SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS - Ejercicios resueltos

OPERACIONES DE SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

SUMA DE POLINOMIOS

En álgebra, para sumar dos o más polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado, el resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0 y se los puede ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado. Esto para la suma vertical.

Podemos sumar de forma horizontal aplicando lo que se conoce como reducción de términos semejantes.

RESTA DE POLINOMIOS

Es importante notar que la resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

También podemos restar polinomios escribiendo el opuesto de uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan reducir como semejantes. Esto quiere decir que la resta se puede transformarse en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio. Veamos los ejemplos.

SUMA DE POLINOMIOS - Ejercicio resuelto 01

RESTA DE POLINOMIOS - Ejercicios resueltos

A continuación tenemos al profe Jorge en una explicación para restar polinomios de forma sencilla.
Ejercicios resueltos para practicar y reforzar.

Suma de Polinomios - Ejercicios Resueltos

Más ejercicios resueltos para practicar y reforzar.

Resta de Polinomios - Ejercicios

Otros ejercicios y ejemplos para comprender la operación de resta en los polinomios. 
Ejercicios de matemáticas y álgebra.

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LENGUAJE ALGEBRAICO - Ejercicios Resueltos

LENGUAJE ALGEBRAICO - MATEMÁTICAS

TRADUCCIÓN DE LENGUAJE ALGEBRAICO

El lenguaje algebraico nos permite expresar situaciones cotidianas en símbolos matemáticos, esto para expresar situaciones de forma más sencilla.

El Lenguaje Algebraico: expresa la información mediante operaciones en las que aparecen números y letras.

EJEMPLOS:

1. El doble de un número es 2x
2. El triple de un número es 3x
3. Un número disminuido en nueve es x-9

CARACTERÍSTICAS DEL LENGUAJE ALGEBRAICO

Debemos saber que el lenguaje algebraico es más conciso que el lenguaje numérico, esto quiere decir que se pueden expresar los enunciados de una forma más breve que cuando se utiliza el lenguaje numérico.

Es de notar que el lenguaje algebraico nos permite generalizar de forma muy práctica y ésto es porque dicho lenguaje permite expresar números desconocidos y operar con ellos.

Lenguaje algebraico fácil y rápido

Ejercicios prácticos y fáciles de entender como introducción al álgebra elemental.

Traducción de lenguaje verbal a lenguaje algebraico

Ejercicios resueltos para intercambiar expresiones entre el lenguaje verbal y el lenguaje algebraico.

Matemáticas - Lenguaje algebraico

A continuación podemos reforzar la importancia y aplicación del lenguaje algebraico dentro de las matemáticas.

Lenguaje Algebraico

Aspectos generales y útiles acerca de éste lenguaje; ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso.

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REPRESENTACION DE NUMEROS RACIONALES EN LA RECTA - Ejemplos

REPRESENTACIÓN EN LA RECTA DE LOS NÚMEROS RACIONALES

UBICACIÓN EN LA RECTA DE LOS RACIONALES.

Para ubicar racionales en la recta, se puede dividir el entero en tantas partes como indica el denominador y tomas las que indica el numerador.

Esto es que un número racional se se puede escribir de muchas formas utilizando fracciones equivalentes a la dada, pero también se puede expresar como número decimal; esto facilita la ubicación del racional en la recta numérica.

Veamos a continuación una serie de vídeos para entender los pasos a seguir y trabajar de forma correcta.

LOS NÚMEROS RACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA - FRACCIONES EN LA RECTA

Ejemplos de cómo ubicar números fraccionarios y por consiguiente números racionales dentro de la recta numérica. Ejemplos desarrollados paso por paso.

Representación gráfica de un número racional

A continuación notamos la representación de un número racional para colocarlo de forma correcta en la recta. Explicación detallada y sistemática de los ejemplos.

