CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN - Ejercicios Resueltos

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN - Ejercicios Resueltos.

Una función puede ser representada por un gráfico en el plano cartesiano; tal función es continua si, en términos generales, la gráfica es una sola curva ininterrumpida sin agujeros o saltos.

Hay varias maneras de hacer rigurosa esta intuición matemática, la definición más conveniente se puede utilizar para determinar si una función dada es continua o no.

La función f se dice que es continua en un intervalo I si f es continua en cada punto x en I. Aquí presentamos una lista de algunos hechos bien conocidos relacionados con la continuidad:

1. La suma de funciones continuas es continua.

2. La diferencia de funciones continuas es continua.

3. El producto de funciones continuas es continua.

4. El cociente de funciones continuas es continua en todos los puntos x en que el denominador no sea cero.

5. La composición funcional de las funciones continuas es continua en todos los puntos x, donde la composición está bien definida.

6. Cualquier polinomio es continuo para todos los valores de x.

7. Las funciónes e^x y las funciones trigonométricas sen(x) y cos(x) son continuas para todos los valores de x

En el siguiente tutorial podemos entender conceptos generales sobre la continuidad:




Definición
Una función f (x) se dice que es continua en un punto c si se cumplen las siguientes condiciones:

-f(c) está definida
-lim_{x → c} f(x) existe
-lim_{x → c} f(x) = f(c)

Si f (x) es continua en todos los puntos en un intervalo (a, b), entonces f (x) es continua en (a, b​​)

Una función continua en el intervalo (- ∞, + ∞) se llama una función continua para todo valor.

EJERCICIO RESUELTO 1:

f (x) es discontinua en x = 2 porque f (2) es indefinida

Por definición de g (2) = 3

lim_{x → 2} g(x) = lim_{x → 2} (x² - 4)/(x - 2) = lim_{x → 2} (x + 2) = 4
g(x) es discontinua debido a que
lim_{x → 2} g(x) ≠ g(2)

EJERCICIO RESUELTO 2.

f(x) = x² - 2x + 1
lim_{x → c} f(x) = lim_{x → c} (x² - 2x + 1)
f(x) = c² - 2c + 1
f(x) = f(c)
Luego, f es continua en x = c

EJERCICIOS RESUELTOS EN VÍDEO. EJEMPLOS COMPLEMENTARIOS:

Leer más...

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicios Resueltos

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicios Resueltos.

La diferenciación o derivada de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar la variación a la que una función trigonométrica cambia con respecto a una variable.

Las Funciones trigonométricas incluyen:
sin (x), cos (x), tan (x), ctg (x), sec (x), csc (x) .

Por ejemplo, en la diferenciación de f (x) = sen (x), lo que calculamos es la tasa de cambio de sen (x) en un punto (a) de un particular. El valor de la tasa de cambio es dada por f '(a).

Una vez que se conocen las derivadas del sen (x) y cos (x), se puede calcular fácilmente las derivadas de las otras funciones trigonométricas circulares, ya que todas se pueden expresar en términos de seno o coseno. Encontrar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas implica el uso de la diferenciación implícita.

EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS:

A continuación presentamos las derivadas trigonométricas básicas para su estudio, debemos familiarizarnos con ellas.

Más ejercicios y explicaciones en vídeo:

Fórmulas de las Derivadas de funciones trigonométricas inversas

EJERCICIOS RESUELTOS.

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS:

Vamos a mirar una introducción a las derivadas de las inversas en trigonometría, funciones que en ocasiones se nos complican un poco.

Leer más...

FÓRMULA DEL CUBO - Ejercicios Resueltos

FÓRMULA DEL CUBO - Ejercicios Resueltos.

Cuando hablamos del cubo regular entendemos que es un poliedro de seis caras cuadradas iguales, también puede ser clasificado como paralelepípedo.

Si tenemos un Cubo regular de arista x, la fórmula para el volumen la podemos expresar como sigue:

V = (x)(x)(x) es decir, V = x³

Podemos ahora establecer la fórmula para el área total de sus caras como sigue:

A = 6x²

Recuerda que: El Volumen es la medida del espacio que se encuentra en el interior del sólido geométrico, y éste se encuentra mediante el desarrollo de la fórmula que acabamos de ver. V = x³

Sabemos que el volumen de un cuerpo regular como el cubo se puede calcular multiplicando las siguientes dimensiones: alto, largo y ancho.

