3.8.13

Simplificación y Amplificación de Fracciones. Ejercicios Resueltos

Simplificación y Amplificación de Fracciones. Ejercicios.

Simplificar fracciones

La simplificación o reducción de una fracción es la transforción en una fracción simple, equivalente.

Para simplificar una fracción, se divide el numerador y el denominador por el mismo número.

Para determinar qué número es el indicado para dividir, en primer lugar se debe encontrar los números primos de ambos, es decir del numerador y el denominador: 2, 3, 5, 7, ... En otras palabras, tratar de dividir el numerador y el denominador por un número divisible por dos, si no es posible seguimos probando con el 3, y así sucesivamente.

El proceso se repite hasta que no hay más divisores comunes.

Si los términos de la fracción terminan en ceros, podemos empezar por la eliminación de los ceros comunes finales del numerador y el denominador.

Si el numerador y el denominador son divididos por el máximo común divisor, se llega a un fracción irreducible.


Las fracciones irreducibles

Las fracciones irreducibles son aquellos que no se puede simplificar más. Esto sucede cuando el numerador y el denominador son primos entre sí.

tenemos a continuación algunos ejemplos:



En matemáticas, el proceso de amplificar una fracción es la acción de multiplicar tanto numeradores como denominadora de éste, por un mismo número, con el objetivo de obtener una fracción equivalente a la fracción inicial.

La amplificación de fracciones


El procedimiento es válido para todo número real distinto de cero, ya que, haciendo uso de la propiedad que posee el elemento neutro multiplicativo del conjunto de números reales, de tal manera que su numerador y el denominador son números reales no nulos iguales. Lo anterior lo podemos detallar en el próximo vídeo:



Fracciones Equivalentes - Ejercicios Resueltos

Las Fracciones Equivalentes. Ejemplos.

Formas para identificar fracciones equivalentes.
Las fracciones equivalentes son fracciones que tienen el mismo valor o representan la misma parte de un objeto. Si un pastel se corta en dos piezas, cada pieza es la mitad de la torta. Si un pastel se corta en 4 pedazos, a continuación, dos piezas representan la misma cantidad de pastel que media torta. Luego decimos que un medio es equivalente a 2/4.

Las fracciones son equivalentes al multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número. Por ejemplo, si comparamos 1/2 y 2/4, podríamos multiplicar 1/2 por 2/2 que se traduciría en 2/4 por lo que son equivalentes.

podemos de ésta manera calcular muchas fracciones equivalentes para cierta cantidad, veamos:

Las fracciones equivalentes a 1/2 son 2/4, 3/6, 4/8, 5/10, 6/12 ...
Las fracciones equivalentes a 1/3 son 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, ...
Las fracciones equivalentes a 1/4 son 2/8, 3/12, 4/16, 5/20, ...
Las fracciones equivalentes a 1/5 son 2/10, 3/15, 4/20, 5/25, ...
Las fracciones equivalentes a 2/5 son 4/10, 6/15, 8/20, 10/25, ...

Todo ésto se amplía a continuación:




El truco es muy sencillo: Puede multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por un número entero distinto de cero, por ejemplo, usted puede multiplicar el numerador y el denominador por 3. Pero no se puede multiplicar el numerador por 3 y el denominador por 5. Puede multiplicar el numerador y el denominador por 4, pero no se puede multiplicar el numerador y el denominador por 4 y por 2 respectivamente.

recuerde con claridad que el numerador y el denominador de una fracción se deben multiplicar por el mismo número entero distinto de cero para tener fracciones equivalentes.

Veamos la explicación:

Clases de Fracciones - Ejemplos

Las Clases de Fracciones. Ejemplos.

En ésta entrada miraremos la clasificación de las fracciones.

Las fracciones se pueden clasificar en:

1) Propias: cuando el numerador es menos que el denominador. Ejemplo 3/4

2) Impropias: cuando el numerador es mayor que el denominador. Ejemplo 5/3

3) Mixtas: son formas de representar fracciones impropias mediante un número natural sumado a una fracción. Ejemplo (3+ 1/4) = 3(1/4) = 13/4


En el siguiente tutorial se expresan todo éstos conceptos de forma más amplia, los procedimientos se dan paso a paso:


Ahora veamos en clases de matemáticas algunos ejercicios con fracciones como complemento al tema tratado.

