30.4.13

Division por dos cifras. ejercicios resueltos

Sobre la División por dos Cifras. Ejemplos.

La División con dos o más cifras la Explicaremos por medio de ejemplos, esto es referente la resolución de divisiones cuando en el divisor aparece un número con dos cifras. En esta entrada se establecerá una metodología sencilla con la que se podrá resolver cualquier problema.

Recordemos que para la matemática, la división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número (divisor) está contenido en otro número (dividendo). El resultado de una división recibe el nombre de cociente. De manera general se puede decir que la división es la operación inversa de la multiplicación, si bien la división no es un operación, propiamente dicha.
Debe distinguirse la división exacta de la división con resto o residuo. A diferencia de la suma, la resta o la multiplicación, la división entre números enteros no está siempre definida; en efecto: 8 dividido 2 es igual a 4 (un número entero), pero 2 entre 8 es igual a un cuarto, que ya no es un número entero. La definición formal de división dependerá luego del conjunto de definición.
En conclusión, la división es lo contrario de la multiplicación. Si conoces un factor de la multiplicación entonces puedes encontrar un factor de la división:
Ejemplo: 3 × 5 = 15, así que 15 / 5 = 3. (También 15 / 3 = 5.)
Este video le mostrará una solución completa "división larga" para la división de dos cifras.

22.4.13

El metro, multiplos y submultiplos

Múltiplos y submúltiplos del metro. Video tutorial.

Sobre El Metro

La Asamblea Nacional de Francia ordenó a la Academia Francesa de las Ciencias de París a diseñar un sistema de medición que sea fácil de usar y apto para todo el mundo. En 1791 se estableció la unidad de longitud, su nombre sería el metro y sería la diezmillonésima parte de la distancia del Polo Norte al Ecuador.

Es decir, la distancia desde el Polo Norte al Ecuador dividida en diez millones de partes. La regla del metro se mantiene en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de París.

Hoy en día, el medidor de distancia no depende de un objeto que pueda deteriorarse, el metro se define utilizando la velocidad de la luz como referencia, esto es:. La distancia recorrida por la luz en el vacío absoluto en 1/299792458 de segundo.


Múltiplos y submúltiplos del metro.

Para expresar distancias más grandes y más pequeñas que el metro con mayor precisión, los múltiplos y submúltiplos del metro se establecieron mediante la adición de algunos prefijos griegos y latinos.
El valor de las unidades de diez en diez representan una simplicidad importante para trabajar con múltiplos y submúltiplos, funciona de la misma forma que nuestro sistema de numeración. Esto hace más fácil la conversión de unidades.

Estas unidades centrales se utilizan con mucha frecuencia, pero hay otras: es probable que haya oído hablar de la micra o micrómetro, utilizado para expresar el tamaño de los virus y las células. El micrómetro también es un submúltiplo del metro, es la milésima parte de un milímetro, por lo que es la millonésima parte de un metro.

Al medir, hay que luchar por la precisión, la claridad y el orden, hay que utilizar el dispositivo de medición adecuado a la precisión necesaria.
Tomar una medición errónea puede significar que debamos repetir una actividad de nuevo para mejorar la medida.

El metro es la unidad fundamental de longitud en el Sistema Internacional de Unidades (SI). Su definición se ha perfeccionado periódicamente para reflejar el creciente conocimiento de la metrología, por ejemplo. Desde 1983, se ha definido como "la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1/299, 792 458 de un segundo.

Múltiplos y Submúltiplos del Metro. conversiones explicadas en el video.



Veamos el siguiente cuadro de múltiplos y submúltiplos...

factor de
multiplicación
prefijo símbolo valor
10 24 yotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 000
10 21 zetta Z 1 000 000 000 000 000 000 000
10 18 exa E 1 000 000 000 000 000 000
10 15 peta P 1 000 000 000 000 000
10 12 tera T 1 000 000 000 000
10 9 giga G 1 000 000 000
10 6 mega M 1 000 000
10 3 kilo k 1 000
10 2 hecto h 100
10 1 deca da 10
10 -1 deci d 0.1
10 -2 centi c 0.01
10 -3 milli m 0.001
10 -6 micro µ 0.000 001
10 -9 nano n 0.000 000 001
10 -12 pico p 0.000 000 000 001
10 -15 femto f 0.000 000 000 000 001
10 -18 atto a 0.000 000 000 000 000 001
10 -21 zepto z 0.000 000 000 000 000 000 001
10 -24 yocto y 0.000 000 000 000 000 000 000 001

Regla de tres simple y proporciones. Ejercicios Resueltos

Regla de Tres Simple. proporciones.