En el próximo vídeo veremos ejercicios resueltos de cómo calcular el volumen y el área de un cubo.

Leer más...

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS - Ejercicios resueltos

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS - Ejercicios resueltos.

Esta entrada introduce la técnica de factorización por suma y diferencia de cubos, donde se comienza tomando la raíz cúbica de los cubos perfectos.

Las fórmulas de la suma y la diferencia se muestran a continuación y enseguida tenemos varios ejercicio que son útiles para practicar.

Recuerde que es importante adquirir la habilidad para distinguir éstos casos de factorización, veamos:

Estas fórmulas son realmente fáciles de recordar.

x³ − y³ = (x − y)( x² + xy + y²)

x³ + y³ = (x + y)( x² − xy + y²)

EJERCICIO RESUELTO 1.

Factorizar:

x³ − 8

= x³ − 2³

= ( x − 2 )(x² + 2x + 22)

= ( x − 2)(x² + 2x + 4)

EJERCICIO RESUELTO 2.

Factorizar: 27x³ + 1

27x³ + 1 = (3x)³ + 1³ = (3x + 1)((3x)² - (3x)(1) + 1²) = (3x + 1)(9x² - 3x + 1)

EJERCICIO RESUELTO 3.

Factorizar: x³y⁶ - 64

Podemos expresarlo como: (xy²)³ - 4³, luego tenemos:

x³y⁶ - 64 = (xy²)³ - 4³
= (xy² - 4)((xy²)² + (xy²)(4) + 4²)
= (xy² - 4)(x²y⁴ + 4xy² + 16)

EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EN VÍDEO:

El procedimiento que se sigue en el vídeo para la factorización es:

Se abren dos paréntesis juntos, el primero es para un binomio formado por las raíces cúbicas de los términos que nos han resultado, estos deben estar separados por el mismo signo. El segundo paréntesis es para establecer un trinomio que se forma con el cuadrado del primer término del binomio menos ó más el primero por el segundo término del binomio, dependiendo si es suma o resta, y para finalizar, a esto le sumamos el cuadrado del segundo término.

Estos son los pasos necesarios para factorizar una suma y una diferencia de cubos; se muestran en el siguiente tutorial:

• La suma de dos cubos, que sean perfectos se divide en dos factores, donde el primero debe ser la suma de sus raíces cúbicas; el segundo es el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces y esto más el cuadrado de la segunda raíz.

• La diferencia de dos cubos que sean perfectos se parte en dos factores, el primero es la diferencia de sus dos raíces cúbicas; luego el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces a esto se le adiciona el cuadrado de la segunda raíz.

Al final es muy fácil verificar mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación las fórmulas de factorización para la suma y  la  diferencia de dos cubos.

Procedimiento paso por paso:

Primero se extrae la raíz cubica de ambos miembros con el mismo signo de la operación que se realiza, por tanto ambos miembros quedan como un solo factor encerrados dentro de un paréntesis, luego para el siguiente factor o paréntesis se ubica el primer término del paréntesis anterior elevado al cuadrado, la operación contraria, en este caso en el primer paréntesis se realizaba una resta, así que la operación contraria es una suma, producto de los dos términos del paréntesis anterior, a continuación se coloca sumando el segundo término del primer paréntesis  elevado al cuadrado.

Leer más...

EJERCICIOS RESUELTOS DE FACTORIZACIÓN

EJERCICIOS RESUELTOS DE FACTORIZACIÓN.

Esta entrada presenta una introducción a los casos y técnicas de factorización en el álgebra elemental.

Aunque hay varios casos de factorización, trataremos de abarcar los más relevantes y utilizados en los cursos de álgebra, trigonometría y cálculo.

La factorización es una habilidad esencial para el éxito en el álgebra y para dominar los cursos superiores de matemáticas. Por lo tanto, hemos puesto todo el empeño en el desarrollo de la comprensión del estudiante en el proceso de factorización. Esta entrada contiene el suplemento de ejercicios para la factorización de polinomios.

Es necesario comprender cómo multiplicar expresiones algebraicas usando la ley distributiva antes de empezar a trabajar en este tema.

Primer caso: Factor común.