Ubicación de números fraccionarios sobre la recta numérica

Al estudiar la ubicación de los fraccionarios, ésto nos permite ubicar de forma sencilla los racionales de la misma forma, veamos los ejemplos ilustrativos.

Luego podemos practicar lo aprendido para reforzar la técnica de ubicación.

Cómo ubicar en la recta numérica fracciones y números decimales. 

Cuando trabajamos con los fraccionarios y con los números decimales, podemos comprender de una forma muy precisa la forma de ubicar gráficamente números racionales, en el siguiente vídeo podemos trabajar con lo mencionado anteriormente.

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CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. Ejercicios Resueltos

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

En ésta entrada veremos aspectos de divisibilidad muy prácticos para trabajar en matemáticas.

Para saber si un número es divisible por otro, es suficiente dividir el primero por el segundo y si la división es exacta, lo será de lo contrario no lo será.

TÉCNICAS DE LA DIVISIBILIDAD

Sin embargo es posible saber o conocer si un número es divisible por otro recordando los criterios de divisibilidad. Vamos a mirar algunos de los más sencillos que podemos utilizarlos.

1. Divisibilidad por 2: Un número es divisible por dos si su última cifra es un número par
2. Divisibilidad por 3: Un número es divisible por tres si al sumar sus cifras obtenemos un múltiplo de tres
3. Divisibilidad por 5: Es uno de los más fáciles; un número es divisible por cinco si termina en cero o en cinco
4. Divisibilidad por 6: Un número es divisible por seis si la suma de sus cifras es múltiplo de tres y acaba en cifra par
5. Divisibilidad por 10: Es el caso más fácil; un número es divisible por 10 si termina en cero

Criterios de divisibilidad en vídeo

La explicación siguiente detalla las técnicas y los criterios a recordar para aplicar la divisibilidad de varios números.

(Divisibilidad) - Criterios de Divisibilidad 2, 3, 5, 7, 11, 10

A continuación se presenta una explicación detallada para manejar de forma correcta los criterios de divisibilidad de varios números.

Criterios de divisibilidad de 2,3,5,7,11 y 13

Encontramos más ejemplos para recordar los criterios de divisibilidad y ponerlos en práctica. En el vídeo estudiamos la división por números como el dos, el tres, el cinco, el siete,el once y el trece.

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Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

Derivadas: Funciones exponenciales y logarítmicas

Si usted no está familiarizado con las funciones exponenciales y logarítmicas es posible que desee consultar las entradas que están disponibles en éste blog.

Es posible que haya visto que hay dos notaciones popularmente utilizadas para los logaritmos naturales, log_e y ln (logaritmo natural). Estos son sólo dos formas diferentes de escribir la misma cosa, por lo que

log_e x ≡ ln x. En esta entrada vamos a utilizar estas dos notaciones.

Los resultados básicos son:

Podemos utilizar estos resultados y las reglas que hemos aprendido de diferenciar las funciones

que involucran exponenciales y logaritmos.

Ejercicio sobre derivación logarítmica

Veamos algunos ejemplos;

Diferenciar log_e (x² + 3x + 1).

solución

Solucionamos esto usando la regla de la cadena y nuestro conocimiento de la derivada de log_ex.

Solución

Esta es una aplicación de la regla de la cadena, junto con nuestro conocimiento de la derivada de e^x.

Reglas para derivar funciones exponenciales

Una vez más, utilizamos nuestro conocimiento de la derivada de e^x junto con la regla de la cadena para resolver el siguiente ejercicio.

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ÁREA DEL PENTÁGONO ejercicios resueltos

ÁREA DE UN PENTÁGONO ejercicios resueltos.

¿Cómo podríamos hallar el área de un pentágono regular?

Damos solución a ésta pregunta en los próximos vídeos explicativos, antes podemos discutir algunos conceptos.

El área de un pentágono es la cantidad de espacio que ocupa el pentágono. El Pentágono se define como un polígono que tiene 5 lados los cuales son iguales. Los 5 ángulos presentes en el Pentágono también son iguales. Un pentágono puede ser dividido en 5 triángulos semejantes. La medida de cada ángulo interno de un pentágono regular es 108 grados.