En matemáticas, específicamente en la aritmética elemental y el álgebra elemental, dada una ecuación entre dos fracciones o expresiones racionales, se puede multiplicar para simplificar la ecuación o determinar el valor de una variable desconocida.

La regla de tres o regla de tres simple es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita (valor desconocido).

En la regla de tres se establece una relación de linealidad entre los valores involucrados.

En resumidas cuentas, la regla de tres es la operación de hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros tres.
La regla de tres más popular es la regla de tres simple directa, si bien resulta muy práctico y fundamental conocer la regla de tres simple inversa y la regla de tres compuesta.
Estas en realidad son de sencillo manejo y pueden utilizarse para la resolución de problemas cotidianos y de negocios comunes de manera efectiva.
Miremos el concepto importante de una razón en matemáticas y su relación con una proporción:

Se denomina razón al cociente entre dos números y se llama proporción a la igualdad de dos razones.
Los problemas en los que los elementos mantienen una relación proporcional directa o inversa son precisamente los que se resuelven mediante la regla de tres simple.

Recordemos!

La regla de tres es una operación que consiste en encontrar el cuarto término de una proporción, a la que solo se le conocen tres términos. La proporción es una igualdad de dos razones.
Puede ser simple cuando solamente intervienen en ella dos variables o compuesta cuando intervienen tres o más variables.
Toda regla de tres presenta una incógnita y una hipótesis. La hipótesis está constituida por los datos del problema que se conocen y la incógnita por el dato que se busca.De acuerdo a la relación con la incógnita, puede ser directa cuando los aumentos en una variable provocan aumento en la otra variable o inversa cuando los aumentos en una variable provocan disminución en la otra variable.

Mi profe Jorge explica con un video tutorial la mediante ejemplos.



Miremos una situación de regla de tres simple inversa.


El Porcentaje:

este puede considerarse una variante de la regla de tres; pero se trata de una cantidad que expresa un número de partes por cien unidades. Es una razón, es decir, la relación de una cantidad con respecto a otra multiplicada por 100.

De hecho cualquier proporción se puede convertir en un porcentaje si se la multiplica por 100, pero no puede darse la situación inversa, no todo porcentaje puede ser traducido a una proporción. A diferencia de las proporciones, los porcentajes pueden ser mayores a 100.

Las anteriores son las condiciones a estudiar para la regla de tres simple en matemáticas.

16.4.13

Minimo Comun Multiplo. Ejemplos

Entrada sobre el Mínimo Común Múltiplo de varios números.

El mínimo común múltiplo de dos o más números, es el número más pequeño, el cual se deja dividir de forma exacta por dichos números.

¿Cómo encontrar el mínimo común múltiplo de dos números? Veamos...


Ejemplo: Halla el mcm de 15 y 12...

En la aritmética y la teoría de números, el mínimo común múltiplo (también llamado el mínimo común múltiplo o menor múltiplo común) de dos enteros a y b, denotado generalmente por MCM, es el menor entero positivo que es divisible por a y b.

En forma simple!
El mcm es el número entero más pequeño que es divisible por cada uno de ellos.


Video sobre el mínimo Común Múltiplo Tutorial.




Veamos de forma más detallada...

Cómo encontrar el mínimo común múltiplo de dos números.
El mínimo común múltiplo de un grupo de números, es el número más pequeño que es múltiplo de todos los números. Por ejemplo, el MCM de 16 y 20 es 80; 80 es el número más pequeño que es tanto múltiplo de 16 y múltiplo de 20.

Si necesitamos el mcm de tres números, comenzamos por encontrar el mcm de los dos primeros. Luego tomamos ese resultado y lo relacionamos de la misma manera con el tercer número. Por ejemplo, para encontrar el MCM de 2, 3, y 5, comenzamos con MCM de (2, 3). Eso da 6. A continuación, buscamos el MCM de (6, 5) para obtener 30.

El LCM tiene un montón de usos. El más común es que, cada vez que sumamos o restamos fracciones, debemos tener el mismo denominador, y si no lo hacemos, es necesario convertir cada fracción a una fracción equivalente a fin de que las volvamos homogéneas. La mejor manera de hacerlo es encontrar el mínimo común denominador- que es sólo el mcm de los denominadores. Por ejemplo, para sumar 1/6 + 3/8, nos encontramos con el MCM de 6 y 8, que es 24, y convertirmos cada fracción para tener un denominador de 24, esto cambia el problema a 4/24 + 9/24. Entonces podemos simplemente sumar los numeradores y colocar el mismo denominador, que nos da 13/24.


