29.12.13

CASOS DE FACTORIZACION. Ejercicios resueltos

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CASOS DE FACTORIZACIÓN

Caso uno: Factor común

El factor común es el factor que se repite en los términos de la operación, siendo así el resultado se daría dejando fuera del paréntesis el factor común y dentro del paréntesis los términos que difieren con el factor común, o también se puede dar que en un ejercicio en el que haya que hallar el factor común y en los términos no se repita ninguno, lo que se puede hacer es sacar el mínimo común múltiplo (M.C.D) de los números que se encuentren en la operación, colocando así el factor común fuera del paréntesis y dentro de él se colocan lo números que restaron del procedimiento de sacar el (M.C.D) junto con los términos que difieren del factor común en la operación inicial.


SEGUNDO CASO: FACTOR COMÚN POLINOMIO

El segundo caso de factorización es el factor común por grupos, en este caso se necesitan cuatro términos o a partir de cuatro se cuentan los números par para completar los términos, para resolverlo armamos dos grupos y a estos se les saca el factor común por separado, en este caso se aplica de la misma manera el factor común, luego el factor común se coloca fuera del paréntesis y dentro del paréntesis colocamos los resultados de la división entre el factor común con la expresión inicial del grupo que se está factor izando. Después se saca el factor común de los dos términos (unidos), posteriormente entre un paréntesis se ubica el resultante entre cada uno de los dos grupos multiplicado y dividido por el factor común.


TRINOMIO CUADRADO PERFECTO - Ejercicios resueltos

Caso 3: Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto, para empezar el trinomio debe estar organizado de forma ascendente y de forma descendente luego debemos localizar si el primer y el tercer término son positivos y que tengan raíz exacta, después realizamos el doble producto de los dos mismos elementos con el fin de comprobar que resulte igual al segundo término de la expresión, luego empezaremos la factorización, tomamos la raíz cuadrada del primer y el tercer término y con ellos se forma un binomio al cuadrado, como signo se toma el signo del segundo término.


FACTORIZACIÓN POR DIFERENCIA DE CUADRADOS - CASO IV - Ejercicios resueltos

Cuarto caso: diferencia de cuadrados, para saber que es una diferencia de cuadrados deben haber dos términos y estos deben ser así; el primer termino debe ser positivo y el segundo termino negativo, los exponentes de cada letra deben ser pares, para factor izar se extrae la raíz cuadrada de los dos términos, la raíz cuadrada de los dos se escriben en dos cuadrados diferentes uno sumando y uno restando, agrupado en los paréntesis multiplicando entre sí.


TRINOMIO DE LA FORMA x^2 + bx + c. Ejercicios resueltos

Quinto caso: trinomio de la forma X a la dos N más BX a la N más C, las características deben ser las siguientes; el coeficiente principal debe ser uno, el exponente del primer término debe ser el doble de el exponente del segundo término, para comenzar a factor izar se abren dos paréntesis multiplicándose entre sí, se le saca la raíz cuadrada al primer término y se coloca en los dos paréntesis, los signos dependerán de los signos del término inicial, a continuación buscamos un numero negativo y un numero positivo que multiplicados entre si nos den como resultado el valor de el tercer término y sumados entre si nos den el valor del segundo término, podemos comprobar utilizando la propiedad distributiva y al operar términos semejantes nos tiene que dar el trinomio original.

NOTACION ALGEBRAICA. Ejercicios resueltos

EJERCICIOS RESUELTOS DE NOTACIÓN ALGEBRAICA

Traducción de lenguaje verbal a lenguaje algebraico

En álgebra debemos familiarizarnos con el lenguaje algebraico, éste lenguaje nos permite manejar de forma adecuada la materia.

Muchas situaciones se pueden describir en éste lenguaje y éste nos permite comprender situaciones planteadas en varios campos profesionales y cotidianos.