El área de un pentágono se puede calcular usando la fórmula, A = 1/2 Pxa, donde A es el área del pentágono, P es el perímetro del pentágono y a es la apotema.

En el siguiente vídeo podemos estudiar de manera general la forma de calcular el área de cualquier polígono regular, incluyendo un pentágono regular; hablaremos del perímetro y de la apotema, elementos importantes para el cálculo de las áreas en éstas figuras geométricas:

Área de un polígono regular

Área polígono regular

En el siguiente vídeo hablaremos primero de algunos aspectos teoricos y conceptos importantes para abordar el tema de los pentágonos regulares y los polígonos en general:

En el siguiente vídeo explicamos detalles de un polígono regular, conceptos

sobre el perímetro y el apotema; además se presenta la solución de dos

pentágonos y de un hexágono.

Área de un pentágono

Área de un pentágono regular

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ÁREA DEL HEPTÁGONO ejercicios resueltos

ÁREA DEL HEPTÁGONO - Ejercicios Resueltos.

Un heptágono regular es una figura de siete lados cerrados en el que todas las longitudes de los lados son iguales y todos los ángulos interiores son los mismos, es decir son congruentes.

Si conoce la apotema (la distancia perpendicular desde el centro a un lado) y la longitud de un lado, en primer lugar determina el perímetro multiplicando la longitud del lado por 7, donde 7 es el número de lados.

A es la longitud de la apotema
P es el perímetro.

Si P es el perímetro y A es el apotema, El área está dada por:

Área = ½ PA

El área de un heptágono se puede encontrar en diferentes formas. Podemos utilizar diferentes fórmulas en función de los datos que tenemos, ésto cuando el heptágono es regular.

Caso (i) Cuando tenemos la longitud del lado, s, el área de cualquier polígono de n lados está dada por,

donde la función tangente se calcula siempre en grados. Poniendo n = 7, se obtiene el área de heptágono regular con longitud de lado s.

Caso (ii) Cuando tenemos la apotema 'a' el área de un polígono viene dada por:

donde n es el número de lados del polígono. Si es un heptágono n = 7

Caso (iii) Cuando se da un radio "r" (Radio de un polígono regular es una distancia desde el centro hasta cualquiera de los vértices), entonces el área de un polígono viene dada por

donde n es el número de lados de un polígono. Como n = 7, se obtiene el área de heptágono regular con radio r.

Perímetro y área de un heptágono

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ÁREA DEL HEXÁGONO ejercicios resueltos

ÁREA DEL HEXÁGONO - Ejercicios Resueltos.

Un hexágono es un polígono que tiene seis lados y seis ángulos. Los hexágonos regulares se componen de seis triángulos equiláteros. Hay una variedad de maneras de calcular el área de un hexágono, ya sea un hexágono irregular o un hexágono regular. Si está interesado en saber cómo calcular el área de un hexágono, le recomiendo los siguientes vídeos.

La fórmula para encontrar el área de un hexágono se deriva de la fórmula de encontrar el área de un triángulo equilátero.

La fórmula para encontrar el área de un hexágono es la siguiente:

Área= (3√3 s2)/ 2 donde s es la longitud de un lado del hexágono regular.

Area Hexagono Regular en función del Apotema

veamos la forma de calcular el area de un hexágono si tenemos el apotema. En el vídeo encontramos la explicación detallada:

Área de un polígono regular

Con base en el área del tringulo podemos encontrar el área de un hexágono, recordemos que un hexágono regular tiene seis triangulos cuya medida de sus lados son iguales.

Esto se presenta con mayor claridad en el siguiente tutorial:

Cómo calcular el área de un hexágono regular

Una forma de encontrar el área de un hexágono regular es dividiendo la figura en triángulos equiláteros. También es necesario utilizar un apotema, que es un segmento que une el centro de un polígono regular con el punto medio de cualquier lado y que es perpendicular a ese lado.

