Fórmula de la Distancia - EJERCICIOS RESUELTOS

FÓRMULA DE LA DISTANCIA Y EJERCICIOS RESUELTOS.

Si tenemos dos puntos cualesquiera en un plano cartesiano, siempre podemos hallar la distancia entre ellos sin tener que medir con una regla, ésto es utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos.

La fórmula de la distancia se deriva del teorema de Pitágoras. Para calcular la distancia entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2), todo lo que tienes que hacer es utilizar las coordenadas de estos pares ordenados y aplicar la fórmula que se muestra a continuación:

La fórmula anterior se puede utilizar para calcular la distancia entre dos puntos cuando se conocen las coordenadas de los puntos. Esta distancia es también la longitud del segmento de línea que une los dos puntos.

Recuerda que esta fórmula no es más que un uso del teorema de Pitágoras.

Podemos complementar lo anterior observando el siguiente vídeo:

Utilizando el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la hipotenusa, que es la línea imaginaria entre nuestros dos puntos. No importa cual es el punto (x1, y1) y cuál es (x2, y2). La idea clave es que sólo se preocupe por el cambio en x, y el cambio en y. Vamos a usar cada una de estas mediciones como el lado de un triángulo, donde la hipotenusa es la distancia entre los dos puntos.

Recuerde que se trata de distancias, que son positivas. La distancia es la misma, pasando del punto 1 al punto 2, o viceversa. Por lo tanto, sólo tiene que utilizar la distancia positiva entre los dos puntos. Veamos el tutorial:

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PENDIENTE DE LA RECTA - Ejercicios Resueltos

PENDIENTE DE LA RECTA - Ejercicios Resueltos

La inclinación o pendiente de una recta es un número que describe la dirección y la inclinación de la línea. La pendiente a menudo se denota con la letra m.

La dirección de una línea puede estar aumentando, disminuyendo, de forma horizontal o vertical.

Una línea es creciente si sube hacia la derecha, luego La pendiente es positiva, es decir, m> 0.

Una línea está decreciendo si cae hacia la derecha luego su pendiente es negativa, es decir, m <0.

Si una línea es horizontal significa que la pendiente es cero. Esta es una función constante.

Si una línea es vertical significa que la pendiente no está definida.

La inclinación o pendiente de una recta se mide por el valor absoluto de la pendiente. Una pendiente con un mayor valor absoluto indica una pendiente más pronunciada.

Para encontrar la pendiente de una línea recta, se divide la diferencia de las coordenadas en el eje y por la diferencia de las coordenadas en el eje x. Esto tal como se muestra en la siguiente figura:

Ahora tenemos más conceptos generales sobre la pendiente o inclinación de una recta:



La pendiente de la línea recta es un número que mide su inclinación, denotada generalmente por la letra m como ya hemos mencionado. Es el cambio en y para un cambio en x a lo largo de la línea.



Cuando la pendiente de la recta es 0, ya sabes que la línea es horizontal y cuando la línea es vertical la pendiente de una recta es indefinida.

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FUNCIONES POLINOMICAS - Ejercicios

FUNCIONES POLINOMICAS - Ejercicios y Ejemplos.

Un polinomio es una expresión construida a partir de variables y constantes (por lo general los números, pero no siempre), utilizando únicamente las operaciones de suma, resta, multiplicación y exponentes enteros no negativos. Sin embargo, se acepta la división por una constante, debido a que el inverso multiplicativo de una constante diferente de cero también es una constante.

Los polinomios son la clase más simple de expresiones matemáticas.

Los Polinomios aparecen en una amplia variedad de áreas de matemáticas y ciencias. Por ejemplo, se utilizan para formar ecuaciones polinómicas, que codifican una amplia gama de problemas, expresan problemas de palabras elementales en problemas complicados en las ciencias, se utilizan para definir las funciones polinómicas que aparecen en los ajustes que van desde la química básica y la física a la economía y las ciencias sociales, se utilizan en el cálculo y el análisis numérico de otras funciones.