Notación Algebraica

Cada una de las sesenta y cuatro casillas de un tablero de ajedrez es identificada con dos caracteres de manera única. El primer carácter identifica la columna de la casilla, y se representa por una de las siguientes letras minúsculas a, b, c, d, e, f, g y h, ordenadas desde la izquierda del jugador con piezas blancas hasta su derecha.


La Notación algebraica

En muchas situaciones cotidianas podemos emplear el lenguaje algebraico y es importante manejar tal esquema de comunicación en las matemáticas.

También es de gran ayuda saber traducir el lenguaje verbal al lenguaje algebraico, detalle que nos permite movernos mejor en el área del álgebra y de muchos campos profesionales.


EJERCICIOS SOBRE MULTIPLICACION DE NUMEROS FRACCIONARIOS

EJERCICIOS SOBRE MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

Números Fraccionarios

En el video nos muestran el concepto de fracción tomando como ejemplo un rectángulo el cual se divide en partes iguales para hacernos entender porque lo que conocemos como un medio (1/2) puede equivaler a la mitad de una unidad, así que el rectángulo lo dividieron en dos partes iguales lo que sumándolo daría dos mitades (2/2), lo que resolviendo nos daría 1 o que puede equivaler a una mitad, y lo mismo lo hacen dividiendo el cuadrado en cuatro partes lo que equivaldría a un cuarto (1/4).



Suma, resta, multiplicación, división y simplificación de fraccionarios

En la multiplicación de fraccionarios, se multiplica numerador con el numerador y la respuesta se ubica en el numerador de la fracción resultante y denominador con denominador y el resultado se ubica en el denominador de la fracción resultante, cuando se quieres multiplicar una fracción por un numero entero lo que se hace es que el entero se convierte en fracción, dejando el numero entero en el numerador y agregando un uno en el denominador.



Multiplicación de Fracciones, Ejercicio

En el vídeo nos explicaran como resolver una multiplicación de tres fracciones, se puede simplificar antes de haber multiplicado en numerador con el numerador y el denominador con el denominador, o se puede resolver y el resultado final se simplifica.



Multiplicación de fracciones mixtas

Para resolver la multiplicación en una fracción mixta convertimos está en una fracción impropia, esto se realiza formando una nueva fracción en la que en el numerador se colocaran los siguientes valores; el denominador multiplicado por el numero entero y sumado por el numerador, y en el denominador de esta fracción quedara el mismo denominador de la fracción mixta, lo mismo se hará con la otra fracción mixta dejando así dos fracciones impropias, posteriormente el resultado se halla mediante los métodos ya vistos en los vídeos anteriores.




Operaciones con Fraccionarios

En este video nos mostraran como multiplicar una fracción positiva por una negativa, lo primero que hacemos es deducir el signo del resultado, sabiendo un positivo con un negativo dará un negativo, un positivo con un positivo dará positivo y un negativo con un negativo dará positivo, y se realiza el proceso restante como ya observamos en los videos anteriores.

POTENCIACION Y RADICACION. Ejercicios resueltos

EJERCICIOS RESUELTOS DE POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

Potenciación y radicación de fracciones

La propiedad de la potenciación que dice que el exponente se distribuye con respecto a la división y en la radicación el índice se distribuye con respecto a la división en un ejemplo (3/5) ala 2 en este caso el exponente es dos entonces el primer término se multiplicara por sí mismo dos veces y el denominador también por sí mismo.



POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

Primero vamos a suponer que a y b son números reales y que c y de son números enteros entonces con los enteros y los racionales se cumplen las siguientes propiedades primero si se tiene a ala n por a ala m se pone la misma base es decir a y se suman los exponentes es decir n más m la segunda si te tiene a por b elevado a un exponente n ambos términos se elevaran a la n.