A continuación tenemos ejercicios resueltos paso a paso para comprender de forma correcta los procedimientos:



Ahora vamos a estudiar el factor común por agrupación de términos, caso muy utilizado en varios ejercicios, es parecido al primer caso, solo que el factor común es un polinomio y no un monomio:

Trinomio Cuadrado Perfecto.

Es uno de los casos más comunes para trabajar en álgebra; el procedimiento es más largo para comprobar el caso que para resolverlo, viene de un producto notable que es la suma de un binomio:

Diferencia de cuadrados

Para mí el caso más sencillo y utilizado de factorización, realmente es muy agradable encontrarse con éste caso.

A continuación podemos ver la facilidad de trabajar con una diferencia de cuadrados.

Trinomio de la forma x²+bx+c

El famoso caso de buscar dos números que multiplicados den el coeficiente del término del centro y esos mísmos números multiplicados den el último término.

Trinomio de la forma ax²+bx+c

Caso parecido al anterior, pero la equis al cuadrado tiene un coeficiente diferente de uno. Veamos cómo factorizar éste tipo de trinomios.

Diferencia y suma de Cubos.

Veamos cómo determinar y descubrir éstos casos.



Tenemos ahora, en el siguiente vídeo la factorización de polinomios por evaluación; miremos la explicación detallada:

Leer más...

VALOR NUMÉRICO - Ejercicios Resueltos

Valor Numérico de una Expresión Algebraica.

La evaluación de una expresión algebraica consiste en encontrar su valor numérico mediante la sustitución de las diferentes variables de letras con valores específicos. Esto se hace mediante la reescritura de la expresión después de sustituir las variables de letras por los números dados.

Es importante escribir cada número sustituido en paréntesis. A continuación, evaluaremos la expresión en el orden correcto, es decir: Los paréntesis, exponentes, multiplicación, división, suma y resta; y así las operaciones respectivas.

Ejercicio Resuelto 1:


Dado a = 2, b = -3, y c = 0,5, evaluar c(a − 4b) + 5a³b

c(a − 4b) + 5a³b = (0.5) ((2)− 4(−3)) + 5(2)³(−3)

= (0.5) (2 +12) + 5(8)(−3) = 7 + (−120) = −113

Ejercicios Resueltos en el siguiente tutorial:



Una expresión algebraica está formada por los signos y símbolos del álgebra. Estos símbolos incluyen los números arábigos, expresiones literales, los signos de operación, etc. Tales expresiones representa un número o una cantidad.

Por lo tanto, al igual que la suma de 4 y 2 es una cantidad, en éste caso 6, la suma de c y d es una cantidad, en éste caso c + d.

Ejercicio Resuelto 2:

Calcular el valor numérico de:

a(a+b) -b(a-b) cuando a= 2 y b= -3

Solución:

2(2-3) + 3(2+3) = 2(-1) + 3(5) = -2 + 15 = 13

Ejercicios Resueltos en Vídeo:

Leer más...

RAÍZ CÚBICA - Ejercicios resueltos

RAÍZ CÚBICA - Ejercicios resueltos.

Para calcular una raíz cúbica, primero tenemos que encontrar los factores del número. Ahora agrupar los factores comunes. La raíz cúbica del cubo de un número es el propio número. Por ejemplo, los factores de 125 se dan como, 125 = 5 * 5 * 5. Ahora, ya que es un cubo perfecto, su raíz cúbica es 5

Con el uso de calculadoras, la búsqueda de la raíz cúbica es solo presionar un botón, pero tal vez no tenga una calculadora, o quieres mostrar a tus amigos la capacidad de calcular la raíz cúbica a mano. Esta entrada le mostrará cómo se puede encontrar la raíz cúbica a mano, veamos el primer vídeo explicativo.



Ejemplo raíces cúbicas:
3
La raíz cúbica de 64 se escribe como √ 64 = 4.
3
La raíz cúbica de -64 se escribe como √ -64 = -4.


La raíz cúbica de n es el mismo n elevado a la potencia 1/3.

Raíz cúbica de 1 es 1
Raíz cúbica de 8 es 2
Raíz cúbica de 27 es 3
Raíz cúbica de 64 es 4
Raíz cúbica de 125 es 5
Raíz cúbica de 216 es 6
Raíz cúbica de 343 es 7
Raíz cúbica de 512 es 8
Raíz cúbica de 729 es 9
Raíz cúbica de 1000 es 10

A continuación más ejercicios resueltos:

Leer más...