Veamos los conceptos generales de éstas funciones:

FUNCIONES POLINÓMICAS Y SUS GRÁFICAS:

Tenemos un ejemplo sencillo para introducirnos en éstas funciones:

¿Cuál es el grado y los principales coeficientes de los siguientes polinomios?

(i) 10x³ + 4x² + 3x + 1 y (ii) 2x⁴ + 3x + 5

Para (i), vemos que el grado es 3 y el coeficiente principal es 10.

Para (ii), se observa que el grado es 4 y el coeficiente principal es 2.

En términos generales las funciones polinómicas son funciones que tienen a x como una variable de entrada, compuesta por varios términos, cada término se compone de dos factores, el primero es un coeficiente de número real, y el segundo es x elevado a un entero no negativo (exponente). En realidad, es algo más complicado que eso, pero podemos despejar las dudas con el siguiente vídeo:



Una función polinómica es una función tal como una ecuación cuadrática, cúbica, de grado cuatro, y así sucesivamente, con exponentes enteros no negativos para la variable x. Ahora veamos cómo graficar una de éstas funciones:

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REGLA DE LA CADENA - Ejercicios resueltos

REGLA DE LA CADENA - Ejercicios resueltos.

La regla de la cadena es una fórmula para el cálculo de la derivada de la composición de dos o más funciones. Es decir, si y es una función y u es una función, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la función compuesta y ∘ u en términos de las derivadas de y y u. Por ejemplo, la regla de la cadena para (y ∘ u) (x) es

Si bien siempre es posible aplicar directamente la definición de la derivada para calcular la derivada de una función compuesta, esto es por lo general muy difícil. La utilidad de la regla de la cadena es que convierte una derivada complicada en varias derivadas fáciles.

En el siguiente tutorial, se deriva la regla de la cadena. Podemos mirar cómo se resuelven varios ejemplos usando la regla de la cadena. Después de trabajar a través de estos materiales, el estudiante debe ser capaz de utilizar la regla de la cadena para diferenciar ciertas funciones.




Si f es una función de g y g es una función de x, a continuación, la derivada de f con respecto a x es igual a la derivada de f (g) con respecto a g por la derivada de g (x) con respecto a x ".

Por lo tanto de acuerdo con la regla de la cadena, la derivada de

(x2+ 1)5 es 5(x2+ 1)4· 2x.

Para f(x)= (x2+ 1)5 , x2+ 1 está dentro de la quinta potencia. Nos tomamos la derivada del exterior al interior. Cuando tomamos la derivada exterior, no cambiamos lo que hay dentro. Luego, multiplicamos por la derivada de lo que hay dentro o lo que llamamos derivada interna.

La regla de la cadena rara vez se explica con claridad y es esencial. Esta regla nos dice lo que es la derivada de una función compuesta.

Te recomiendo que revises el siguiente vídeo sobre funciones compuestas.

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DERIVADA IMPLICITA- Ejercicios Resueltos

DERIVADA IMPLICITA- Ejercicios Resueltos.

Inicialmente hablamos de las derivadas en general, en esta entrada trataremos el caso particular cuando la variable dependiente NO está despejada debido a que se repite dentro de la función y no es posible hacerlo; en éste caso entra lo que se conoce como derivada implícita.

Podemos encontrar funciones de todo tipo que deben desarrollarse de forma implícita, me refiero a funciones polinómicas, trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etc.

En muchos ejemplos, especialmente las derivadas de las ecuaciones diferenciales, las variables involucradas no están vinculados entre sí de una manera explícita. La mayoría de las veces, están unidas a través de una fórmula implícita, como F (x, y) = 0. Una vez que x es fijo, podemos encontrar y mediante cálculos numéricos. La pregunta es ¿cuál es la derivada al menos en un cierto punto? El método de diferenciación implícita responde a esta preocupación. Vamos a ilustrar esto con el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Halla la ecuación de la recta tangente a la elips

25 x² + y² = 109

A continuación, se diferencian para encontrar la pendiente de la recta tangente.