POTENCIACION Y RADICACION DE NUMEROS NATURALES

La potenciación dice que hay una base y un exponente el exponente nos indica el número de veces que se debe multiplicar la base por sí misma y la radiación es hallar el número que multiplicado por sí mismo nos del número que está en la base de la raíz por ejemplo la raíz cuadrada de 16 seria


La Radicación y sus Propiedades

Se había visto la operación llamada potenciación es decir una base a elevada a una cantidad n nos daba como resultado una nueva cantidad c recordemos que a es la base n es el exponente estas dos cantidades juntas conforman la potencia y c es el resultado de efectuar esta operación que es dicha multiplicación abreviada.

Potenciación

Primero intentamos simplificar con las propiedades de la potenciación primero hay una división de dos potencias que tienen la misma base lo que quiere decir es que se deja la misma base y se restan los exponentes y la otra propiedad que dice que una potencia elevada a otra potencia lo que se hace es que se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES DEFINIDAS

EJERCICIOS RESUELTOS APLICANDO LAS INTEGRALES DEFINIDAS

Integral Definida

Primero se debe transformar el integrando para poder hallar la anti derivada de la función que nos den, en el numerador dependiendo del caso generalmente se aplica propiedad distributiva y en denominador se tiene la x y el respectivo dx en el siguiente paso se trabajan los términos semejantes y se distribuye la x y se sigue simplificando.


Cálculo Integral - Tutorial de Integral Definida

Primero en una Integral definida dentro de la integral se tiene una función cuadrática lo que nos da al momento de graficarla nos debe dar una parábola pero lo que pasa con estas funciones es que están limitadas eso quiere decir que en eje de x si por ejemplo está entre uno y dos el área que las comprende hasta donde tope con la función es la que se quiere hallar en unidades cuadradas.



Solución de una integral definida

Se comienza primero obteniendo la anti derivada de dicha función para ello se trabaja la integral sin considerar los límites de integración es decir la integral indefinida se utiliza la siguiente estrategia en el numerador se suma dos y se resta dos y a continuación se escribe el integrando repartiendo el denominador.



Integrales definidas del tipo xn

Se observa que se tiene una x elevado a un exponente numérico entonces aplicando la regla de integración correspondiente se va a colocar el mismo x con el mismo exponente pero se le va sumar uno al exponente y se va dividir todo sobre lo mismo que se tiene como exponente y no se agregara la constante arbitraria porque es una integral definida.

Cálculo Integral - Introducción a Integrales Definidas

Estas integrales son diferentes a las demás ya que estas ya tienen límites las anteriores se llamaban indefinidas ya que no poseían límites. La estructura que tiene una integral definida seria la integral con dos números uno arriba y otro abajo que serían los limites una función cuadrática y el dx y se comienza resolviendo como si fuera una integral indefinida.

DERIVADA DE UN PRODUCTO. Ejercicios resueltos

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA DERIVADA DE UN PRODUCTO.

Derivada de un producto

Me dan una función y dos derivadas matemáticas que se están multiplicando entonces la derivada de un producto seria la función elevada al cuadrado y la primera derivada matemática elevada al cuadrado por la segunda derivada más la primera derivada del producto multiplicada por la segunda derivada del producto elevada al cuadrado.
Dada una función (y) y dos expresiones qué se están multiplicando (u, v), la derivada de esa función se determina por la primera expresión multiplicada por la derivada de la segunda expresión, sumada a la segunda expresión por la derivada de la primera expresión.



Derivar de un producto de funciones

Para derivar un producto (multiplicación) de una función, se descompone la función en cada uno de sus factores (u, v), se saca la derivada a cada uno de los factores del producto (u', v'), se multiplica el primer factor por la derivada del segundo factor (u v') y se suma con el producto del segundo factor con la derivada del primer factor (v u'); posteriormente se resuelve la expresión algebraica.


Derivada - Producto de polinomios

Cuándo la función Y es el producto de un polinomio, la derivada se puede hallar de dos maneras, resolviendo el producto y derivando el resultado o siguiendo el método de solución de derivadas con la fórmula el primero por la derivada del segundo más el segundo por la derivada del primero.