Problemas con fraccionarios - Ejercicios Resueltos

Problemas con Fraccionarios.

En muchos problemas y situaciones de matemáticas se deben plantear ecuaciones con fracciones para poder realizar algún tipo de ejercicio.

Es por ésto que debemos adquirir la agilidad de manejar de forma adecuada el trabajo con fraccionarios porque de ésta manera se nos puede facilitar todos los planteamientos y por ende encontrar las soluciones de forma fácil y sistemática.

El objetivo de ésta entrada es mostrar algunos ejercicios resueltos y varios ejemplos para comenzar a entender la importancia de los números fraccionarios.

veamos con detenimiento los ejercicios y problemas resueltos, luego pongamos en práctica todo lo aprendido.





Para resolver situaciones problemáticas que vinculen fraccionarios debemos, desde luego tener claro la forma de trabajar las operaciones; para ello es conveniente mirar el siguiente tutorial donde se plantea de manera clara éstas situaciones.

Veamos:


MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO - Ejercicios Resueltos

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. Ejemplos.

veamos con un ejemplo sencillo el cálculo del MCM.

Luego como complemento tenemos los tutoriales que nos permitirán consolidar el aprendizaje.

Desde luego todo esto debe llevar consigo la realización de muchos ejercicios, recuerda que la práctica hace al maestro.

Miremos el primer ejemplo:






El Mínimo común múltiplo es la mínima cantidad en común que vemos en el círculo en rojo, desde luego descartando el número cero.

¿Qué es un múltiplo?
Los múltiplos de un número son los que usted consigue cuando multiplica la cantidad determinada por otro número.

He aquí algunos ejemplos:

Los múltiplos de 3 son: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, etc ...

Los múltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60, 72, etc ...

¿Qué es un "común múltiplo"?
Cuando pones los múltiplos de dos números (o más), y encuentras el mismo valor en ambas listas.

Por ejemplo, cuando usted escribe los múltiplos de 4 y 5, los múltiplos comunes son aquellos que se encuentran en ambas listas así:

Los múltiplos de 4 son: 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44, ...
Los múltiplos de 5 son: 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50, ...

Nótese que el 20 y 40 aparecen en las dos listas?
Por lo tanto, los múltiplos comunes de 4 y 5 son: 20, 40, (y 60, 80, etc ..., también)

Ahora, ¿Qué es el "mínimo común múltiplo"?
Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes.

En nuestro ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, por lo que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20.




Ejercicios resueltos:

Encontrar el mínimo común múltiplo de 5, 6, y 15.

En primer lugar se indican los múltiplos de cada número.

Los múltiplos de 5 son 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ...
Los múltiplos de 6 son 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...
Los múltiplos de 15 son 30, 45, 60, 75, 90, ....

Ahora, cuando nos fijamos en la lista de los múltiplos, se puede ver que el 30 es el número más pequeño que aparece en cada lista.
Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de:

5, 6 y 15 es 30.

Más ejercicios resueltos en el vídeo:




MÁXIMO COMÚN DIVISOR - Ejercicios Resueltos

MÁXIMO COMÚN DIVISOR. Ejemplos.

El máximo común divisor (MCD) de dos números enteros es el mayor número entero que es un divisor (factor) de ambos. Por ejemplo, el número más grande que divide tanto a 20 y 16 es 4. (Ambos 16 y 20 tienen factores más grandes, pero dentro de esos grandes no hay comunes, por ejemplo, 8 es un factor de 16, pero no es un factor de 20.)

En la escuela primaria, la mayoría de las personas se les enseña un método "de adivinar y verificación" para encontrar el MCD. En su lugar, hay una manera sencilla y sistemática de hacer esto que siempre encuentra la respuesta correcta. El método se llama "algoritmo de Euclides."

MCD Ejemplo

Encontrar el MCD de 45 y 54 años.
Paso 1: Encuentre los divisores de los números dados:
Los divisores de 45 son: 1, 3, 5, 9, 15, 45
Los divisores de 54 son: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54
Paso 2: Busque el número más grande que estas dos listas tienen en común. para este ejemplo, el MCD es 9.

