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Productos Notables Ejercicios Resueltos

Productos Notables Ejercicios Resueltos

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

DEFINICIÓN DE PRODUCTO Y PRODUCTO NOTABLE

Un producto es el resultado de multiplicar dos o más números. Los números que se multiplican se llaman factores o divisores del producto. Se llaman productos notables (o productos especiales) a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación, como ya hemos dicho.

En álgebra, los productos notables son expresiones que aparecen con frecuencia y se pueden simplificar utilizando fórmulas específicas. Saber cómo identificar y simplificar estos productos notables puede ahorrar tiempo y esfuerzo al resolver ecuaciones algebraicas más complejas.

Tipos de productos notables

Hay varios tipos de productos notables que se utilizan con frecuencia en álgebra, incluyendo:

  1. Cuadrado de un binomio: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
  2. Diferencia de cuadrados: (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
  3. Producto de suma por diferencia: (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
  4. Cubo de un binomio: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
  5. Suma o diferencia de cubos: (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 o (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3

Ejercicios resueltos

  1. Simplificar la expresión (x + 2)^2: (x + 2)^2 = x^2 + 2(x)(2) + 2^2 = x^2 + 4x + 4

  2. Simplificar la expresión (3a - 2b)^2: (3a - 2b)^2 = (3a)^2 - 2(3a)(2b) + (2b)^2 = 9a^2 - 12ab + 4b^2

  3. Simplificar la expresión (x + 5)(x - 5): (x + 5)(x - 5) = x^2 - 5x + 5x - 25 = x^2 - 25

  4. Simplificar la expresión (2x + 3)(2x - 3): (2x + 3)(2x - 3) = (2x)^2 - (3)^2 = 4x^2 - 9

  5. Simplificar la expresión (a + b + c)^2: (a + b + c)^2 = a^2 + 2ab + 2ac + b^2 + 2bc + c^2

  6. Simplificar la expresión (a - b)^3: (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

  7. Simplificar la expresión (x + 2)(x^2 - 2x + 4): (x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + 4x + 8 = x^3 + 8

  8. Simplificar la expresión (3x + 1)(9x^2 - 3x + 4): (3x + 1)(9x^2 - 3x + 4) = 27x^3 + 9x^2 + 12x - 9x^2 + 3x - 4 = 27x^3 + 15x - 4


Tutorial para descubrir el paso a paso para resolver ejercicios:



Aplicaciones de producto notable

Para aplicar estos productos notables, solo necesitas identificar qué tipo de expresión algebraica tienes y aplicar la fórmula correspondiente. Veamos algunos ejemplos:

Ejercicio 1: Multiplicación de un binomio por un trinomio. 

Factoriza completamente la expresión 3x^2 - 6x - 45.

Solución: Podemos ver que el primer término de esta expresión es el cuadrado de x, por lo que podemos escribir 3x^2 como (x + x)(3). Luego, el último término es 45, que podemos escribir como (5)(9). Ahora, podemos aplicar el producto de la suma por la diferencia para factorizar el trinomio del medio: -6x = -(3)(2x) = -(3)(x + x). Juntando todo, tenemos: 3x^2 - 6x - 45 = (x + x)(3) - (x + x)(3)(5) = (x + x)(3 - 15)(x + x) = -12(x + x)^2

Ejercicio 2: Diferencia de cuadrados. 

Factoriza completamente la expresión x^4 - 16.

Solución: Podemos ver que esta expresión se puede escribir como la diferencia de dos cuadrados, donde a = x^2 y b = 4: x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 + 4)(x^2 - 4) = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)


Ejercicio 3: Cuadrado de un binomio. 

Resuelve la ecuación x^2 - 6x + 9 = 0.

Solución: Podemos ver que el primer y el último término de esta expresión son cuadrados perfectos, por lo que podemos escribir: x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 Ahora podemos ver que esta ecuación es una ecuación de segundo grado, por lo que podemos aplicar la fórmula general para resolverla: (x - 3)^2 = 0 x - 3 = 0 x = 3