Ejemplos sobre Mínimo Común Múltiplo.





Recordemos que los múltiplos comunes son los múltiplos que dos números tienen en común. Estos pueden ser útil cuando se trabaja no sólo con fracciones, también con proporciones.

ejemplo:

¿Cuáles son algunos múltiplos comunes de 2 y 3?

Múltiplos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24 ...
Los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 ...

Los múltiplos comunes de 2 y 3 incluyen al 6, 12, 18, y 24.

ejemplo:

¿Cuáles son algunos múltiplos comunes de 25 y 30?

Múltiplos de 25: 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250, 275, 300, 325 ...

Los múltiplos de 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330 ...

Los múltiplos comunes de 25 y 30 incluyen 150 y 300.



4.4.13

Diferencia de conjuntos. Ejercicios Resueltos

Sobre la Diferencia de dos conjuntos en matemáticas.

La diferencia entre dos conjuntos S y T se puede escribir S ∖ T, y significa el conjunto que consta de los elementos de S que no sean elementos de T


Por ejemplo, si S = {1,2,3} y T = {2,3,4}, entonces S ∖ T = {1}, mientras que T ∖ S = {4}.
Se puede ver inmediatamente que la diferncia de conjuntos no es conmutativa.


En esta entrada se explica cómo encontrar la diferencia de dos conjuntos. Vamos a empezar con una definición.

Definición:

Dado el conjunto A y B, se fija la diferencia de estos dos como:
A es el conjunto de todos los elementos de A, pero que esos elementos no pertenezcan al conjunto B.

Podemos también escribir la representación de la diferencia como: A - B


Ejemplo


Encuentra B - A

Tenga en cuenta que esto se refiere a los elementos de B que no están en A

Sea A = {1 naranja, 1 piña, 1 plátano, 1 manzana}

Sea B = {1 naranja, 1 albaricoque, 1 piña, 1 plátano, 1 mango, 1 manzana}

B - A = {1 albaricoque, 1 mango}


Diferencia de conjuntos. Ejercicios Resueltos.





Ejemplo


Encuentra A - B para los conjuntos a continuación:

B = {1, 2, 4, 6}

A = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 9}

Los que están en A que no están en B son 7, 8 y 9

A - B = {7, 8, 9}

Ejemplo



Encuentra B - A

A = {x / x es un número mayor que 6 y menor que 10}

B = {x / x es un número positivo menor que 15}

A = {7, 8, 9} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}

B - A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 14}


Las operaciones entre conjuntos. Diferencia de conjuntos







Vamos a establecer lo siguiente:
En este problema 5 - 2 = 3 podría demostrarse o interpretarse como sigue:
A cinco objetos le quitamos dos de ellos y nos quedan tres restantes. De la misma manera que nos encontramos con la diferencia de dos números, podemos ver la diferencia de dos conjuntos. La diferencia de dos conjuntos, escritas a - b es el conjunto de todos los elementos de A que no son elementos de B. La operación de diferencia, junto con la unión e intersección, es una operación de la teoría de conjuntos.

Para ver cómo la diferencia de dos conjuntos forma un nuevo conjunto, vamos a considerar los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Para ver la diferencia A - B de estos dos grupos, comenzamos por escribir todos los elementos de A, y luego quitar todos los elementos de A que también están como elementos de B.
Esto nos da que la diferencia de los conjuntos A - B = {1, 2}

3.4.13

Propiedad Conmutativa Ejercicios Resueltos

La propiedad conmutativa de la multiplicación y la suma.

Una operación binaria es conmutativa si cuando se cambia el orden de los operandos no cambia el resultado. Es una propiedad fundamental de las operaciones binarias y muchas pruebas matemáticas dependen de ello. La propiedad conmutativa de las operaciones simples tales como la multiplicación y la suma de los números, fue durante muchos años efecto de estudio y asume implícitamente que la propiedad no fue nombrado hasta el siglo 19, cuando las matemáticas comenzaron a formalizarse. Por el contrario, la división y la sustracción no son conmutativas.

La propiedad conmutativa (o ley conmutativa) es una propiedad asociada con operaciones binarias y funciones. De manera similar, si la propiedad conmutativa se mantiene para un par de elementos que están bajo una operación binaria determinada, entonces se dice que los dos elementos se pueden conmutan bajo la operación.

