicar la multiplicación en equis para sumar estas fracciones. veamos más ejemplos importantes y algo más complejos:


SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS - Ejercicios Resueltos

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS. Ejemplos.

Cuando hablamos de operaciones con fracciones, tenemos la facilidad de sumar y restar fracciones que sean homogéneas, es decir que tengan el mismo denominado, ésto es debido a que para hacerlo basta con sumar o restar los numeradores y dejar el mismo denominador común. Es así de sencillo, esto lo debemos aprovechar porque en ocasiones he visto estudiantes sumando fracciones homogéneas como si fuesen heterogéneas; aunque el resultado es el mismo el proceso es un poco más demorado.

Recuerda que las fracciones homogéneas son las que tienen el mismo denominador.

Ten en cuenta que el denominador es el número que está debajo en la fracción; para 5/6 el denominador es es el 6.

Son fracciones homogéneas:

2/3 ; 5/3 ; 1/3 ; 7/3

No son fracciones homogéneas:

5/4 ; 9/2 ; 3/7

Ahora veamos los ejercicios resueltos:




Miremos otros ejercicios de utilidad, y recuerda siempre identificar a primera vista si las fracciones son homogéneas, pues esto facilita mucho el procedimiento.


Fraccionarios en la Recta Numérica - Ejemplos

Ubicación de Fraccionarios en la Recta Numérica.

La ubicación de fracciones en la recta numérica puede ser un problema para muchos estudiantes si no tienen claro el concepto.

Debemos estar atentos a los ejemplos explicados para llegar a comprender este tema tan importante de las matemáticas.


En la recta numérica se pueden representar números fraccionarios. Cada punto sobre la recta, se asocia con una fracción.


Es decir, si decimos Carlos ha avanzado en su coche 3/6 de un kilómetro, significa que se encuentra en la parte correspondiente a esa fracción de kilómetro.

Para la solución de éste problema, se divide el segmento comprendido entre 0 y 1 en 6 partes de la misma longitud. Luego, se cuentan 3 partes a partir del cero para ubicar el lugar donde se encuentra el coche.

Para reforzar lo anterior tengamos en cuenta los siguientes vídeos:







Podemos notar lo simple que es ubicar las fracciones en la recta, a continuación tenemos más ejemplos ilustrativos que pueden ser de mucha ayuda:


3.8.13

Simplificación y Amplificación de Fracciones. Ejercicios Resueltos

Simplificación y Amplificación de Fracciones. Ejercicios.

Simplificar fracciones

La simplificación o reducción de una fracción es la transforción en una fracción simple, equivalente.

Para simplificar una fracción, se divide el numerador y el denominador por el mismo número.

Para determinar qué número es el indicado para dividir, en primer lugar se debe encontrar los números primos de ambos, es decir del numerador y el denominador: 2, 3, 5, 7, ... En otras palabras, tratar de dividir el numerador y el denominador por un número divisible por dos, si no es posible seguimos probando con el 3, y así sucesivamente.

El proceso se repite hasta que no hay más divisores comunes.

Si los términos de la fracción terminan en ceros, podemos empezar por la eliminación de los ceros comunes finales del numerador y el denominador.

Si el numerador y el denominador son divididos por el máximo común divisor, se llega a un fracción irreducible.


Las fracciones irreducibles

Las fracciones irreducibles son aquellos que no se puede simplificar más. Esto sucede cuando el numerador y el denominador son primos entre sí.

tenemos a continuación algunos ejemplos:



En matemáticas, el proceso de amplificar una fracción es la acción de multiplicar tanto numeradores como denominadora de éste, por un mismo número, con el objetivo de obtener una fracción equivalente a la fracción inicial.

La amplificación de fracciones


El procedimiento es válido para todo número real distinto de cero, ya que, haciendo uso de la propiedad que posee el elemento neutro multiplicativo del conjunto de números reales, de tal manera que su numerador y el denominador son números reales no nulos iguales. Lo anterior lo podemos detallar en el próximo vídeo:



Fracciones Equivalentes - Ejercicios Resueltos

Las Fracciones Equivalentes. Ejemplos.

Formas para identificar fracciones equivalentes.
Las fracciones equivalentes son fracciones que tienen el mismo valor o representan la misma parte de un objeto. Si un pastel se corta en dos piezas, cada pieza es la mitad de la torta. Si un pastel se corta en 4 pedazos, a continuación, dos piezas representan la misma cantidad de pastel que media torta. Luego decimos que un medio es equivalente a 2/4.