El siguiente vídeo muestra el hexágono con sus diagonales y una apotema; también lo concerniente al área y al perímetro.

Área y perímetro hexágono

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NÚMEROS REALES - Ejemplos

NÚMEROS REALES - Ejemplos.

Un número real es un valor que representa una cantidad a lo largo de una línea continua. Los números reales incluyen todos los números racionales, tales como el número entero -5 y la fracción 4/3, y todos los números irracionales como √ 2 =1,41421356 ... la raíz cuadrada de dos, un número algebraico irracional y π =3,14159265 ... , un número trascendental).

Los números reales pueden ser considerados como puntos en una línea infinitamente larga llamada la línea de números o la línea real, donde los puntos correspondientes a los números enteros son equidistantes. Cualquier número real puede ser determinado por una representación decimal posiblemente infinita, como la de 8.632, donde cada dígito consecutivo se mide en unidades de una décima parte del tamaño de la anterior. La línea real puede ser mirada como una parte del plano complejo, y correspondientemente, los números complejos incluyen números reales como un caso especial.



Un número real puede ser racional o irracional, ya sea algebraico o trascendental, y ya sea positivo, negativo o cero. Los números reales se utilizan para medir cantidades continuas. Pueden ser expresados por las representaciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha del punto decimal, los cuales se representan a menudo en la misma forma que 324.823122147 ... . Los tres puntos al final indican que la serie continúa.

Los números reales comprenden un campo, con la adición y la multiplicación, así como la división por números distintos de cero, que pueden ser totalmente ordenados en una línea numérica de una manera compatible con la suma y la multiplicación.

Veamos algunas operaciones básicas con los números reales:

Propiedades fundamentales:

1. Propiedad conmutativa de la suma
a + b = b + a 2 + 3 = 3 + 2

2. Propiedad conmutativa de la multiplicación
a • b = b • a 2 • (3) = 3 • (2)

3. Propiedad asociativa de la suma
a + (b + c) = (a + b) + c 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4

4. Propiedad asociativa de la multiplicación
a • (b • c) = (a • b) • c 2 • (3 • 4) = (2 • 3) • 4

5. Propiedad distributiva
a • (b + c) = a • b + a • c 2 • (3 + 4) = 2 • 3 + 2 • 4

6. Aditivo: Propiedad de identidad
a + 0 = a 3 + 0 = 3

7. Multiplicación: propiedad Identidad
a • 1 = a 3 • 1 = 3

8. Aditivo: Propiedad Inversa
a + (-a) = 0 3 + (-3) = 0

9. Propiedad anulativa
a • 0 = 0 5 • 0 = 0

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NÚMEROS NO REALES - Ejemplos

NÚMEROS NO REALES - Ejemplos.

Siempre hablamos de los números reales, pero tenemos otro conjunto de números que no pertenecen a los números reales, podemos llamarlos los números NO reales, veamos de quiénes estamos hablando:

Un número imaginario es un número que puede ser escrito como un número real multiplicado por la unidad imaginaria i, que se define por su propiedad.

Un número imaginario tiene un cuadrado negativo o cero. Por ejemplo, 5i es un número imaginario, y su cuadrado es -25.

Un número imaginario se puede añadir a un número real para formar un número complejo de la forma a + bi, donde a y bi son llamados, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria del número complejo. Por lo tanto, los números imaginarios pueden ser considerados como números complejos cuya parte real es cero. Hoy en día tienen una gran variedad de aplicaciones esenciales y concretas de la ciencia y la ingeniería.





Un número imaginario no existe, pero sin embargo puede ser útil en ciertas aplicaciones.