RAÍZ CUADRADA - Ejercicios resueltos

RAÍZ CUADRADA - Ejercicios resueltos.

Muchas veces podemos pensar que sólo con las calculadoras podemos encontrar raíces cuadradas, y que los niños no tienen que aprender a encontrar raíces cuadradas siguiendo un método de lápiz y papel. Pero el aprendizaje del método de "adivinar y comprobar" para encontrar la raíz cuadrada en realidad ayuda al estudiante a entender y recordar el propio concepto de raíz cuadrada.

Así que a pesar de que su libro de matemáticas pueda desestimar por completo el tema de la búsqueda de raíces cuadradas sin calculadora, usted puede considerar el proceso para que practique por lo menos el primer método que se presenta.

Este método, "adivinar y comprobar", en realidad trabaja en todo lo que es la raíz cuadrada, por lo que se considerarían ejercicios con raíces esenciales para ayudar a los niños a entender el concepto de raíz cuadrada.

los cálculos con lápiz y papel son presentados a continuación en el siguiente vídeo:

Calcular raíces cuadradas.

Una forma simple de encontrar una aproximación decimal, digamos √ 2 es hacer una estimación inicial y dependiendo de lo cerca que llegues, puedes mejorar su respuesta. Dado que este método consiste en elevar al cuadrado la cantidad, en realidad se utiliza la definición de la raíz cuadrada, por lo que puede ser muy útil en la enseñanza del concepto de raíz cuadrada.

veamos los ejercicios Resueltos:


Las raíces cuadradas de números enteros positivos que no son cuadrados perfectos son siempre números irracionales: es decir, los números que no se pueden expresar como una relación de dos números enteros (es decir, que no se pueden escribir exactamente como a/b, donde a y b son números enteros)

Leer más...

LÍMITES AL INFINITO - Ejercicios Resueltos

LÍMITES AL INFINITO - Ejercicios Resueltos.

Uno de los misterios de las matemáticas es el concepto de "infinito", que por lo general se denota con el símbolo .Es simplemente un símbolo que representa a grandes números. De hecho, los números son de tres tipos: grandes, de tamaño normal, y pequeños.

"Infinito" es una idea muy especial. Sabemos que no podemos llegar a él, pero podemos tratar de calcular el valor de las funciones que tienden al infinito.

El infinito no es un número, es una idea. Así que 1 / ∞ es algo como decir 1/todo.

Tal vez podríamos decir que 1 / ∞ = 0, ... pero eso es un problema también, porque si dividimos 1 en pedazos infinitos y a cada uno le toca 0, pues qué pasó con el 1?

De hecho 1 / ∞ es conocido por ser indefinido.

Podemos tomar como muy próxima la siguiente propiedad:



EJERCICIO RESUELTO 1.








Respuesta:


Tutorial con explicación paso a paso:



EJERCICIO RESUELTO 2.






EJERCICIO RESUELTO 3.











Para cuando equis tiende a menos infinito también tenemos:



Más ejercicios y problemas resueltos en vídeo:

Leer más...

PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRIA

PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRIA.

En esta entrada, aprenderemos sobre cómo aplicar las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente) para resolver problemas en el campo de la trigonometría.

Consejos sobre la resolución de problemas de trigonometría:

1) Si no se da un diagrama, dibuje uno usted mismo.

2) Marque los ángulos rectos en el diagrama.

3) Resalte los tamaños de los otros ángulos y las longitudes de las líneas que son conocidos.

4) Marque los ángulos o lados que se deben calcular.

5) Si es posible establezca triángulos rectángulos trazando líneas adicionales. Por ejemplo, si puede dividir un triángulo isósceles en dos triángulos congruentes, esto sería de gran utilidad.

6) Identifique si va a necesitar el teorema de Pitágoras, o las funciones seno, coseno y tangente.

7) Compruebe que su respuesta es razonable. No olvide que la hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo.

EJERCICIO RESUELTO.



Calcular el valor de cosθ en el triángulo anterior.

Solución:

Use el teorema de Pitágoras para evaluar la longitud PR.

EJERCICIOS RESUELTOS EN VÍDEO:

Leer más...

TRIÁNGULO ISÓSCELES - Ejercicios Resueltos

TRIÁNGULO ISÓSCELES - Ejercicios.