Propiedad conmutativa de la suma




La "Ley conmutativa" dice que usted puede intercambiar la posición de los números o términos y aún así obtener la misma respuesta.

Ejemplo:

a + b = b + a

O cuando hablamos de multiplicación:

a × b = b × a

Ejemplos con números

(2 + 4) + 5 = 6 + 5 = 11
Obtenemos la misma respuesta si lo realizamos de la siguiente forma:
2 + (4 + 5) = 2 + 9 = 11

Esto también en la multiplicación:
(3 x 4) x 5 = 12 × 5 = 60
Tiene la misma respuesta:
3 x (4 x 5) = 3 x 20 = 60

Video sobre la propiedad conmutativa


Es importante saber:

La ley conmutativa no funciona para la resta.
La ley conmutativa no trabaja para la división.

Cuando decimos que la adición es conmutativa sobre el conjunto de los números reales, queremos decir que a + b = b + a para todos los números reales a y b. La resta no es conmutativa sobre los números reales ya que no podemos decir que a - b = b - a, para todos los números reales a y b.

1.4.13

Interseccion de conjuntos ejercicios resueltos

La Intersección de Conjuntos.

Para las matemáticas, la intersección (denotada como ∩) de dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene todos los elementos de A que también pertenecen a B (o equivalentemente, todos los elementos de B que también pertenecen a A), pero no otros elementos.

Por ejemplo:
La intersección de los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es {2, 3}.

El número 9 no está en la intersección del conjunto de los números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} y el conjunto de números impares {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}.

La intersección de A, B, C, y D, por ejemplo, es A ∩ B ∩ C ∩ D = A ∩ (B ∩ (C ∩ D)). La Intersección es una operación asociativa, por lo que
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.

Si los conjuntos A y B son cerrados bajo complemento después de la intersección de A y B se puede escribir como el complemento de la unión de sus complementos, esto deriva fácilmente de las leyes de De Morgan:
A ∩ B = (Ac ∪ Bc) c

Intersección de conjuntos. Ejercicios



Repasando! Dados dos conjuntos A y B, la intersección es el conjunto que contiene elementos u objetos que pertenecen a A y a B al mismo tiempo
Escribimos A B C

Básicamente, nos encontramos con A B C mediante la búsqueda de todos los elementos que A y B tienen en común. A continuación lo ilustramos con ejemplos

Ejemplo 01.

Sea A = {1 naranja, 1 piña, 1 plátano, 1 manzana} y
B = {1 cuchara, 1 naranja, 1 cuchillo, 1 tenedor, 1 manzana}
A Ç B = {1 naranja, 1 manzana}

Ejemplo 02.

Encuentre la intersección de A y B, y luego hacer un diagrama de Venn.

A = {b, 1, 2, 4, 6} y B = {4, a, b, c, d, f}
A Ç B = {4, b}

la Intersección de Conjuntos.




Ejemplo 03.

A = {x / x es un número mayor que 4 y menor que 8}

B = {x / x es un número positivo menor que 7}

A = {5, 6, 7} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A Ç B = {5, 6}

O A B C = {x / x es un número mayor que 4 y menor que 7}

Ejemplo 04.


A = {x / x es un país en Asia}

B = {x / x es un país de África}

Dado que ninguno de los países de Asia y África son los mismos, la intersección es el conjunto vacío, y se representa:

A Ç B = {}

Teoria de Conjuntos Ejercicios Resueltos

Teoría de Conjuntos. Ejercicios.

La teoría de conjuntos es la rama de las matemáticas que estudia los conjuntos, que son colecciones de objetos. Aunque cualquier tipo de objeto se puede recoger en un conjunto, la teoría de conjuntos se aplica con mayor frecuencia a los objetos que son relevantes para las matemáticas. El lenguaje de la teoría de conjuntos puede ser utilizado en las definiciones de casi todos los objetos matemáticos.

El estudio moderno de la teoría de conjuntos fue iniciada por Georg Cantor y Dedekind Richard en 1870. Después del descubrimiento de las paradojas de la teoría de conjuntos, numerosos sistemas axiomáticos se propusieron en el siglo XX, de los cuales los axiomas de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección, son los más conocidos.

La teoría de conjuntos se emplea comúnmente como un sistema fundamental para las matemáticas, particularmente en la forma de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección. Más allá de su papel fundacional, la teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas en sí misma, con una comunidad de investigación activa. La investigación contemporánea en la teoría de conjuntos incluye una colección diversa de temas, que van desde la estructura de la recta numérica real para el estudio de la consistencia de los grandes cardinales.

