Identidades Trigonométricas Ejercicios Resueltos

Identidades Trigonométricas Ejercicios Resueltos

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.

Equivalencia de identidades trigonométricas

Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.

Tema: Identidades Trigonométricas

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que relacionan las funciones trigonométricas entre sí. Estas ecuaciones son muy útiles para simplificar expresiones trigonométricas y resolver ecuaciones trigonométricas. En esta explicación, se abordarán los siguientes subtemas:

• A. Identidades trigonométricas básicas 
• B. Identidades trigonométricas complementarias 
• C. Identidades trigonométricas reciprocas 
• D. Ejemplos resueltos

A. Identidades trigonométricas básicas

Las identidades trigonométricas básicas son las siguientes:

• sen^2(x) + cos^2(x) = 1
• 1 + tan^2(x) = sec^2(x)
• 1 + cot^2(x) = csc^2(x)

Estas identidades son conocidas como las identidades fundamentales de la trigonometría y son verdaderas para cualquier valor de x.

B. Identidades trigonométricas complementarias

Las identidades trigonométricas complementarias son aquellas que relacionan las funciones trigonométricas de ángulos complementarios. Las siguientes son las identidades complementarias:

1. sen(x) = cos(90° - x)
2. cos(x) = sen(90° - x)
3. tan(x) = cot(90° - x)
4. cot(x) = tan(90° - x)
5. sec(x) = csc(90° - x)
6. csc(x) = sec(90° - x)

C. Identidades trigonométricas reciprocas

Las identidades trigonométricas reciprocas son aquellas que relacionan las funciones trigonométricas de un ángulo con las funciones trigonométricas de su ángulo complementario. Las siguientes son las identidades reciprocas:

1. sen(x) = csc(90° - x)
2. cos(x) = sec(90° - x)
3. tan(x) = cot(90° - x)
4. cot(x) = tan(90° - x)
5. sec(x) = cos(90° - x)
6. csc(x) = sen(90° - x)

Ejercicios resueltos

1. Simplificar la expresión: sen(x) * cot(x) / csc(x)

Solución: 

sen(x) * cot(x) / csc(x) = (sen(x) / csc(x)) * (cos(x) / sen(x)) * (sin(x) / 1) = cos(x)

2. Resolver la ecuación: 2cos^2(x) - 3cos(x) + 1 = 0

Solución: Se puede observar que esta ecuación cuadrática puede ser factorizada como sigue: (2cos(x) - 1)(cos(x) - 1) = 0 De esta manera, se tiene que: cos(x) = 1/2 o cos(x) = 1 Por lo que las soluciones de la ecuación son: x = π/3 + 2kπ o x = 2kπ

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Simplificar la expresión trigonométrica: 2cos^2(x) - 1 Solución: Usando la identidad trigonométrica fundamental cos^2(x) + sin^2(x) = 1, podemos expresar cos^2(x) como 1 - sin^2(x). Así, la expresión se puede reescribir como: 2cos^2(x) - 1 = 2(1 - sin^2(x)) - 1 = 2 - 2sin^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) Por lo tanto, 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)

Ejemplo 2: Simplificar la expresión trigonométrica: 2sin(x)cos(x) Solución: Podemos usar la identidad trigonométrica sin(2x) = 2sin(x)cos(x) para reescribir la expresión como: 2sin(x)cos(x) = sin(2x) Por lo tanto, 2sin(x)cos(x) = sin(2x)

Ejemplo 3: Simplificar la expresión trigonométrica: (sec(x) + tan(x))^2 Solución: Usando las identidades trigonométricas sec(x) = 1/cos(x) y tan(x) = sin(x)/cos(x), podemos reescribir la expresión como: (sec(x) + tan(x))^2 = (1/cos(x) + sin(x)/cos(x))^2 = ((1+sin(x))/cos(x))^2 Por lo tanto, (sec(x) + tan(x))^2 = ((1+sin(x))/cos(x))^2

Ejemplo 4: Simplificar la expresión trigonométrica: (1 - cos(x))/(sin^2(x)) Solución: Usando la identidad trigonométrica fundamental sin^2(x) + cos^2(x) = 1, podemos reescribir la expresión como: (1 - cos(x))/(sin^2(x)) = (sin^2(x))/(sin^2(x)) - (cos(x))/(sin^2(x)) = 1/sin^2(x) - cot^2(x)/sin^2(x) = (1 - cos^2(x))/sin^2(x) = sin^2(x)/sin^2(x) = 1 Por lo tanto, (1 - cos(x))/(sin^2(x)) = 1

Ejemplo 5: Simplificar la expresión trigonométrica: (sin(x) - cos(x))^2 Solución: Usando las identidades trigonométricas sin^2(x) + cos^2(x) = 1 y 2sin(x)cos(x) = sin(2x), podemos reescribir la expresión como: (sin(x) - cos(x))^2 = sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) + cos^2(x) = sin^2(x) - sin(2x) + cos^2(x) = 1 - sin(2x) Por lo tanto, (sin(x) - cos(x))^2 = 1 - sin(2x)