Con el uso de las técnicas de diferenciación, obtenemos:

De forma equivalen nos queda: 3y + 50 x = 109.

Veamos el siguiente ejemplo ilustrativo en vídeo:




EJERCICIO RESUELTO 1.

x³ + y³ = 4

D ( x³ + y³ ) = D ( 4 ) ,

D ( x³ ) + D ( y³ ) = D ( 4 ) ,

3x² + 3y² y' = 0 ,

3y² y' = - 3x² ,

EJERCICIO RESUELTO 2.

Ahora podemos mirar ejemplos que involucran funciones trigonométricas, echemos un vistazo para una mejor comprensión.

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INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO - Ejercicios Resueltos.

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO - Ejercicios Resueltos.

Resolver un problema de desigualdad o de inecuación con valor absoluto es similar a la solución de una ecuación de valor absoluto.

Hay muchas oportunidades para cometer errores con las desigualdades de valor absoluto, así que vamos a cubrir este tema poco a poco y mirar algunos trucos útiles a lo largo del camino.

Dos propiedades útiles relativas a las desigualdades son las siguientes:

EJERCICIO RESUELTO 1.

Resolver | 2x + 3 | <6.

Como el signo de la desigualdad es "menor que", el primer paso es despejar el valor absoluto de acuerdo con el patrón o la primera propiedad que miramos en la parte superior de la entrada.

| 2x + 3 | <6

-6 <2x + 3 <6

-6-3 <2x + 3 - 3 <6 - 3

-9 <2x <3

-9 / 2 <x <3/2

A continuación, la solución a | 2x + 3 | <6 es el intervalo (-9 / 2 , 3/2).

EJERCICIO RESUELTO 2.

Resuelva | 2x - 3 |> 5.

Aplicamos la segunda propiedad que miramos en la parte superior de la entrada debido a que tenemos un "mayor que"

| 2x - 3 |> 5

2x - 3 <-5 o 2x - 3> 5

2x <-2 o 2x> 8

x <-1 o x> 4

Este par de desigualdades es la solución;

la solución a | 2x - 3 |> 5 se compone de los dos intervalos x <-1 y x> 4.

EJERCICIO RESUELTO 3.

Ejercicios en vídeo sobre las inecuaciones que contienen valor absoluto.

Repaso general:

A continuación encontramos más ejercicios para perfeccionar el tema.

Recuerda la importancia de dominar con soltura éste tópico; veamos más ejemplos y problemas resueltos un poco más complejos en vídeo:

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ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO - Ejercicios resueltos

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO - Ejercicios resueltos.

Para resolver una ecuación con valor absoluto, debemos aislar el valor absoluto de un lado del signo igual estableciendo dos casos:

Primero igualamos lo que está dentro del símbolo de valor absoluto a la cantidad positiva del frente y como segundo caso, la igualamos a la correspondiente parte negativa.

Resolver | x | = 3

| 3 | = 3

| -3 | = 3, por lo que x debe ser 3 o -3.

A continuación, la solución es x = -3, 3.

EJERCICIO RESUELTO 1.

Resolver | x + 2 | = 7
Para eliminar las barras del valor absoluto, tenemos que dividir la ecuación en sus dos posibles casos, un caso para cada signo:

(x + 2) = 7 o - (x + 2) = 7
x + 2 = 7 o -x - 2 = 7
x = 5 o x = -9

A continuación, la solución es x = -9, 5.

EJERCICIO RESUELTO 2.

Resuelva | 2x - 3 | - 4 = 3
En primer lugar, voy a despejar la parte del valor absoluto, es decir, voy a colocar la expresión de valor absoluto en un lado del signo "igual", y todo lo demás en el otro lado:

| 2x - 3 | - 4 = 3
| 2x - 3 | = 7

Ahora aplico los dos casos, uno para cada signo:

(2x - 3) ​​= 7 o - (2x - 3) ​​= 7
2x - 3 = 7 o -2x + 3 = 7
2x = 10 o -2x = 4
x = 5 o x = -2

Así que la solución es x = -2, 5.