Las fracciones son equivalentes al multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número. Por ejemplo, si comparamos 1/2 y 2/4, podríamos multiplicar 1/2 por 2/2 que se traduciría en 2/4 por lo que son equivalentes.

podemos de ésta manera calcular muchas fracciones equivalentes para cierta cantidad, veamos:

Las fracciones equivalentes a 1/2 son 2/4, 3/6, 4/8, 5/10, 6/12 ...
Las fracciones equivalentes a 1/3 son 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, ...
Las fracciones equivalentes a 1/4 son 2/8, 3/12, 4/16, 5/20, ...
Las fracciones equivalentes a 1/5 son 2/10, 3/15, 4/20, 5/25, ...
Las fracciones equivalentes a 2/5 son 4/10, 6/15, 8/20, 10/25, ...

Todo ésto se amplía a continuación:




El truco es muy sencillo: Puede multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por un número entero distinto de cero, por ejemplo, usted puede multiplicar el numerador y el denominador por 3. Pero no se puede multiplicar el numerador por 3 y el denominador por 5. Puede multiplicar el numerador y el denominador por 4, pero no se puede multiplicar el numerador y el denominador por 4 y por 2 respectivamente.

recuerde con claridad que el numerador y el denominador de una fracción se deben multiplicar por el mismo número entero distinto de cero para tener fracciones equivalentes.

Veamos la explicación:

Clases de Fracciones - Ejemplos

Las Clases de Fracciones. Ejemplos.

En ésta entrada miraremos la clasificación de las fracciones.

Las fracciones se pueden clasificar en:

1) Propias: cuando el numerador es menos que el denominador. Ejemplo 3/4

2) Impropias: cuando el numerador es mayor que el denominador. Ejemplo 5/3

3) Mixtas: son formas de representar fracciones impropias mediante un número natural sumado a una fracción. Ejemplo (3+ 1/4) = 3(1/4) = 13/4


En el siguiente tutorial se expresan todo éstos conceptos de forma más amplia, los procedimientos se dan paso a paso:


Ahora veamos en clases de matemáticas algunos ejercicios con fracciones como complemento al tema tratado.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO - Ejercicios Resueltos

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. Ejemplos.

veamos con un ejemplo sencillo el cálculo del MCM.

Luego como complemento tenemos los tutoriales que nos permitirán consolidar el aprendizaje.

Desde luego todo esto debe llevar consigo la realización de muchos ejercicios, recuerda que la práctica hace al maestro.

Miremos el primer ejemplo:






El Mínimo común múltiplo es la mínima cantidad en común que vemos en el círculo en rojo, desde luego descartando el número cero.

¿Qué es un múltiplo?
Los múltiplos de un número son los que usted consigue cuando multiplica la cantidad determinada por otro número.

He aquí algunos ejemplos:

Los múltiplos de 3 son: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, etc ...

Los múltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60, 72, etc ...

¿Qué es un "común múltiplo"?
Cuando pones los múltiplos de dos números (o más), y encuentras el mismo valor en ambas listas.

Por ejemplo, cuando usted escribe los múltiplos de 4 y 5, los múltiplos comunes son aquellos que se encuentran en ambas listas así:

Los múltiplos de 4 son: 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44, ...
Los múltiplos de 5 son: 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50, ...

Nótese que el 20 y 40 aparecen en las dos listas?
Por lo tanto, los múltiplos comunes de 4 y 5 son: 20, 40, (y 60, 80, etc ..., también)

Ahora, ¿Qué es el "mínimo común múltiplo"?
Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes.

En nuestro ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, por lo que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20.




Ejercicios resueltos:

Encontrar el mínimo común múltiplo de 5, 6, y 15.

En primer lugar se indican los múltiplos de cada número.

Los múltiplos de 5 son 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ...
Los múltiplos de 6 son 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...
Los múltiplos de 15 son 30, 45, 60, 75, 90, ....

Ahora, cuando nos fijamos en la lista de los múltiplos, se puede ver que el 30 es el número más pequeño que aparece en cada lista.
Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de:

5, 6 y 15 es 30.

Más ejercicios resueltos en el vídeo:




MÁXIMO COMÚN DIVISOR - Ejercicios Resueltos

MÁXIMO COMÚN DIVISOR. Ejemplos.