Podemos practicar aún más observando el siguiente vídeo:



Recordando lo mencionado anteriormente tenemos que el Máximo Común Divisor (MCD) de dos números enteros positivos es el mayor entero positivo que divide los dos números de una forma exacta, es decir el residuo es cero.

Vea a continuación los métodos para encontrar el (MCD) en el siguiente vídeo.

Descomposición en Factores Primos. Ejercicios Resueltos

Descomposición de un Número en sus Factores Primos. Ejercicios.

Un número primo e aquel que solo se puede dividir exactamente por 1 o por sí mismo, y debe ser un número entero mayor que 1.

Ahora miremos aspectos para la descomposición de números en sus factores primos:

Ejemplo 1: ¿Cuáles son los factores primos de 12?

Lo mejor es empezar a trabajar desde el número primo más pequeño, que es 2, por lo que vamos a ver:
12 ÷ 2 = 6

Sí, se dividió uniformemente entre 2 hemos dado el primer paso! pero no terminamos allí...

6 no es un número primo, así que tenemos que ir más allá. Vamos a intentar de nuevo 2:
6 ÷ 2 = 3
Sí, eso funcionó también. Y 3 es un número primo, así que tenemos la respuesta:
12 = 2 × 2 × 3

Como puede ver, cada factor es un número primo, por lo que la respuesta debe estar en lo cierto.

Nota: 12 = 2 × 2 × 3 también se puede escribir con exponentes como:
12 = 22 × 3


Ejemplo 2: ¿Cuál es la factorización prima de 147?
Podemos dividir 147 uniformemente por 2? No, por lo que debemos tratar con el siguiente número primo, 3:
147 ÷ 3 = 49
Entonces tratamos de factorizar 49 y encontramos que 7 es el número primo más pequeño que funciona en éste caso:
49 ÷ 7 = 7
Y al final tenemos...
147 = 3 × 7 × 7


También usando potencia: 147 = 3 × 72


En otros ejemplos podemos mirar con más detalle estas descomposiciones de números tal com se muestra en el siguiente vídeo:



En la teoría de los números, los factores primos de un número entero positivo son los números primos que dividen a ese entero exactamente. La factorización en primos de un número entero positivo es una lista de factores primos del número entero; el proceso de la determinación de estos factores también puede ser nombrado como "factorización". El teorema fundamental de la aritmética dice que todo entero positivo tiene una única factorización prima.

Por ejemplo,

 360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5,

en el que los factores de 2, 3 y 5 son números primos.

Tenemos más ejercicios resueltos en el siguiente vídeo:

Criterios de Divisibilidad. Ejercicios Resueltos

Sobre los Criterios de Divisibilidad. Ejemplos.

Los criterios de divisibilidad son maneras de saber si un número divide a otro sin tener que llevar a cabo la división. Implícito en este concepto es la suposición de que los criterios en cuestión ofrecen una manera más sencilla que la de la división absoluta para responder a la pregunta de la divisibilidad.

Ahora podemos estudiar algunas reglas para descubrir si un número determinado es divisible por otro.

A continuación veamos algunas consideraciones...

Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2, si el último dígito es 0 o es divisible por 2. Los números que son divisibles por 2 se llaman números pares. De lo contrario, los números se llaman números impares.

Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

Divisibilidad por 8. Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

La divisibilidad entre 3 y 9. Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos es divisible por 9.

Divisibilidad por 6. Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.

Divisibilidad por 5. Un número es divisible por 5, si el último dígito es 0 ó 5.

Divisibilidad por 25. Un número es divisible por 25, si sus dos últimos dígitos son ceros o múltiplos de 25.

Divisibilidad por 10. Un número es divisible por 10, si el último dígito es 0.

Divisibilidad por 100. Un número es divisible por 100, si sus dos últimas cifras son ceros.

Divisibilidad por 1000. Un número es divisible por 1000, si sus tres últimas cifras son ceros.

Existen criterios de divisibilidad para algunos otros números, pero estos criterios son más difíciles y no se considera en un programa de escuela primaria o secundaria.