Un triángulo isósceles es un triángulo con al menos dos lados iguales. Esta propiedad es equivalente a decir que dos ángulos del triángulo son iguales. Por tanto, un triángulo isósceles tiene dos lados iguales y dos ángulos iguales.

Un triángulo con todos los lados iguales se llama un triángulo equilátero, y un triángulo con todos sus lados diferentes se llama un triángulo escaleno. Por tanto, un triángulo equilátero es un caso especial de un triángulo isósceles que tiene no sólo dos, sino los tres lados y ángulos iguales. Otro caso especial de un triángulo isósceles es el triángulo rectángulo isósceles.

A continuación tenemos la explicación detallada de lo mencionado anteriormente:



Si se nos da un ángulo con una base de, digamos, 45 °, sabemos que los ángulos de la base son congruentes (tienen la misma medida) y los ángulos interiores de cualquier triángulo siempre suman 180 °. Así que el ángulo en el vértice debe ser 180-45-45 = 90°

Hay muchos tipos de triángulos en el mundo de la geometría. El que estamos tratando en ésta entrada es llamado triángulo isósceles. En un triángulo isósceles, los ángulos de la base tienen la misma medida en grados y son, en consecuencia, iguales. Al mismo tiempo, si dos ángulos de un triángulo tienen la misma medida, a continuación, los lados opuestos a los ángulos son de la misma longitud. La manera más fácil para definir un triángulo isósceles es que tiene dos lados iguales.

Leer más...

TRIÁNGULO RECTÁNGULO - Ejercicios resueltos

TRIÁNGULO RECTÁNGULO - Ejercicios

Un triángulo rectángulo es un triángulo en el que uno de sus ángulo es un ángulo recto (es decir, un ángulo de 90 grados). La relación entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo es la base de la trigonometría.

El lado opuesto al ángulo recto se llama la hipotenusa. Los lados adyacentes al ángulo recto se llaman catetos. Un cateto puede ser identificado como el lado adyacente al ángulo B y opuesto al ángulo A.

Si las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo son números enteros, el triángulo se dice que es un triángulo de Pitágoras y las longitudes de los lados son conocidas como un triple pitagórico.

En la siguiente figura tenemos varios triángulo característicos:

EJERCICIOS RESUELTOS:

Hipotenusa de un triángulo rectángulo.

La hipotenusa es el lado más grande de un triángulo rectángulo y está siempre opuesto al ángulo recto.

la forma más sencilla para la definición es que un triángulo rectángulo tiene un ángulo igual a 90 grados. Un triángulo rectángulo puede ser también un triángulo isósceles, como hemos mostrado en la figura de arriba, lo que significa que tiene dos lados que son iguales. Un triángulo isósceles tiene un ángulo de 90 grados y dos ángulos de 45 grados. Este es el único triángulo rectángulo que es un triángulo isósceles.

Otro triángulo interesante triángulo es el triángulo 30-60-90 grados. La relación del lado más largo de este triángulo y su lado más corto es de dos a uno. Esto quiere decir que el lado más largo es el doble del largo que el lado más corto.

MÁS EJERCICIOS RESUELTOS:

Leer más...

Ecuación de la Elipse - EJERCICIOS RESUELTOS

Ecuación y Elemento de la Elipse. Ejemplos.

Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano tal que la suma de las distancias a partir de T a dos puntos fijos F1 y F2 es una constante dada, K.
TF1 + TF2 = K
F1 y F2 son los focos de la elipse.
El eje mayor es el segmento que contiene tanto los focos y tiene sus extremos en la elipse. Estos extremos se llaman vértices. El punto medio del eje mayor es el centro de la elipse.

El eje menor es perpendicular al eje mayor en el centro, y los puntos finales del eje menor se denominan co-vértices.
Los vértices están en la intersección del eje mayor y la elipse.
Los co-vértices están en la intersección del eje menor y la elipse.

Podemos pensar en una elipse como un óvalo.

Una elipse se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen la siguiente ecuación:



donde:
x, y son las coordenadas de cualquier punto de la elipse,
a, b son el radio en los ejes x e y, respectivamente,

Esta ecuación es muy similar a la que se utiliza para definir un círculo. La única diferencia entre el círculo y la elipse es que en una elipse, hay dos medidas de radio, uno horizontalmente a lo largo del eje x, y otro verticalmente a lo largo del eje y. Claramente, para un círculo estos dos radios tienen el mismo valor.