Recordemos que un número imaginario es cualquier número que es el producto de un número real y la raíz cuadrada de menos uno (-1). La raíz cuadrada de -1 es la "unidad" del conjunto de los números imaginarios, y se conoce como "i". Como sabemos, los números negativos no tienen raíz cuadrada, por lo que la raíz cuadrada de un número negativo es "irreal" o "imaginaria". Como un ejemplo de un número imaginario, la raíz cuadrada de -4 es 2i.

También hay "números complejos", que son la suma de un número real y un número imaginario. Por ejemplo 3 + 2i.

Veamos algunas operaciones:

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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS - Ejercicios Resueltos

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS - Ejercicios Resueltos.

Cuando tenemos que calcular la distancia entre dos puntos que se encuentran en un plano cartesiano, lo podemos hacer utilizando la fórmula de la distancia que utiliza las coordenadas de los puntos establecidos.

La distancia siempre debe ser un valor positivo, por tanto NO importa el orden en que escojamos los puntos.

La fórmula de la distancia se puede utilizar para calcular la distancia entre dos puntos P y Q en el plano, en términos de sus coordenadas (x1, y1) y (x2, y2).

EJERCICIO RESUELTO.

La distancia entre los puntos P (1, 6) y Q (5, -4) se puede calcular de la siguiente manera:

El anterior ejercicio se desarrollo utilizando la siguiente fórmula:

Esta es precisamente la fórmula de la distancia entre dos puntos y debajo de la fórmula presentamos un plano cartesiano con dos puntos y una línea que los une, es precisamente esa línea la que conocemos como la distancia. En el siguiente vídeo se pueden ver éstos conceptos con más detalle:

PUNTO MEDIO

A veces es necesario encontrar el punto que se encuentra exactamente entre dos puntos. Este punto se llama el punto medio. Por definición, un punto medio de un segmento es el punto en que el segmento de línea divide el segmento en dos segmentos congruentes.

Si los puntos extremos de un segmento de recta son (x1, y1) y (x2, y2), entonces el punto medio del segmento de recta se puede calcular como muestra el siguiente vídeo:

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Fórmula de la Distancia - EJERCICIOS RESUELTOS

FÓRMULA DE LA DISTANCIA Y EJERCICIOS RESUELTOS.

Si tenemos dos puntos cualesquiera en un plano cartesiano, siempre podemos hallar la distancia entre ellos sin tener que medir con una regla, ésto es utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos.

La fórmula de la distancia se deriva del teorema de Pitágoras. Para calcular la distancia entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2), todo lo que tienes que hacer es utilizar las coordenadas de estos pares ordenados y aplicar la fórmula que se muestra a continuación:

La fórmula anterior se puede utilizar para calcular la distancia entre dos puntos cuando se conocen las coordenadas de los puntos. Esta distancia es también la longitud del segmento de línea que une los dos puntos.

Recuerda que esta fórmula no es más que un uso del teorema de Pitágoras.

Podemos complementar lo anterior observando el siguiente vídeo:

Utilizando el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la hipotenusa, que es la línea imaginaria entre nuestros dos puntos. No importa cual es el punto (x1, y1) y cuál es (x2, y2). La idea clave es que sólo se preocupe por el cambio en x, y el cambio en y. Vamos a usar cada una de estas mediciones como el lado de un triángulo, donde la hipotenusa es la distancia entre los dos puntos.

Recuerde que se trata de distancias, que son positivas. La distancia es la misma, pasando del punto 1 al punto 2, o viceversa. Por lo tanto, sólo tiene que utilizar la distancia positiva entre los dos puntos. Veamos el tutorial:

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PENDIENTE DE LA RECTA - Ejercicios Resueltos

PENDIENTE DE LA RECTA - Ejercicios Resueltos

La inclinación o pendiente de una recta es un número que describe la dirección y la inclinación de la línea. La pendiente a menudo se denota con la letra m.

La dirección de una línea puede estar aumentando, disminuyendo, de forma horizontal o vertical.