Podemos ver a continuación la explicación detallada en el siguiente vídeo:



Analicemos el siguiente ejemplo:

El número 378015 es divisible por 3, porque la suma de sus dígitos 3 + 7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24, que es divisible por 3. Este número es divisible por 5, ya que el último dígito es 5. Por fin, este número es divisible por 11, porque la suma de dígitos pares: 7 + 0 + 5 = 12 y la suma de dígitos impares: 3 + 8 + 1 = 12, y los dos resultados son iguales. Sin embargo, este número no es divisible por 2, 4, 6, 8, 9, 10, 25, 100 y 1000.

Tenemos más conceptos y ejemplos:

DIVISORES DE UN NÚMERO. ejemplos

LOS DIVISORES DE UN NÚMERO. Ejemplos.

Para el área de matemáticas, y en concreto en la teoría de números, la función divisor es una función aritmética en relación con los divisores de un entero.

Cómo determinar el número de divisores de un entero

Podemos notar que 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 son todos los divisores (o factores) de 24. Se puede dividir el 24 por cualquiera de ellos y llegar a un número entero o natural en éste caso. Así que hay 8 divisores para el número 24. En esta entrada se explica cómo calcular estos números de una forma muy rápida.



Ahora supongamos que usted desea conocer el número de divisores de 48.

A partir de 1 podemos trabajar a través del conjunto de los números naturales y la divisibilidad en cada caso, teniendo en cuenta que los divisores se pueden incluir en pares de factores.

48 = 1 × 48 = 2 × 24 = 3 x 16 = 12 = 4 × 6 × 8

Por lo tanto, podemos ver que 48 tiene exactamente diez divisores.

Aunque este método es rápido y fácil con números pequeños, es tedioso y poco práctico para un número mayor.

Pero podemos ver más técnicas para facilitar los ejercicios, veamos:

MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO - ejemplos

LOS MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO.

Un múltiplo es un producto de un número y un entero, o más simplemente, cuando se multiplica dos números enteros juntos. Cada número tiene un número infinito de múltiplos. Por ejemplo, los múltiplos de 2 son 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 y así sucesivamente, hasta el infinito. en los ejercicios normalmente se le puede pedir que haga una lista de los múltiplos hasta llegar a un cierto número (por ejemplo, una lista de los múltiplos de 2 hasta el 50), o se le puede pedir la lista de un cierto número de múltiplos (por ejemplo, una lista de los 5 primeros múltiplos de 4). Lo importante aquí es que lea atentamente las instrucciones y asegúrese de entender lo que la pregunta le pide antes de contestar. Aquí tenemos varios ejemplos:

Enumere los cinco primeros múltiplos de los siguientes números: 3, 6, 9, 10, 7, 12, 50

3: 3, 6, 9, 12, 15

6: 6, 12, 18, 24, 30

9: 9, 18, 27, 36, 45

10: 10, 20, 30, 40, 50

7: 7, 14, 21, 28, 35

12: 12, 24, 36, 48, 60

50: 50, 100, 150, 200, 250

Recuerde: Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando el número por cada uno de los números naturales.

Por ejemplo:

Múltiplos de 2: 2, 4, 6, 8, ...
Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, ...
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, ...

Ejercicios Resueltos:



Repacemos: Los múltiplos de cualquier número son los números que puede ser divididos exactamente por ese número. Un número puede tener un número ilimitado de múltiplos.

Ejemplo: 10,15,20,25,30, ... son múltiplos de 5.

Conceptos y ejercicios:

Propiedades de los Números Complejos. Ejemplos

Las Propiedades de los Números Complejos.

Un número complejo es un número que puede expresarse en la forma a + bi, donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria, donde i2 = -1.

En la anterior expresión, a es la parte real y b es la parte imaginaria del número complejo. Los números complejos extienden el concepto de la línea dimensional al plano complejo de dos dimensiones mediante el uso de el eje horizontal para la parte real y el eje vertical de la parte imaginaria.


El número complejo a + bi puede ser identificada con el punto (a, b​​) en el plano complejo. Un número complejo cuya parte real es cero, se dice que es puramente imaginario, mientras que un número complejo cuya parte imaginaria es cero es un número real. De esta manera, los números complejos contienen los números reales ordinarios, mientras que se extiende con el fin de resolver los problemas que no pueden resolverse con números reales.


