Cubo de un Binomio
En esta parte podemos considerar el binomio si es una suma o si es una resta.
1. El cubo de la suma de dos cantidades
2. El cubo de la diferencia de dos cantidades
El cubo de la diferencia de dos cantidades elevadas al cubo, es igual al cubo de la primera menos el triple producto del cuadrado de la primera por la segunda más el triple producto de la primera por el cuadrado de la segunda menos el cubo de la segunda.
El exponente de a va disminuyendo mientras que el de b va aumentando, y que los signos se colocan de forma alterna en el caso de la resta.
De forma algebraica, utilizando letras que representen los dos términos tenemos.
Desarrollo del cubo de un binomio
El cubo de un binomio es una expresión algebraica de la
forma (a+b)3, donde a y b son dos números cualesquiera. Esta
expresión se puede simplificar usando la fórmula del cubo de un binomio, la
cual se expresa como:
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2
+ b3
Esta fórmula nos permite expandir el cubo de cualquier
binomio y así facilitar la resolución de problemas algebraicos. A continuación,
se presentarán algunos subtemas importantes para entender mejor el tema del
cubo de un binomio y se resolverán 5 ejercicios paso a paso.
- Aplicación de la fórmula
del cubo de un binomio.
- Ejemplos
de cómo utilizar la fórmula del cubo de un binomio.
Ejercicios resueltos:
- Simplifica
(2x+3)3
Solución: Usando la fórmula del cubo de un binomio, tenemos
que:
(2x+3)3 = (2x)3 + 3(2x)2(3) + 3(2x)(3)2 + (3)3 =
8x3 + 36x2 +
54x + 27
Por lo tanto, la expresión simplificada es 8x3 +
36x2 + 54x + 27.
- Resuelve
(3a-b)3
Solución: Usando la fórmula del cubo de un binomio, tenemos
que:
(3a-b)3 = (3a)3 - 3(3a)2(b) + 3(3a)(b)2 - (b)3 =
27a3 - 27a2b + 9ab2 – b3
Por lo tanto, la expresión simplificada es 27a3 -
27a2b + 9ab2 – b3.
- Simplifica
(5x-2y)3
Solución: Usando la fórmula del cubo de un binomio, tenemos
que:
(5x-2y)3 = (5x)3 - 3(5x)2(2y) + 3(5x)(2y)2 - (2y)3 =
125x3 - 150x2y
+ 60xy2 - 8y3
Por lo tanto, la expresión simplificada es 125x3
- 150x2y + 60xy2 - 8y3.
- Resuelve
(2a+5b)3
Solución: Usando la fórmula del cubo de un binomio, tenemos
que:
(2a+5b)3 = (2a)3 + 3(2a)2(5b) + 3(2a)(5b)2 + (5b)3 =
8a3 + 60a2b + 150ab2 + 125b3
Por lo tanto, la expresión simplificada es 8ª3 +
60a2b + 150ab2 + 125b3.
5. 5. Ejercicio
5: Calcula el cubo de la suma 5x + 2y:
Solución: (5x + 2y)3 = (5x)3 + 3(5x)2(2y) + 3(5x)(2y)2 + (2y)3 =
125x3 + 150x2y
+ 60xy2 + 8y3
6. 6. Ejercicio
6: Calcula el cubo de la resta 3a - 4b:
Solución: (3a - 4b)3 = (3a)3 - 3(3a)2(4b)
+ 3(3a)(4b)2 - (4b)3 = 2
7a3 - 108a2b + 144ab2 - 64b3
7. Ejercicio
7: Calcula el cubo de la suma 2x + 3:
Solución: (2x + 3)3 = (2x)3 + 3(2x)2(3)
+ 3(2x)(3)2 + (3)3 =
8x3 + 36x2 + 54x + 27