La forma general de una elipse está dada por la ecuación:

ax² + by² + cx + dy + e = 0.

EJERCICIO RESUELTO 1.

Encontrar la ecuación de una elipse centrada en el origen con el eje mayor de longitud 10 situada a lo largo del eje x y con eje menor de longitud 6 a lo largo del eje y.

Solución:

El eje mayor 10 tiene una longitud a lo largo del eje x, la elipse tiene centro en (0,0), por lo que sus puntos finales están en (-5,0) y (5,0). Por lo tanto,

a = 5. Del mismo modo, b = 3. Así que la ecuación de esta elipse es:

x² y² x² y²

---- + ---- = 1 o ---- + ---- = 1

5² 3² 25 9

EJERCICIO RESUELTO 2.

Describir la curva representada por x² + 9y² - 4x - 72y + 139 = 0.

Completar el cuadrado (recuerde que debemos buscar (x - h)² y (y - k)²).

x2 + 9y2 - 4x - 72y + 139 = 0
(x2 - 4x) + 9(y2 - 8y) + 139 = 0
(x2 - 4x + 4) -4 + 9(y2 - 8y + 16) - 9(16) + 139 = 0
(x - 2)2 + 9(y - 4)2 = 9

(x - 2)2   (y - 4)2
-------- + -------- = 1
    9          1

Luego, (h, k) = (2, 4), a = 3 y b = 1.

Por lo tanto, la ecuación representa una elipse con centro en (2,4), el eje 

mayor paralelo al eje x de longitud 6 y el eje menor paralelo al eje y de 

longitud 2.

MÁS EJERCICIOS RESUELTOS:

Leer más...

EJERCICIOS DE MATEMÁTICA

EJERCICIOS DE MATEMÁTICA - Razonamiento Matemático.

Para esta entrada tenemos varios ejercicios de matemática que pueden ser de mucha utilidad para los exámenes de admisión a las universidades, repaso para el bachillerato, pruebas de admisión en general y preparatoria.

Los ejercicios están explicados de forma detallada con el objetivo que sean fáciles de entender y seguir algunos pasos importantes para otros problemas similares.

En los ejemplos encontrará diferentes ejercicios que le ayudarán a familiarizarse con los tipos de problemas que aparecen en las diferentes pruebas de aptitud.

EJERCICIO RESUELTO 1.

El triplo de la suma de dos números es 63, y el número mayor es seis veces el menor. Entonces el núero mayor es:

a) 9 b) 18 c) 27 d) 42



EJERCICIO RESUELTO 2.

Cuatro pintores de brocha gorda pintan una casa en seis días. ¿Cuántos días demorarán 12 pintores en pintar una casa igual a ésta, si mantienen ese ritmo?

a) 2 días b) 4 días c) 6 días d) 12 días



EJERCICIO RESUELTO 3.

El largo del puente A es tres veces el largo del puente B. Si las longitudes de ambos puentes suman ciento veinte metros, la longitud del puente más largo es de:

a) 30 metros b) 40 metros c) 80 metros d) 90 metros



EJERCICIO RESUELTO 4.

En un grupo de amigos cada uno pesaba setenta kilogramos. Ellos decidieron hacer una dieta diferente cada uno, para saber cuál era la mejor. Pedro hizo la diete del apio y siete días después pesaba 69,88 kilogramos; Hugo hizo la de la cebolla y cinco días después pesaba 69,91 kilogramos; Sandra hizo la del perejil y a los once días pesaba 69,86 kilogramos y Luisa hizo la del tomate y a los nueve días pesaba 69,87 kilogramos. Según ésto la dieta más efectiva fué:

a) apio b) cebolla c) tomate d) perejil



EJERCICIO RESUELTO 5.

En cuatro días un hombre recorrió 120 kilómetros. Si cada día avanzó un tercio de lo que anduvo el día anterior, en el segundo día recorrió:

a) 27 kilómetros b) 30 kilómetros c) 60 kilómetros d) 81 kilómetros

Leer más...

ECUACIONES EXPONENCIALES - Ejercicios resueltos

ECUACIONES EXPONENCIALES - Ejercicios resueltos.

En ésta entrada vamos a tratar sobre unas ecuaciones muy especiales.