Una línea es creciente si sube hacia la derecha, luego La pendiente es positiva, es decir, m> 0.

Una línea está decreciendo si cae hacia la derecha luego su pendiente es negativa, es decir, m <0.

Si una línea es horizontal significa que la pendiente es cero. Esta es una función constante.

Si una línea es vertical significa que la pendiente no está definida.

La inclinación o pendiente de una recta se mide por el valor absoluto de la pendiente. Una pendiente con un mayor valor absoluto indica una pendiente más pronunciada.

Para encontrar la pendiente de una línea recta, se divide la diferencia de las coordenadas en el eje y por la diferencia de las coordenadas en el eje x. Esto tal como se muestra en la siguiente figura:

Ahora tenemos más conceptos generales sobre la pendiente o inclinación de una recta:



La pendiente de la línea recta es un número que mide su inclinación, denotada generalmente por la letra m como ya hemos mencionado. Es el cambio en y para un cambio en x a lo largo de la línea.



Cuando la pendiente de la recta es 0, ya sabes que la línea es horizontal y cuando la línea es vertical la pendiente de una recta es indefinida.

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FUNCIONES POLINOMICAS - Ejercicios

FUNCIONES POLINOMICAS - Ejercicios y Ejemplos.

Un polinomio es una expresión construida a partir de variables y constantes (por lo general los números, pero no siempre), utilizando únicamente las operaciones de suma, resta, multiplicación y exponentes enteros no negativos. Sin embargo, se acepta la división por una constante, debido a que el inverso multiplicativo de una constante diferente de cero también es una constante.

Los polinomios son la clase más simple de expresiones matemáticas.

Los Polinomios aparecen en una amplia variedad de áreas de matemáticas y ciencias. Por ejemplo, se utilizan para formar ecuaciones polinómicas, que codifican una amplia gama de problemas, expresan problemas de palabras elementales en problemas complicados en las ciencias, se utilizan para definir las funciones polinómicas que aparecen en los ajustes que van desde la química básica y la física a la economía y las ciencias sociales, se utilizan en el cálculo y el análisis numérico de otras funciones.

Veamos los conceptos generales de éstas funciones:

FUNCIONES POLINÓMICAS Y SUS GRÁFICAS:

Tenemos un ejemplo sencillo para introducirnos en éstas funciones:

¿Cuál es el grado y los principales coeficientes de los siguientes polinomios?

(i) 10x³ + 4x² + 3x + 1 y (ii) 2x⁴ + 3x + 5

Para (i), vemos que el grado es 3 y el coeficiente principal es 10.

Para (ii), se observa que el grado es 4 y el coeficiente principal es 2.

En términos generales las funciones polinómicas son funciones que tienen a x como una variable de entrada, compuesta por varios términos, cada término se compone de dos factores, el primero es un coeficiente de número real, y el segundo es x elevado a un entero no negativo (exponente). En realidad, es algo más complicado que eso, pero podemos despejar las dudas con el siguiente vídeo:



Una función polinómica es una función tal como una ecuación cuadrática, cúbica, de grado cuatro, y así sucesivamente, con exponentes enteros no negativos para la variable x. Ahora veamos cómo graficar una de éstas funciones:

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REGLA DE LA CADENA - Ejercicios resueltos

REGLA DE LA CADENA - Ejercicios resueltos.

La regla de la cadena es una fórmula para el cálculo de la derivada de la composición de dos o más funciones. Es decir, si y es una función y u es una función, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la función compuesta y ∘ u en términos de las derivadas de y y u. Por ejemplo, la regla de la cadena para (y ∘ u) (x) es

Si bien siempre es posible aplicar directamente la definición de la derivada para calcular la derivada de una función compuesta, esto es por lo general muy difícil. La utilidad de la regla de la cadena es que convierte una derivada complicada en varias derivadas fáciles.