EJERCICIOS ILUSTRATIVOS.
A continuación tenemos ejemplos prácticos en el siguiente vídeo:



EJERCICIO RESUELTO 3.

Resuelva el siguiente ejercicio:

| x² - 4x - 5 | = 7

Establecemos las dos ecuaciones:

( x² - 4x - 5 ) = 7 o -(x² - 4x - 5) = 7
Resolvemos el primer caso:
x² - 4x - 5 = 7 x² - 4x - 12 = 0 (x - 6)(x + 2) = 0 x = 6, x = -2
Resolvemos el segundo caso:
-x² + 4x + 5 = 7 -x² + 4x - 2 = 0 0 = x² - 4x + 2
La solución es:
x= -2, 6, 2 más o menos raiz cuadrada de 2


Siga los pasos del vídeo anterior para resolver una igualdad de valor absoluto:

EJERCICIO RESUELTO 4.

Resuelva | 2x - 1 | + 3 = 6

|2x - 1| + 3 = |2x - 1| = 6-3 = |2x - 1| = 3
Primera ecuación:
2x - 1 = 3
2x - 1 = 3
2x = 4
x = 2

Segunda ecuación:

2x - 1 = -3

2x - 1 = -3

2x = -2

x = -1

EJERCICIO RESUELTO 5.

Resuelva: | x + 6 | = 7, entonces...
a) x + 6 = 7 o b) x + 6 = -7

Resolviendo la ecuación a)
x + 6 = 7
x = 1 Resolviendo la ecuación b)
x + 6 = -7
x = -13

EJERCICIOS EN VÍDEO:

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VALOR ABSOLUTO - Ejercicios resueltos

VALOR ABSOLUTO - Ejercicios resueltos.

Para las matemáticas, el valor absoluto (o módulo) | x | de un número real x es el valor no negativo de x sin tener en cuenta su signo. Es decir, | x | = x
El número cero no es positivo ni negativo, pero | 0 | = 0.

Ejemplo, el valor absoluto de 7 es 7, y el valor absoluto de -7 es también 7.

En términos generales, el valor absoluto de un número entero es el valor numérico sin tener en cuenta si el signo es negativo o positivo. En una recta numérica es la distancia entre el número y el cero.

El valor absoluto de -16 es 16. El valor absoluto de 16 es 16.

El símbolo para el valor absoluto son dos barras verticales, ejemplo:
| -24 | = 24 y se lee "El valor absoluto de -24 es igual a 24".

El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud y distancia en diferentes contextos matemáticos y físicos.

El número 9 está 9 unidades de distancia del 0. Por lo tanto, su valor absoluto es 9. El número -9 está a la misma distancia de cero, por lo que su valor absoluto es 9. En ambos casos, la magnitud o el valor absoluto del número es simplemente "9".



Se puede ver a partir de esto que el valor absoluto de un número es siempre positivo con la excepción del 0 (| 0 | = 0)

Por lo tanto | 5 | = 5 o | -4 | = 4

| 6 |= 6

| -8 |= 8

Esta observación nos ayuda a llegar a una definición formal de valor absoluto

| X | = x si x es positivo o cero, pero-x si x es negativo.

Es importante entender esta definición antes de resolver ecuaciones de valor absoluto o desigualdades de valor absoluto.

Calcular el valor absoluto de las siguientes expresiones numéricas.

1)

| -8 + 2 × 5 | = | -8 + 10 |

| -8 + 2 × 5 | = | 2 |

| -8 + 2 × 5 | = 2

2)

| 16-4 × 2 | = | 16-4 × 2 |

| 16-4 × 2 | = | 16-8 |

| 16-4 × 2 | = | 8 |

| 16-4 × 2 | = 8

3)

| -5 + 5 x 2-15 | = | -5 + 10 - 15 |

| (-5 + 5 x 2-15) | = | 5 - 15 |

| (-5 + 5 x 2-15) | = | -15 |

| (-5 + 5 x 2-15) | = 15



Los valores absolutos son bastante fáciles de calcular cuando contienen constantes (números regulares), pero las ecuaciones que contienen valor absoluto son más difíciles.
Veamos algunos ejemplos resueltos:




Ecuaciones más complicadas por lo general se pueden resolver de la misma manera, mediante la división del valor absoluto en dos casos.