Las ecuaciones exponenciales tienen la variable desconocida en el exponente. Vamos a tener en cuenta algunos ejemplos:

EJEMPLO ILUSTRATIVO.



La resolución de ecuaciones exponenciales es simple: tenemos que aplicar las leyes de los exponentes. Esto significa que si se puede escribir una expresión con la misma base en cada lado de la ecuación, podemos igualar los exponentes. Veamos los ejercicios:

EJERCICIO RESUELTO 1.

Resolver.



Cambie las bases de los números. recuerde que nueve es igual a tres elevado a al dos.



Las bases son las mismas por lo que se puede igualar los exponentes




Para resolver ecuaciones exponenciales, utilizamos todas las estrategias para la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas.

EJERCICIO RESUELTO 3.

Resolución de ecuaciones mediante factor común. Vamos a mirar la solución del ejemplo ilustrativo:

Acomode la expresión

Saque un factor común

simplifique



Exprese los números como una potencia



Las bases son las mismas por lo que se pueden igualar los exponentes

t = 2



Ahora tenemos más ejercicios para practicar. El desarrollo se presenta paso a paso en el siguiente vídeo:

Leer más...

ECUACIONES - Ejercicios Resueltos

ECUACIONES EN ALGEBRA. Ejercicios.

El álgebra es una división de las matemáticas diseñadas para ayudar a resolver ciertos tipos de problemas de forma más rápida y más fácil. El Algebra se basa en el concepto de valores desconocidos llamados variables, a diferencia de la aritmética, que se basa exclusivamente en los valores numéricos conocidos.

La ecuación hace parte de una expresión algebraica y consiste en buscar el valor o los valores de una variable. Una variable es un número desconocido representado por cualquier letra del alfabeto (con frecuencia se utiliza la x). El valor de cada variable debe ser el mismo en cada problema.

Resolución de ecuaciones

Imagine que tienes una balanza. En el lado derecho hay 45 centavos y en el lado izquierdo hay 23 centavos y una cantidad desconocida de monedas de un centavo. La balanza está equilibrada, por lo tanto, sabemos que debe haber una cantidad igual de peso en cada lado.

Siempre y cuando se realice la misma operación (suma, resta, multiplicación, etc) en ambos lados de la ecuación, se mantendrá equilibrado. Para encontrar la cantidad desconocida de monedas de un centavo de la parte izquierda, retire 23 centavos de cada lado de la balanza. Esta acción mantiene equilibrada la balanza y aísla la cantidad desconocida. Dado que el peso (cantidad de monedas de un centavo) a ambos lados de la escala sigue siendo igual y la cantidad desconocida está solo, ahora sabemos que la cantidad desconocida en el lado izquierdo es el mismo que el resto (22 centavos) en la lado derecho.

Resolución de ecuaciones

El siguiente ejercicio muestra una ecuación simple y los pasos para resolverla.

Ecuación inicial / Problema x + 23 = 45

Resta 23 de ambos lados x + 23-23 = 45-23

Resultado x = 22



Ejemplos:

Ecuación / Problema inicial: x + 23 = 2x + 45

Restar x de cada lado x - x + 23 = 2x - x + 45
Resultado 23 = x + 45

Reste 45 de cada lado 23 - 45 = x + 45-45
Resultado -22 = x

Respuesta x = -22

Veamos algunas ecuaciones trigonometricas



Ecuaciones de cuarto grado.

Veamos cómo solucionar una ecuación de grado superior, en éste caso de cuarto grado:

Leer más...

EXPRESIONES ALGEBRAICAS - ejercicios resueltos

EXPRESIONES ALGEBRAICAS - Ejercicios.

El Algebra nos ayudan a razonar sobre los números. En un primer contacto, el estudiante debe darse cuenta que el álgebra es una habilidad. Y al igual que cualquier habilidad, tocar la guitarra por ejemplo, ésto requiere práctica, mucha práctica.

Lo primero que debemos destacar es que en el álgebra usamos letras y números. Sin embargo, las letras representan los números. Podemos imitar las reglas de la aritmética con las letras, porque entendemos que la norma será cierta para cualquier número.

Las Ecuaciones como expresiones algebraicas.

Una ecuación es una oración matemática que incluye un signo de igualdad (=).

Una expresión es un enunciado matemático, solo que no tiene un signo de igualdad.