El máximo común divisor (MCD) de dos números enteros es el mayor número entero que es un divisor (factor) de ambos. Por ejemplo, el número más grande que divide tanto a 20 y 16 es 4. (Ambos 16 y 20 tienen factores más grandes, pero dentro de esos grandes no hay comunes, por ejemplo, 8 es un factor de 16, pero no es un factor de 20.)

En la escuela primaria, la mayoría de las personas se les enseña un método "de adivinar y verificación" para encontrar el MCD. En su lugar, hay una manera sencilla y sistemática de hacer esto que siempre encuentra la respuesta correcta. El método se llama "algoritmo de Euclides."

MCD Ejemplo

Encontrar el MCD de 45 y 54 años.
Paso 1: Encuentre los divisores de los números dados:
Los divisores de 45 son: 1, 3, 5, 9, 15, 45
Los divisores de 54 son: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54
Paso 2: Busque el número más grande que estas dos listas tienen en común. para este ejemplo, el MCD es 9.

Podemos practicar aún más observando el siguiente vídeo:



Recordando lo mencionado anteriormente tenemos que el Máximo Común Divisor (MCD) de dos números enteros positivos es el mayor entero positivo que divide los dos números de una forma exacta, es decir el residuo es cero.

Vea a continuación los métodos para encontrar el (MCD) en el siguiente vídeo.

Descomposición en Factores Primos. Ejercicios Resueltos

Descomposición de un Número en sus Factores Primos. Ejercicios.

Un número primo e aquel que solo se puede dividir exactamente por 1 o por sí mismo, y debe ser un número entero mayor que 1.

Ahora miremos aspectos para la descomposición de números en sus factores primos:

Ejemplo 1: ¿Cuáles son los factores primos de 12?

Lo mejor es empezar a trabajar desde el número primo más pequeño, que es 2, por lo que vamos a ver:
12 ÷ 2 = 6

Sí, se dividió uniformemente entre 2 hemos dado el primer paso! pero no terminamos allí...

6 no es un número primo, así que tenemos que ir más allá. Vamos a intentar de nuevo 2:
6 ÷ 2 = 3
Sí, eso funcionó también. Y 3 es un número primo, así que tenemos la respuesta:
12 = 2 × 2 × 3

Como puede ver, cada factor es un número primo, por lo que la respuesta debe estar en lo cierto.

Nota: 12 = 2 × 2 × 3 también se puede escribir con exponentes como:
12 = 22 × 3


Ejemplo 2: ¿Cuál es la factorización prima de 147?
Podemos dividir 147 uniformemente por 2? No, por lo que debemos tratar con el siguiente número primo, 3:
147 ÷ 3 = 49
Entonces tratamos de factorizar 49 y encontramos que 7 es el número primo más pequeño que funciona en éste caso:
49 ÷ 7 = 7
Y al final tenemos...
147 = 3 × 7 × 7


También usando potencia: 147 = 3 × 72


En otros ejemplos podemos mirar con más detalle estas descomposiciones de números tal com se muestra en el siguiente vídeo:



En la teoría de los números, los factores primos de un número entero positivo son los números primos que dividen a ese entero exactamente. La factorización en primos de un número entero positivo es una lista de factores primos del número entero; el proceso de la determinación de estos factores también puede ser nombrado como "factorización". El teorema fundamental de la aritmética dice que todo entero positivo tiene una única factorización prima.

Por ejemplo,

 360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5,

en el que los factores de 2, 3 y 5 son números primos.

Tenemos más ejercicios resueltos en el siguiente vídeo:

Criterios de Divisibilidad. Ejercicios Resueltos

Sobre los Criterios de Divisibilidad. Ejemplos.

Los criterios de divisibilidad son maneras de saber si un número divide a otro sin tener que llevar a cabo la división. Implícito en este concepto es la suposición de que los criterios en cuestión ofrecen una manera más sencilla que la de la división absoluta para responder a la pregunta de la divisibilidad.

Ahora podemos estudiar algunas reglas para descubrir si un número determinado es divisible por otro.

A continuación veamos algunas consideraciones...

Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2, si el último dígito es 0 o es divisible por 2. Los números que son divisibles por 2 se llaman números pares. De lo contrario, los números se llaman números impares.

Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

Divisibilidad por 8. Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

La divisibilidad entre 3 y 9. Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos es divisible por 9.