PROPIEDADES DE LOS LIMITES. Ejercicios resueltos

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Suma de limites

Teorema de límites, si existen los límites de dos funciones (L y M) respectivamente, la suma de los límites corresponde la suma de los resultados (L más M), el producto de límites es la multiplicación de los resultados (L por M), de igual forma el cociente entre dos límites será igual a la división de los resultados siempre y cuando el denominador sea diferente de cero.



Límites de funciones

El límite de la suma de dos funciones es la suma de los límites de cada uno cada una de ellas. El límite de la resta de dos funciones es la resta de los límites de cada una de ellas. El producto de los límites de dos funciones es la multiplicación de los límites de cada una de ellas. El límite de un cociente de dos funciones qué es la división de los límites de cada una de ellas, siempre y cuando el límite de la función divisor sea diferente de cero.



Propiedades de los límites producto y cociente

La propiedad de límite de producto de funciones dice que el límite de multiplicación de dos funciones es igual la multiplicación del límite de la primera función por el límite de la segunda función. La propiedad de los límites de cociente de funciones dice que el que el límite de la división de dos funciones es igual al límite del numerador dividido el límite del denominador, siempre y cuando el límite del denominador sea diferente de cero.


Límites de división y propiedades

Cuando se tiene un límite que la variable tiende a infinito y el exponente de la variable del numerador es mayor que la del denominador el resultado del límite tiende a infinito, por el contrario cuándo el exponente de la variable en el numerador es menor que en el denominador el resultado tiende a cero.

LIMITE DE FUNCIONES RACIONALES. Ejercicios resueltos

LÍMITE DE FUNCIONES RACIONALES. Ejercicios

Limite De Una Función Racional

Para determinar el límite de una función se sustituye la variable x en la función con el número que este en el denominador de la función, luego se realizan las operaciones remplazando x con el número que se eligió donde al final al operar en el numerador debió quedar 0 y el denominador también donde se diría que se obtuvo la forma indeterminada de cero sobre cero.

Límites de funciones racionales

Los limites más sencillos son los de las funciones polinómicas donde generalmente se aplica el principio de sustitución y se remplaza el valor al cual tiende donde en los límites de funciones racionales al momento de remplazar siempre quedara cero sobre cero y a esas expresiones se les llamara indeterminación es decir que es un valor que no se acepta.



Límite con racionalización y factorización

Para empezar siempre se debe evaluar la expresión en el término que se tiende donde se remplaza la x por ese término donde al final nos dará cero sobre cero lo cual se conoce como una indeterminación es decir algo que se le tiene que dar solución un límite nunca puede dar como resultado una indeterminación entonces se modifica la expresión y se utiliza la racionalización.



Límites de funciones racionales

En las funciones racionales se da polinomio sobre polinomio el cual lo podemos diferenciar en dos grupos diferentes cuando x tiende a un número real o cuando x tiende a más o menos infinito cuando x tiende a un número real nos puede aparecer dos tipos de indeterminaciones el tipo cero sobre cero y el tipo de una constante sobre 0.


Límites al infinito de funciones racionales

Para evaluar el límite de una función donde la variable tiende a infinito es importante saber evaluar el límite de otras funciones pero más básicas a estos límites se les llama limites importantes cuando x tiende a infinito utilizando el concepto de limite se toman valores cercanos a infinito y observar hacia donde tiende el resultado y hacia donde tiende llegar.


FUNCION CUADRATICA. Ejercicios resueltos

EJERCICIOS DE FUNCIÓN CUADRÁTICA

Función Cuadrática Introducción

Son funciones generalmente de este tipo y=ax2+bx+c
donde a debe ser diferente de 0, la cual siempre va a dar al graficar una parábola que tiene un vértice que es el punto más alto o más bajo y las intersecciones con los ejes con la formula se puede graficar rápidamente y encontrar rápidamente los puntos para graficar.