En el siguiente tutorial, se deriva la regla de la cadena. Podemos mirar cómo se resuelven varios ejemplos usando la regla de la cadena. Después de trabajar a través de estos materiales, el estudiante debe ser capaz de utilizar la regla de la cadena para diferenciar ciertas funciones.




Si f es una función de g y g es una función de x, a continuación, la derivada de f con respecto a x es igual a la derivada de f (g) con respecto a g por la derivada de g (x) con respecto a x ".

Por lo tanto de acuerdo con la regla de la cadena, la derivada de

(x2+ 1)5 es 5(x2+ 1)4· 2x.

Para f(x)= (x2+ 1)5 , x2+ 1 está dentro de la quinta potencia. Nos tomamos la derivada del exterior al interior. Cuando tomamos la derivada exterior, no cambiamos lo que hay dentro. Luego, multiplicamos por la derivada de lo que hay dentro o lo que llamamos derivada interna.

La regla de la cadena rara vez se explica con claridad y es esencial. Esta regla nos dice lo que es la derivada de una función compuesta.

Te recomiendo que revises el siguiente vídeo sobre funciones compuestas.

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DERIVADA IMPLICITA- Ejercicios Resueltos

DERIVADA IMPLICITA- Ejercicios Resueltos.

Inicialmente hablamos de las derivadas en general, en esta entrada trataremos el caso particular cuando la variable dependiente NO está despejada debido a que se repite dentro de la función y no es posible hacerlo; en éste caso entra lo que se conoce como derivada implícita.

Podemos encontrar funciones de todo tipo que deben desarrollarse de forma implícita, me refiero a funciones polinómicas, trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etc.

En muchos ejemplos, especialmente las derivadas de las ecuaciones diferenciales, las variables involucradas no están vinculados entre sí de una manera explícita. La mayoría de las veces, están unidas a través de una fórmula implícita, como F (x, y) = 0. Una vez que x es fijo, podemos encontrar y mediante cálculos numéricos. La pregunta es ¿cuál es la derivada al menos en un cierto punto? El método de diferenciación implícita responde a esta preocupación. Vamos a ilustrar esto con el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Halla la ecuación de la recta tangente a la elips

25 x² + y² = 109

A continuación, se diferencian para encontrar la pendiente de la recta tangente.

Con el uso de las técnicas de diferenciación, obtenemos:

De forma equivalen nos queda: 3y + 50 x = 109.

Veamos el siguiente ejemplo ilustrativo en vídeo:




EJERCICIO RESUELTO 1.

x³ + y³ = 4

D ( x³ + y³ ) = D ( 4 ) ,

D ( x³ ) + D ( y³ ) = D ( 4 ) ,

3x² + 3y² y' = 0 ,

3y² y' = - 3x² ,

EJERCICIO RESUELTO 2.

Ahora podemos mirar ejemplos que involucran funciones trigonométricas, echemos un vistazo para una mejor comprensión.

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INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO - Ejercicios Resueltos.

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO - Ejercicios Resueltos.

Resolver un problema de desigualdad o de inecuación con valor absoluto es similar a la solución de una ecuación de valor absoluto.

Hay muchas oportunidades para cometer errores con las desigualdades de valor absoluto, así que vamos a cubrir este tema poco a poco y mirar algunos trucos útiles a lo largo del camino.

Dos propiedades útiles relativas a las desigualdades son las siguientes:

EJERCICIO RESUELTO 1.

Resolver | 2x + 3 | <6.

Como el signo de la desigualdad es "menor que", el primer paso es despejar el valor absoluto de acuerdo con el patrón o la primera propiedad que miramos en la parte superior de la entrada.

| 2x + 3 | <6

-6 <2x + 3 <6

-6-3 <2x + 3 - 3 <6 - 3

-9 <2x <3

-9 / 2 <x <3/2

A continuación, la solución a | 2x + 3 | <6 es el intervalo (-9 / 2 , 3/2).

EJERCICIO RESUELTO 2.

Resuelva | 2x - 3 |> 5.