Además de su uso dentro de las matemáticas, los números complejos tienen aplicaciones prácticas en muchos campos, incluyendo la física, la química, la biología, la economía, la ingeniería eléctrica, y las estadísticas. El matemático italiano Gerolamo Cardano fue el primero que introdujo el concepto de números complejos.

Ejercicios resueltos paso a paso:


Hasta ahora, le han dicho que no se puede sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Ahora, sin embargo, usted puede determinar la raíz cuadrada de un número negativo, solo que ésto implica el uso de un nuevo número para hacerlo. Todo ésto se aplica en el siguiente vídeo:

Calcular el Area de un Círculo - Ejercicios

Cómo Calcular el Área de un Círculo. Ejemplos.

El círculo es una curva plana en todas partes tiene la misma distancia de un punto fijo dado, el centro. Una línea que conecta dos puntos cualesquiera de un círculo se llama un acorde, y una cuerda que pasa por el centro se llama un diámetro. El Radio del círculo ( la mitad del diámetro) se representa por R.

R = D / 2. Esta hoja entrada a continuación ilustra cómo calcular la superficie total de círculo, la circunferencia y el diámetro dado el valor del radio.

Fórmulas para el Area de un Círculo.

Area del Círculo = π r^2

Medida de la Circunferencia = 2 π r

Diámetro = 2 r

Ejercicios resueltos paso a paso sobre los diferentes cálculos para un círculo.




Vamos a resolver el siguiente ejercicio con la información dada:

Radio del círculo = 5 cm,

Area = π r^2

= 3,14 x 5 ^ 2

= 78.57 cm^2

Circunferencia = 2 π r

= 2 x 3,14 x 5

= 31,4286 c.m

Diámetro = 2 r
= 2 x 5= 10 c.m

Mas ejercicios en vídeo:

DISTRIBUCION BINOMIAL - Ejercicios Resueltos

Ejercicios de Distribución Binomial.

Esta entrada del blog clases de matemáticas, a continuación ilustra cómo calcular la distribución binomial de n, p y x.

Cuando,
n = Número de eventos
x = Número de éxito
p = Probabilidad

La siguiente fórmula se utiliza para calcular la distribución binomial

Binomial Distribution Formula

Ejemplo: 1

Encontrar la distribución binomial cuyos eventos son, n = 3, Éxito = 1 y probabilidad, p = 0,2

1. Descubra la combinación de valor C mediante el uso de una calculadora
2. Aplicar C, n, x y los valores de p en la fórmula

3C1 = x (0.2) 1 x (1-0,2) (3 - 1)
= 3 x 0,2 x (0,8) 2
= 0.384

Ejemplo 2 en vídeo


Ejemplo: 3
Un lote contiene 1 por ciento de los artículos defectuosos. ¿Cuál sería el número (n) de elementos de una muestra aleatoria de manera que la probabilidad de encontrar al menos uno defectuoso en él, es al menos 0,95?

Solución:
Éxito encontrar un artículo defectuoso
X = número de éxito
P = probabilidad de éxito = 1/100 = 0,01
q = 1-p = 0.99

La distribución binomial es
P (X = x) = nCx px pn-x, x = 0,1,2,3,4 .... n
= nCx 0.01x 0.99 n-x
Dado: P (X & 1) es al menos 0,95
= P (X ≥ 1) ≥ 0,95
= 1-P (0) ≥ 0,95
= 1 - NC0 0,01 N ≥ 0,95
= 1 - 0.99n ≥ 0,95
= 0,05 ≥ 0.99n
= 5/100 ≥ (99/100) n
= (100/99) n ≥ 100/5

Resolviendo

n (2 - log 99) ≥ 2 - log 5
n ≥ (2 - log 5) / (2 - log 99)
n ≥ (2-0,6990) / (2 a 1,9956)
n ≥ 1.301/0.0044
n ≥ 296

Ejemplo 4



Puede practicar con las siguientes situaciones:

*Para una distribución binomial la media es 8 y la desviación estándar es √ 5. Escriba todos los términos de la distribución.

Ocho monedas se lanzan simultáneamente. Encuentre la probabilidad de obtener al menos seis caras.
Un par de dados se tira 5 veces. Si sacer un doble se considera un éxito. Encuentre la probabilidad de 2 éxitos.