Divisibilidad por 6. Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.

Divisibilidad por 5. Un número es divisible por 5, si el último dígito es 0 ó 5.

Divisibilidad por 25. Un número es divisible por 25, si sus dos últimos dígitos son ceros o múltiplos de 25.

Divisibilidad por 10. Un número es divisible por 10, si el último dígito es 0.

Divisibilidad por 100. Un número es divisible por 100, si sus dos últimas cifras son ceros.

Divisibilidad por 1000. Un número es divisible por 1000, si sus tres últimas cifras son ceros.

Existen criterios de divisibilidad para algunos otros números, pero estos criterios son más difíciles y no se considera en un programa de escuela primaria o secundaria.

Podemos ver a continuación la explicación detallada en el siguiente vídeo:



Analicemos el siguiente ejemplo:

El número 378015 es divisible por 3, porque la suma de sus dígitos 3 + 7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24, que es divisible por 3. Este número es divisible por 5, ya que el último dígito es 5. Por fin, este número es divisible por 11, porque la suma de dígitos pares: 7 + 0 + 5 = 12 y la suma de dígitos impares: 3 + 8 + 1 = 12, y los dos resultados son iguales. Sin embargo, este número no es divisible por 2, 4, 6, 8, 9, 10, 25, 100 y 1000.

Tenemos más conceptos y ejemplos:

Calcular el Area de un Círculo - Ejercicios

Cómo Calcular el Área de un Círculo. Ejemplos.

El círculo es una curva plana en todas partes tiene la misma distancia de un punto fijo dado, el centro. Una línea que conecta dos puntos cualesquiera de un círculo se llama un acorde, y una cuerda que pasa por el centro se llama un diámetro. El Radio del círculo ( la mitad del diámetro) se representa por R.

R = D / 2. Esta hoja entrada a continuación ilustra cómo calcular la superficie total de círculo, la circunferencia y el diámetro dado el valor del radio.

Fórmulas para el Area de un Círculo.

Area del Círculo = π r^2

Medida de la Circunferencia = 2 π r

Diámetro = 2 r

Ejercicios resueltos paso a paso sobre los diferentes cálculos para un círculo.




Vamos a resolver el siguiente ejercicio con la información dada:

Radio del círculo = 5 cm,

Area = π r^2

= 3,14 x 5 ^ 2

= 78.57 cm^2

Circunferencia = 2 π r

= 2 x 3,14 x 5

= 31,4286 c.m

Diámetro = 2 r
= 2 x 5= 10 c.m

Mas ejercicios en vídeo:

PROGRESION ARITMETICA. Ejercicios Resueltos

EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESIÓN ARITMÉTICA.

Esta entrada le ayudará a comprender cómo encontrar la progresión aritmética en una situación problemática. Una progresión es la sucesión de números formados y dispuestos en un orden definido de acuerdo con cierta regla definida. Mientras que si cada término de una progresión difieren de su término anterior por una constante, entonces una progresión se llama una progresión aritmética y la constante diferente se llama la diferencia común
denotado por d.

La expresión general de de la progresión aritmética es,
(A + D), (un 2 d), (un 3 d), ....

Fórmula de la progresión aritmética



El enésimo término de este punto de acceso está dado por Tn = a + (n - 1) d
La suma de n términos.
Sn = n / 2 [2a + (n - 1) d] = (n / 2) [primer término + último término]

Ejercicios resueltos de la progresión aritmética




¿Cuántos números de entre 8 y 121 son divisibles por 11
Los números necesarios son 11, 22, 33, 44, 55, ...., 110, 121.
Aquí a = 11 y d = 22-11 = 11 Tn = 121
Tn = a + (n - 1) d
121 = 11 + (n - 1) 11
n - 1 = (121-11) / 11
= 110/11
= 10
n = 10+ 1
n = 11

Encontrar la suma de todos los números impares hasta 85.
Solución:
Los números dados son 1, 3, 5, 7, 9, ... , 85.
Aquí a = 1 y d = 3-1 = 2.
Tn = a + (n - 1) d
85 = 1 + (n - 1) 2
n - 1 = (85 - 1) / 2
n - 1 = 42
n = 43.

Suma = (n / 2) (primer término + último término)
= 43/2 (1 + 85)
= 1849.
Por lo tanto la suma de todos los números impares hasta el 85 es 1849.