Vamos ahora a observar otra lección sobre el valor absoluto en el siguiente vídeo y reforzar lo aprendido:

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CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN - Ejercicios Resueltos

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN - Ejercicios Resueltos.

Una función puede ser representada por un gráfico en el plano cartesiano; tal función es continua si, en términos generales, la gráfica es una sola curva ininterrumpida sin agujeros o saltos.

Hay varias maneras de hacer rigurosa esta intuición matemática, la definición más conveniente se puede utilizar para determinar si una función dada es continua o no.

La función f se dice que es continua en un intervalo I si f es continua en cada punto x en I. Aquí presentamos una lista de algunos hechos bien conocidos relacionados con la continuidad:

1. La suma de funciones continuas es continua.

2. La diferencia de funciones continuas es continua.

3. El producto de funciones continuas es continua.

4. El cociente de funciones continuas es continua en todos los puntos x en que el denominador no sea cero.

5. La composición funcional de las funciones continuas es continua en todos los puntos x, donde la composición está bien definida.

6. Cualquier polinomio es continuo para todos los valores de x.

7. Las funciónes e^x y las funciones trigonométricas sen(x) y cos(x) son continuas para todos los valores de x

En el siguiente tutorial podemos entender conceptos generales sobre la continuidad:




Definición
Una función f (x) se dice que es continua en un punto c si se cumplen las siguientes condiciones:

-f(c) está definida
-lim_{x → c} f(x) existe
-lim_{x → c} f(x) = f(c)

Si f (x) es continua en todos los puntos en un intervalo (a, b), entonces f (x) es continua en (a, b​​)

Una función continua en el intervalo (- ∞, + ∞) se llama una función continua para todo valor.

EJERCICIO RESUELTO 1:

f (x) es discontinua en x = 2 porque f (2) es indefinida

Por definición de g (2) = 3

lim_{x → 2} g(x) = lim_{x → 2} (x² - 4)/(x - 2) = lim_{x → 2} (x + 2) = 4
g(x) es discontinua debido a que
lim_{x → 2} g(x) ≠ g(2)

EJERCICIO RESUELTO 2.

f(x) = x² - 2x + 1
lim_{x → c} f(x) = lim_{x → c} (x² - 2x + 1)
f(x) = c² - 2c + 1
f(x) = f(c)
Luego, f es continua en x = c

EJERCICIOS RESUELTOS EN VÍDEO. EJEMPLOS COMPLEMENTARIOS:

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DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicios Resueltos

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicios Resueltos.

La diferenciación o derivada de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar la variación a la que una función trigonométrica cambia con respecto a una variable.

Las Funciones trigonométricas incluyen:
sin (x), cos (x), tan (x), ctg (x), sec (x), csc (x) .

Por ejemplo, en la diferenciación de f (x) = sen (x), lo que calculamos es la tasa de cambio de sen (x) en un punto (a) de un particular. El valor de la tasa de cambio es dada por f '(a).

Una vez que se conocen las derivadas del sen (x) y cos (x), se puede calcular fácilmente las derivadas de las otras funciones trigonométricas circulares, ya que todas se pueden expresar en términos de seno o coseno. Encontrar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas implica el uso de la diferenciación implícita.

EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS:

A continuación presentamos las derivadas trigonométricas básicas para su estudio, debemos familiarizarnos con ellas.

Más ejercicios y explicaciones en vídeo:

Fórmulas de las Derivadas de funciones trigonométricas inversas

EJERCICIOS RESUELTOS.

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS:

Vamos a mirar una introducción a las derivadas de las inversas en trigonometría, funciones que en ocasiones se nos complican un poco.