PROGRESION ARITMETICA. Ejercicios Resueltos

EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESIÓN ARITMÉTICA.

Esta entrada le ayudará a comprender cómo encontrar la progresión aritmética en una situación problemática. Una progresión es la sucesión de números formados y dispuestos en un orden definido de acuerdo con cierta regla definida. Mientras que si cada término de una progresión difieren de su término anterior por una constante, entonces una progresión se llama una progresión aritmética y la constante diferente se llama la diferencia común
denotado por d.

La expresión general de de la progresión aritmética es,
(A + D), (un 2 d), (un 3 d), ....

Fórmula de la progresión aritmética



El enésimo término de este punto de acceso está dado por Tn = a + (n - 1) d
La suma de n términos.
Sn = n / 2 [2a + (n - 1) d] = (n / 2) [primer término + último término]

Ejercicios resueltos de la progresión aritmética




¿Cuántos números de entre 8 y 121 son divisibles por 11
Los números necesarios son 11, 22, 33, 44, 55, ...., 110, 121.
Aquí a = 11 y d = 22-11 = 11 Tn = 121
Tn = a + (n - 1) d
121 = 11 + (n - 1) 11
n - 1 = (121-11) / 11
= 110/11
= 10
n = 10+ 1
n = 11

Encontrar la suma de todos los números impares hasta 85.
Solución:
Los números dados son 1, 3, 5, 7, 9, ... , 85.
Aquí a = 1 y d = 3-1 = 2.
Tn = a + (n - 1) d
85 = 1 + (n - 1) 2
n - 1 = (85 - 1) / 2
n - 1 = 42
n = 43.

Suma = (n / 2) (primer término + último término)
= 43/2 (1 + 85)
= 1849.
Por lo tanto la suma de todos los números impares hasta el 85 es 1849.

Halla la suma de todos los números de 2 dígitos divisibles por 4.
Solución:
Todos los números de 2 cifras son divisibles por 4,
12, 16, 20, ...., 96.
Aquí a = 12 & d = 16 - 12 = 4.
Tn = a + (n - 1) d
96 = 12 + (n - 1) 4
n - 1 = (96-12) / 4
= 84/4
= 21
n = 22.
Suma = (n / 2) (primer término + último término)
= (22/2) x (12 + 96)
= 11 x 108
= 1188
Por lo tanto la suma de todos los números de 2 dígitos divisible por 4 es 1188.

A continuación más ejercicios explicados en vídeo.



Algunas reglas para recordar o averiguar la progresión aritmética para

La progresión aritmética de números consecutivos
(1 + 2 + 3 + .... + n) = (n x (n + 1)) / 2

La progresión aritmética de cubos consecutivos
(13 + 23 + 33 + .... + n3) = (n2 x (n + 1) 2) / 4

LA REGLA DE CRAMER - Ejercicios Resueltos

Ejercicios de Sistemas de Ecuaciones Utilizando la Regla de Cramer.

Dado un sistema de ecuaciones lineales, la regla de Cramer es una forma práctica de resolver sin tener que resolver el sistema de ecuaciones, es decir en lugar de resolver el sistema de ecuaciones, puede usar Cramer para resolver el sistema.

¿Qué pasa si el determinante coeficiente es cero? No se puede dividir por cero, ¿qué significa esto? "D = 0" significa que el sistema de ecuaciones no tiene solución única. El sistema puede ser inconsistente (ninguna solución en absoluto) o dependiente (una solución infinita, que puede ser expresada como una solución paramétrica. En cuanto a la regla de Cramer, "D = 0" significa que usted tendrá que usar otro método (por ejemplo, operaciones de filas de la matriz) para resolver el sistema. Si D = 0, no se puede utilizar la regla de Cramer.

Esta entrada le ayudará a saber sobre la regla de Cramer. La Regla de Cramer, es una forma para la solución de un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones como incógnitas. Si el determinante de la ecuación no es igual a cero significa entonces que la Regla de Cramer se puede aplicar; recuerde que de otro modo la Regla de Cramer no se puede utilizar. En otras palabras, la Regla de Cramer se utiliza para encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones. Esto se puede hacer fácilmente mediante la búsqueda del Determinante de la Matriz. Si se trata de tres ecuaciones lineales y tenemos que encontrar tres incógnita entonces debemos encontrar el determinante 3x3.