Aplicamos la segunda propiedad que miramos en la parte superior de la entrada debido a que tenemos un "mayor que"

| 2x - 3 |> 5

2x - 3 <-5 o 2x - 3> 5

2x <-2 o 2x> 8

x <-1 o x> 4

Este par de desigualdades es la solución;

la solución a | 2x - 3 |> 5 se compone de los dos intervalos x <-1 y x> 4.

EJERCICIO RESUELTO 3.

Ejercicios en vídeo sobre las inecuaciones que contienen valor absoluto.

Repaso general:

A continuación encontramos más ejercicios para perfeccionar el tema.

Recuerda la importancia de dominar con soltura éste tópico; veamos más ejemplos y problemas resueltos un poco más complejos en vídeo:

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ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO - Ejercicios resueltos

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO - Ejercicios resueltos.

Para resolver una ecuación con valor absoluto, debemos aislar el valor absoluto de un lado del signo igual estableciendo dos casos:

Primero igualamos lo que está dentro del símbolo de valor absoluto a la cantidad positiva del frente y como segundo caso, la igualamos a la correspondiente parte negativa.

Resolver | x | = 3

| 3 | = 3

| -3 | = 3, por lo que x debe ser 3 o -3.

A continuación, la solución es x = -3, 3.

EJERCICIO RESUELTO 1.

Resolver | x + 2 | = 7
Para eliminar las barras del valor absoluto, tenemos que dividir la ecuación en sus dos posibles casos, un caso para cada signo:

(x + 2) = 7 o - (x + 2) = 7
x + 2 = 7 o -x - 2 = 7
x = 5 o x = -9

A continuación, la solución es x = -9, 5.

EJERCICIO RESUELTO 2.

Resuelva | 2x - 3 | - 4 = 3
En primer lugar, voy a despejar la parte del valor absoluto, es decir, voy a colocar la expresión de valor absoluto en un lado del signo "igual", y todo lo demás en el otro lado:

| 2x - 3 | - 4 = 3
| 2x - 3 | = 7

Ahora aplico los dos casos, uno para cada signo:

(2x - 3) ​​= 7 o - (2x - 3) ​​= 7
2x - 3 = 7 o -2x + 3 = 7
2x = 10 o -2x = 4
x = 5 o x = -2

Así que la solución es x = -2, 5.

EJERCICIOS ILUSTRATIVOS.
A continuación tenemos ejemplos prácticos en el siguiente vídeo:



EJERCICIO RESUELTO 3.

Resuelva el siguiente ejercicio:

| x² - 4x - 5 | = 7

Establecemos las dos ecuaciones:

( x² - 4x - 5 ) = 7 o -(x² - 4x - 5) = 7
Resolvemos el primer caso:
x² - 4x - 5 = 7 x² - 4x - 12 = 0 (x - 6)(x + 2) = 0 x = 6, x = -2
Resolvemos el segundo caso:
-x² + 4x + 5 = 7 -x² + 4x - 2 = 0 0 = x² - 4x + 2
La solución es:
x= -2, 6, 2 más o menos raiz cuadrada de 2


Siga los pasos del vídeo anterior para resolver una igualdad de valor absoluto:

EJERCICIO RESUELTO 4.

Resuelva | 2x - 1 | + 3 = 6

|2x - 1| + 3 = |2x - 1| = 6-3 = |2x - 1| = 3
Primera ecuación:
2x - 1 = 3
2x - 1 = 3
2x = 4
x = 2

Segunda ecuación:

2x - 1 = -3

2x - 1 = -3

2x = -2

x = -1

EJERCICIO RESUELTO 5.

Resuelva: | x + 6 | = 7, entonces...
a) x + 6 = 7 o b) x + 6 = -7

Resolviendo la ecuación a)
x + 6 = 7
x = 1 Resolviendo la ecuación b)
x + 6 = -7
x = -13

EJERCICIOS EN VÍDEO:

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