La teoría de conjuntos se inicia con una relación binaria fundamental entre un objeto o y un conjunto A. Si o es un miembro (o elemento) de A, o ∈ A. Puesto que los conjuntos son objetos, la relación de pertenencia se puede relacionar con conjuntos también.



La Unión de los conjuntos A y B, se denotado A ∪ B, es el conjunto de todos los objetos que son miembros de A, o B, o ambos. La unión de {1, 2, 3} y
{ 3, 4} es el conjunto {1, 2, 3, 4}.

la Intersección de los conjuntos A y B, denotada A ∩ B, es el conjunto de todos los objetos que son miembros de A y B. La intersección de {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es el conjunto {2, 3}.

Diferencia simétrica de los conjuntos A y B, denotado A △ B o A ⊖ B,
ejemplo, para los conjuntos {1,2,3} y {2,3,4}, el conjunto diferencia simétrica es {1,4}. Es la diferencia de conjuntos de la unión y la intersección, (A ∪ B) \ (A ∩ B) o (A \ B) ∪ (B \ A).

Producto cartesiano de A y B, denotada A × B, es el conjunto cuyos miembros son todos los posibles pares ordenados (a, b). El producto cartesiano de {1, 2} y {rojo, blanco} es {(1, rojo), (1, blanco), (2, rojo), (2, blanco)}.

El Conjunto potencia de un conjunto A es el conjunto cuyos miembros son todos los posibles subconjuntos de A. Por ejemplo, el conjunto potencia de {1, 2} es {{}, {1}, {2}, {1,2}}.



La teoría de conjuntos se refiere a la noción de un conjunto, esencialmente una colección de objetos que llamamos elementos. Debido a su generalidad, la teoría de conjuntos es la base de casi todas las demás partes de las matemáticas.

Union de Conjuntos Ejercicios Resueltos

La unión de Conjuntos.

En la teoría de conjuntos, la unión (denotada por ∪) de una colección de conjuntos es el conjunto de todos los elementos de la colección. Es una de las operaciones fundamentales a través de la cual los conjuntos pueden ser relacionadas entre sí.


Para referirse a un solo elemento de la variable "x", entonces podemos decir que x es un miembro de la unión si se trata de un elemento presente en el conjunto A o en el conjunto B, o ambos.
Los conjuntos no puede tener elementos duplicados, así que la unión de los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es {1, 2, 3, 4}, nota que el 2 aunque se repite, sólo se escribe una sola vez.
Observa: El número 9 no está contenido en la unión del conjunto de los números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} y el conjunto de números pares {2, 4, 6, 8, 10, ...}, porque 9 no es ni primo ni siquiera.


La unión es una operación asociativa, es decir,
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.

Las operaciones se pueden realizar en cualquier orden, y los paréntesis puede omitirse sin ambigüedad (es decir, cualquiera de las notaciones puede expresarse de manera equivalente, así (A ∪ B ∪ C). De manera similar, la unión es conmutativa, por lo que los conjuntos se pueden escribir en cualquier orden.
El conjunto vacío es un elemento de identidad para la operación de unión. Esto es, A ∪ ∅ = A, para cualquier conjunto A.
Estos hechos se derivan de hechos análogos sobre disyunción lógica.

Unión de conjuntos. Ejercicios




Podemos tomar la unión de varios grupos al mismo tiempo. Por ejemplo, la unión de tres conjuntos A, B, y C contiene todos los elementos de A, todos los elementos de B, y todos los elementos de C, y nada más. Por lo tanto, x es un elemento de A ∪ B ∪ C si y sólo si x está en al menos uno de los conjuntos A, B, y C.
El conjunto de la unión es un conjunto finito.

Ejercicios resueltos de Unión de Conjuntos



recuerda: la definición de la unión de conjuntos
La combinación de todos los elementos de cualquiera de los dos conjuntos se llama la unión de los conjuntos.
la Unión de dos conjuntos A y B se obtiene mediante la combinación de todos los miembros de los conjuntos y se representa como A ∪ B.

Más información sobre la unión de conjuntos
En la unión de los conjuntos, el elemento se escribe sólo una vez, incluso si existen en ambos conjuntos.

La Unión de dos conjuntos es conmutativa, es decir, si A y B son dos conjuntos, entonces A ∪ B = B ∪ A

La Unión de conjuntos es también asociativa. Si A, B, y C son tres conjuntos, entonces A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

Ejemplo de unión de conjuntos

Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {2, 4, 6}, entonces la unión de estos conjuntos es A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.