A continuación se ilustra cómo encontrar las incógnitas en una ecuación lineal. En este ejemplo, hay que encontrar tres variables desconocidas de tres ecuaciones lineales.

Resolver la siguiente ecuación y encontrar el valor de x, y, z.

3x + y + z = 3
2x + 2y + 5z = -1
x - 3y - 4z = 2

Δ =
3 1 1

2

2

5

1

-3

-4

= 3(-8 + 15) - 1(-8 - 5) + 1(-6 - 2)
= 21 + 13 - 8
= 26


Aquí el determinante no es igual a cero, por lo que la regla de Cramer puede ser aplicable.
X = Dx / Δ, y = Dy / Δ, z = Delta z / Δ

Δx =
3 1 1
-1 2 5
2 -3 -4
=3( -8 + 15) - 1(4 - 10) + 1(3 - 4)
= 21 + 6 - 1
x = 26

Δy =
3 3 1
2 -1 5
1 2 -4
= 3(4 - 10) - 3(-8 - 5) + 1(4 + 1)
= -18 + 39 + 5
y = 26

Δz =
3 1 3
2 2 -1
1 -3 2

= 3(4 - 3) - 1(4 + 1) + 3(-6 -2)
= 3 - 5 - 24
z = -26

Mediante el uso de la regla de Cramer:
x = Δ1 / Δ
x = 26/26
x = 1
y = Δ2 / Δ
y = 26/26
y = 1
z = Δ3 / Δ
z = 26 / -26
z = -1
Por lo tanto las variables desconocidas son x = 1, y = 1 y z = -1

Ahora los ejercicios resueltos en vídeo, primero la solución de un sistema de ecuaciones de 2x2 y luego un sistema de 3x3.



A continuación miramos la utilidad de la regla de Cramer para resolver sistemas de 3x3:

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Saludos a toda la comunidad de estudiantes en todo el mundo, les cuento que estoy presentando un proyecto de clases de matemáticas totalmente gratis para todos los países en la comunidad de habla hispana.

Las clases de matemáticas las estoy impartiendo por videoconferencia uttilizando Skype (mi usuario: jolcomar) o también videollamada de google. Las clases son en tiempo real donde el estudiante puede interactual con el profesor y plantear los temas a tratar en cada clase.


La ayuda se extiende a resolver ejercicios propuestos con anticipación los cuales serán planteados y elaborados en clase.


Para la comunidad interesada en recibir clases gratis de matemáticas para reforzar su aprendizaje y practicar sus actividades pueden contactarme en el correo: jolcomar177@gmail.com.


Los horarios se deben establecer según la disponibilidad de agenda.


También te recomiendo suscribirte a mi canal de vídeos, la opción para ello aparece en la parte dereca de esta entrada.


El objetivo es llegar a miles de personas y aportar algo de conocimiento para el beneficio general; los temas a tratar pueden ser dese Aritmética hasta ecuaciones diferenciales, pasando por el algebra, la trigonometria, el cálculo y la geometría. Bueno también algo de matemática financiera y Estadística y Probabilidad.


Recuerda clases de matemáticas totalmente gratis por videollamada, por supuesto debes tener buena conexión a internt, contar con cámara web, micrófonos y llegar regularmente a clases.


También clases de física y química.

ALGEBRA DE CONJUNTOS - Ejercicios Resueltos

Ejercicios de Algebra de Conjuntos.

OPERACIONES BÁSICAS ENTRE CONJUNTOS

Como hemos introducido el sentido del conjunto de términos, subconjunto, conjunto vacío y el conjunto universal, podemos aprender a construir nuevos conjuntos con los conjuntos que ya conocemos. La forma en que hacemos todo ésto se llama operaciones entre conjuntos.

Las operaciones de ajuste son: unión, intersección, diferencia y complemento. Se llaman operaciones booleanas.
Sean A y B subconjuntos del conjunto universal U. Entonces podemos decir que AUB es el conjunto que contiene todos los elementos del conjunto A y todos los elementos del conjunto B y nada más.