Halla la suma de todos los números de 2 dígitos divisibles por 4.
Solución:
Todos los números de 2 cifras son divisibles por 4,
12, 16, 20, ...., 96.
Aquí a = 12 & d = 16 - 12 = 4.
Tn = a + (n - 1) d
96 = 12 + (n - 1) 4
n - 1 = (96-12) / 4
= 84/4
= 21
n = 22.
Suma = (n / 2) (primer término + último término)
= (22/2) x (12 + 96)
= 11 x 108
= 1188
Por lo tanto la suma de todos los números de 2 dígitos divisible por 4 es 1188.

A continuación más ejercicios explicados en vídeo.



Algunas reglas para recordar o averiguar la progresión aritmética para

La progresión aritmética de números consecutivos
(1 + 2 + 3 + .... + n) = (n x (n + 1)) / 2

La progresión aritmética de cubos consecutivos
(13 + 23 + 33 + .... + n3) = (n2 x (n + 1) 2) / 4

LA REGLA DE CRAMER - Ejercicios Resueltos

Ejercicios de Sistemas de Ecuaciones Utilizando la Regla de Cramer.

Dado un sistema de ecuaciones lineales, la regla de Cramer es una forma práctica de resolver sin tener que resolver el sistema de ecuaciones, es decir en lugar de resolver el sistema de ecuaciones, puede usar Cramer para resolver el sistema.

¿Qué pasa si el determinante coeficiente es cero? No se puede dividir por cero, ¿qué significa esto? "D = 0" significa que el sistema de ecuaciones no tiene solución única. El sistema puede ser inconsistente (ninguna solución en absoluto) o dependiente (una solución infinita, que puede ser expresada como una solución paramétrica. En cuanto a la regla de Cramer, "D = 0" significa que usted tendrá que usar otro método (por ejemplo, operaciones de filas de la matriz) para resolver el sistema. Si D = 0, no se puede utilizar la regla de Cramer.

Esta entrada le ayudará a saber sobre la regla de Cramer. La Regla de Cramer, es una forma para la solución de un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones como incógnitas. Si el determinante de la ecuación no es igual a cero significa entonces que la Regla de Cramer se puede aplicar; recuerde que de otro modo la Regla de Cramer no se puede utilizar. En otras palabras, la Regla de Cramer se utiliza para encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones. Esto se puede hacer fácilmente mediante la búsqueda del Determinante de la Matriz. Si se trata de tres ecuaciones lineales y tenemos que encontrar tres incógnita entonces debemos encontrar el determinante 3x3.

A continuación se ilustra cómo encontrar las incógnitas en una ecuación lineal. En este ejemplo, hay que encontrar tres variables desconocidas de tres ecuaciones lineales.

Resolver la siguiente ecuación y encontrar el valor de x, y, z.

3x + y + z = 3
2x + 2y + 5z = -1
x - 3y - 4z = 2

Δ =
3 1 1

2

2

5

1

-3

-4

= 3(-8 + 15) - 1(-8 - 5) + 1(-6 - 2)
= 21 + 13 - 8
= 26


Aquí el determinante no es igual a cero, por lo que la regla de Cramer puede ser aplicable.
X = Dx / Δ, y = Dy / Δ, z = Delta z / Δ

Δx =
3 1 1
-1 2 5
2 -3 -4
=3( -8 + 15) - 1(4 - 10) + 1(3 - 4)
= 21 + 6 - 1
x = 26

Δy =
3 3 1
2 -1 5
1 2 -4
= 3(4 - 10) - 3(-8 - 5) + 1(4 + 1)
= -18 + 39 + 5
y = 26

Δz =
3 1 3
2 2 -1
1 -3 2

= 3(4 - 3) - 1(4 + 1) + 3(-6 -2)
= 3 - 5 - 24
z = -26

Mediante el uso de la regla de Cramer:
x = Δ1 / Δ
x = 26/26
x = 1
y = Δ2 / Δ
y = 26/26
y = 1
z = Δ3 / Δ
z = 26 / -26
z = -1
Por lo tanto las variables desconocidas son x = 1, y = 1 y z = -1

Ahora los ejercicios resueltos en vídeo, primero la solución de un sistema de ecuaciones de 2x2 y luego un sistema de 3x3.



A continuación miramos la utilidad de la regla de Cramer para resolver sistemas de 3x3:

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