La función cuadrática

Una función cuadrática está identificada por una ecuación 
f(x)=ax2+bx+c
donde a, b y c son coeficientes, números enteros positivos y la variable está en un primer término elevado al cuadrado y en un segundo término con un exponente de uno, el tercer término es un término independiente.



Funciones cuadráticas

Lo primero es ¿Cómo identificar una función cuadrática? Toda función cuadrática debe estar escrita de la siguiente forma La función f es una función cuadrática si y solo si f(x) puede ser escrita en la forma: donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero otra característica es que si a es mayor que cero la parábola va a abrir hacia arriba y si es menor que cero va abrir hacia abajo.



Cómo analizar y graficar una función cuadrática

El dominio de una función son todos los valores que va a tomar una función en el eje x, las funciones cuadráticas a no ser que estén restringidas van a estar siempre el dominio en todos los números reales, la imagen tiene que ver con el vértice en el caso de las funciones cuadráticas porque son solamente los valores que toma y.


Ejercicios de Función Cuadrática

La función cuadrática también llamada función de segundo grado o parábola la forma general de una función de segundo grado es f(x)=ax2+bx+c

ECUACION DE LA LINEA RECTA. Ejercicios resueltos

EJERCICIOS: ECUACIÓN DE LA LÍNEA RECTA

Introducción a la línea recta

Una pendiente es una parte muy elemental de las rectas, a partir del eje x a la recta se forma un ángulo que recibe el nombre de ángulo de inclinación, cuando a este se le aplica la función tangente se le llama pendiente de la recta; cuando la inclinación es de esta manera (/) se dice que es positiva y si es al contrario se dice que es negativa, las ecuaciones de las rectas pueden ser: ordinarias, generales y simétricas.


Concepto de línea recta

Las líneas rectas se forman de la unión de varios puntos, que conservan una misma inclinación, una línea recta es infinita, el segmento de recta se forma cuando una línea recta se limita por dos puntos, la parte entre dos puntos ubicados en una línea recta se denominan segmentos rectilíneos, y cuando queremos medir el segmento toma el nombre de segmento rectilíneo dirigido.

Ecuaciones de lineas rectas

Cada recta tiene una inclinación particular y eso hace parte de la ecuación, para hallar de una recta con una determinada pendiente y una determinada intercepción en Y, para esto podemos usar la formula intercepto - pendiente de la que teniendo los datos a mencionados solo faltara reemplazarlos, o de la forma general los datos se ubicaran en un lado de la ecuación lo que será igual a cero, para resolverlo se pasan los datos cambiándole el signo a Y.


Ecuación general de una recta dados dos puntos

Vamos a hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, con los puntos conocidos se determina el valor de la pendiente, la pendiente se define como la diferencia de ordenadas sobre diferencia de abscisas, cuando el valor de la pendiente resultante es positiva se obtiene una recta ascendente (/), para encontrar la ecuación de la recta, se utiliza el modelo punto pendiente, para resolver esta ecuación debemos reemplazar los datos (no importa qué punto se elija) se resuelve la multiplicación y el resultado se pasa al lado izquierdo del igual cambiando los signos, y al lado derecho ponemos un cero, posteriormente organizamos la ecuación empezando por X, cuando la formula general empieza con un término negativo se multiplica por (-1) en ambos lados de la ecuación, lo que generara un cambio de signos.

Ejercicio Pendiente e Intercepto de una Linea Recta - Gráfica

En este vídeo nos proponen un ejercicio en el cual debemos hallar la pendiente y el intercepto con el eje Y, en este vídeo nos muestran una forma diferente de hallar el valor de la pendiente a comparación del anterior vídeo, entonces nos dice que la pendiente es igual a Y menos B sobre X menos cero, luego utilizamos la fórmula para pendiente y el intercepto con Y, el paso a seguir es despejar Y, al realizar la ecuación debemos recordar que esta debe ser equivalente por lo tanto si se realiza una operación a un lado se debe hacer en el otro lado de la ecuación.