Una expresión se compone de términos. Los términos son diferentes en cada uno de los valores de una expresión. Estos pueden ser separados por las operaciones, como signos más y menos.

Hay tres partes fundamentales en las expresiones: la variable, la constante y los coeficientes.

Variable: un número desconocido, a menudo representado por "x".
Constante: un número que no cambia
Coeficiente: el número que se multiplica por la variable

Los nombres de las expresiones algebraicas

monomio: 1 término, ejemplo xy
binomios: 2 Términos, ejemplo xy - 2x
trinomio: 3 Términos, ejemplo xy - 2x + 3y
Polinomio: más de un término, ejemplo xy - 2x + 3 y - 1

Cómo expresar palabras en símbolos

un número aumentó en doce: x + 12
la suma de dos veces un número mas seis: 2x + 6
un número menos ochenta: x - 80
veintiocho partido por la mitad: 28 ÷ 2
el producto de un número y siete: 7x
el cociente de un número y cuatro: x ÷ 4
tres veces un número mas cinco: 3x + 5
un número distribuido uniformemente entre seis: x ÷ 6
tres veces el total de un número mas cinco 3 (x + 5)



Más expresiones algebraicas:

Un número más dos es ocho: x + 2 = 8
La diferencia entre un número y siete es tres negativo: x - 7 = -3
Doce es el producto de un número por tres: 12 = 3x
La mitad de un número es veinte: ½ x = 20


Ejercicios Resueltos:

Un electricista cobra $ 45 por hora y gasta 20 dólares diarios en gasolina. Escribe una expresión algebraica para representar sus ganancias por un día.

Solución: Sea x el número de horas que el electricista trabaja en un día. Las ganancias del electricista se pueden representar por la siguiente expresión algebraica:

Solución: 45x - 20

Recordemos que una expresión algebraica es una expresión matemática que está compuesta las variables, los números y las operaciones.

Leer más...

TÉRMINOS SEMEJANTES - Ejercicios Resueltos

TÉRMINOS SEMEJANTES - Ejercicios Resueltos.

En las expresiones algebraicas, los términos semejantes son términos que contienen las mismas variables elevadas a la misma potencia.

En conceptos generales es como mezclar manzanas con naranjas; sólo se pueden combinar términos semejantes (manzanas con manzanas). Para combinar términos semejantes, sume los coeficientes y coloque la variable común.

La Combinación de términos semejantes es un proceso utilizado para simplificar una expresión o una ecuación usando la suma y la resta de los coeficientes de los términos.

Considere la siguiente expresión

8 + 7
Mediante la adición de 8 y 7, se puede encontrar fácilmente que la expresión es equivalente a 15.

Las expresiones algebraicas se pueden simplificar como el ejemplo anterior combinando los términos semejantes. Considere la expresión algebraica a continuación:

12x + 7 + 5x

Como podemos notar, 12x y 5x son términos semejantes. Por lo tanto, se pueden sumar los coeficientes, 12 y 5. Este es un ejemplo sencillo de combinar términos semejantes. El resultado es:

17x + 7

Reducción de términos Semejantes:
Ejercicios resueltos:



Más ejercicios resueltos para la reducción de términos semejantes en álgebra.

Presentamos a continuación otro vídeo tutorial de gran interés con varios ejemplos resueltos paso a paso:

Leer más...

FORMULA DE LA PARABOLA - Ejercicios Resueltos

FORMULA DE LA PARABOLA - Ejercicios Resueltos

En esta entrada hablaremos sobre la fórmula de la parábola.

La ecuación de una parábola se puede expresar en forma standar o de vértice, como se muestra en la imagen siguiente.

Ecuación estándar

La forma estándar de la ecuación de una parábola se expresa generalmente:

y = ax² + bx + c

El papel importante de la 'a'

Si a> 0, la parábola se abre hacia arriba
si a <0, se abre hacia abajo.

El eje de simetría.

El eje de simetría es la recta x = -b/2a

Forma de vértice de la ecuación.

La forma de vértice de la ecuación de una parábola se expresa generalmente como:

y= a(x-h)²+k

Si a es positivo, la parábola se abre hacia arriba como una "U" regular.

Si a es negativo, entonces la gráfica se abre hacia abajo, como un revés de "U".

A continuación presentamos ejemplos para reforzar:



Problemas y ejercicios resueltos sobre la parábola y conceptos generales:

Leer más...