Un conjunto es una colección bien definida de objetos. El término "bien definida" significa que es posible saber si un objeto dado pertenece al conjunto o no. Los estudiantes en su clase forman un conjunto, los meses del año, forman otro.

Para las matemáticas, los conjuntos se indican con letras mayúsculas, tales como A, S o X. Los objetos que forman un conjunto se conocen como sus elementos o miembros. Los elementos de un conjunto son normalmente denotados por letras minúsculas como a, s o x.

Podemos indicar los elementos de un conjunto de varias maneras. Si el conjunto contiene sólo un pequeño número de elementos, es posible que simplemente se enumeren en cualquier orden dentro de corchetes, por ejemplo:

A = {2, 4, 6}

Cuando un grupo se compone de un número grande o tal vez infinito, de los elementos y de los miembros del conjunto presentan un patrón claro, podemos indicar este patrón con tres puntos, lo que quiere decir "y así sucesivamente" o "y así sucesivamente hasta '. Por ejemplo:

B = {3, 6, 9, 12, ... }

es el conjunto de todos los múltiplos positivos de 3, y contiene un número infinito de elementos, mientras que:

C = {a, b​​, c, ... x, y, z}

es el conjunto de letras del alfabeto.

Usted debe familiarizarse con la siguiente notación estándar.

ejemplo

Si A es el conjunto {2, 3, 5, 7, 11} y x = 5, entonces: x A

Si A es el conjunto {2, 3, 5, 7, 11} y x = 5,4, entonces: x No pertenece a A

Encontramos enseguida vídeos con las operaciones entre conjuntos:

Algebra de conjuntos



Teoría de Conjuntos: Explicación sobre el Algebra de conjuntos.



Diferentes operaciones entre conjuntos. Ejemplos ilustrativos y conceptos preliminares.


Ecuaciones Trigonometricas - Ejercicios Resueltos

Ecuaciones Trigonometricas Paso a Paso.

En esta entrada se ilustra el proceso de resolución de ecuaciones trigonométricas de diversas formas. También se muestra cómo comprobar su respuesta de maneras diferentes: forma algebraica, gráfica, y utilizando el concepto de equivalencia.

Es decir que en éste post vamos a echar un vistazo a la resolución de ecuaciones trigonométricas de forma puntual. Esto es algo que se pide hacer regularmente en clase.

Vamos a mirar los ejemplos y ver cómo resolver ecuaciones trigonométricas, luego complementamos con una serie de vídeos para reforzar los procedimientos y técnicas apropiadas que debemos conocer y tener en cuenta.

Ejercicios Resueltos:

1) Resolver el problema siguiente...

sin(x) + 2 = 3 para < x < 360°

Al igual que con las ecuaciones lineales, lo primero que voy a despejar es el término que contiene variables:

sin(x) + 2 = 3
sin(x) = 1


Ahora voy a utilizar los ángulos de referencia que he memorizado, y esto me da como resultado que la solución es:

x = 90°

2) Resolver de manera sistemática...



para < x < 360°




Notamos que para realizar el ejercicio necesitamos aplicar algunos casos de factorización.













Ahora que hemos hecho algunos procesos álgebraicos, podemos hacer la parte trigonometrica. Desde el primer factor, tenemos x = 90° y x = 270°. Desde el segundo factor, se presenta x = 30° y x = 330°. por lo tanto la solución se presenta como:

x = 30°, 90°, 270°, 330°

3) Resuelva la siguiente ecuación que tiene la función seno...

sin2(x) - sin(x) = 2 para < x < 360°

Esta es una cuadrática en seno, por lo que puede aplicar algunos de los mismos métodos:


sin2(x) - sin(x) - 2 = 0 factorizamos
(sin(x) - 2)(sin(x) + 1) = 0
sin(x) = 2 (esta respuesta NO es posible) ó sin(x) = -1

Sólo una de las soluciones es coherente, esa es sin(x)= -1 lo que indica que:

x = 270°

El resto de Ejercicios resueltos aparecen en los siguientes vídeos:




Problemas Resueltos de ecuaciones que contienen funciones trigonométricas.




Otros ejemplos prácticos y situaciones con ecuaciones, los procedimientos se presentan paso a paso de forma sistemática.