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FÓRMULA DEL CUBO - Ejercicios Resueltos

FÓRMULA DEL CUBO - Ejercicios Resueltos.

Cuando hablamos del cubo regular entendemos que es un poliedro de seis caras cuadradas iguales, también puede ser clasificado como paralelepípedo.

Si tenemos un Cubo regular de arista x, la fórmula para el volumen la podemos expresar como sigue:

V = (x)(x)(x) es decir, V = x³

Podemos ahora establecer la fórmula para el área total de sus caras como sigue:

A = 6x²

Recuerda que: El Volumen es la medida del espacio que se encuentra en el interior del sólido geométrico, y éste se encuentra mediante el desarrollo de la fórmula que acabamos de ver. V = x³

Sabemos que el volumen de un cuerpo regular como el cubo se puede calcular multiplicando las siguientes dimensiones: alto, largo y ancho.

En el próximo vídeo veremos ejercicios resueltos de cómo calcular el volumen y el área de un cubo.

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SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS - Ejercicios resueltos

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS - Ejercicios resueltos.

Esta entrada introduce la técnica de factorización por suma y diferencia de cubos, donde se comienza tomando la raíz cúbica de los cubos perfectos.

Las fórmulas de la suma y la diferencia se muestran a continuación y enseguida tenemos varios ejercicio que son útiles para practicar.

Recuerde que es importante adquirir la habilidad para distinguir éstos casos de factorización, veamos:

Estas fórmulas son realmente fáciles de recordar.

x³ − y³ = (x − y)( x² + xy + y²)

x³ + y³ = (x + y)( x² − xy + y²)

EJERCICIO RESUELTO 1.

Factorizar:

x³ − 8

= x³ − 2³

= ( x − 2 )(x² + 2x + 22)

= ( x − 2)(x² + 2x + 4)

EJERCICIO RESUELTO 2.

Factorizar: 27x³ + 1

27x³ + 1 = (3x)³ + 1³ = (3x + 1)((3x)² - (3x)(1) + 1²) = (3x + 1)(9x² - 3x + 1)

EJERCICIO RESUELTO 3.

Factorizar: x³y⁶ - 64

Podemos expresarlo como: (xy²)³ - 4³, luego tenemos:

x³y⁶ - 64 = (xy²)³ - 4³
= (xy² - 4)((xy²)² + (xy²)(4) + 4²)
= (xy² - 4)(x²y⁴ + 4xy² + 16)

EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EN VÍDEO:

El procedimiento que se sigue en el vídeo para la factorización es:

Se abren dos paréntesis juntos, el primero es para un binomio formado por las raíces cúbicas de los términos que nos han resultado, estos deben estar separados por el mismo signo. El segundo paréntesis es para establecer un trinomio que se forma con el cuadrado del primer término del binomio menos ó más el primero por el segundo término del binomio, dependiendo si es suma o resta, y para finalizar, a esto le sumamos el cuadrado del segundo término.

Estos son los pasos necesarios para factorizar una suma y una diferencia de cubos; se muestran en el siguiente tutorial:

• La suma de dos cubos, que sean perfectos se divide en dos factores, donde el primero debe ser la suma de sus raíces cúbicas; el segundo es el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces y esto más el cuadrado de la segunda raíz.

• La diferencia de dos cubos que sean perfectos se parte en dos factores, el primero es la diferencia de sus dos raíces cúbicas; luego el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces a esto se le adiciona el cuadrado de la segunda raíz.

Al final es muy fácil verificar mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación las fórmulas de factorización para la suma y  la  diferencia de dos cubos.

Procedimiento paso por paso:

Primero se extrae la raíz cubica de ambos miembros con el mismo signo de la operación que se realiza, por tanto ambos miembros quedan como un solo factor encerrados dentro de un paréntesis, luego para el siguiente factor o paréntesis se ubica el primer término del paréntesis anterior elevado al cuadrado, la operación contraria, en este caso en el primer paréntesis se realizaba una resta, así que la operación contraria es una suma, producto de los dos términos del paréntesis anterior, a continuación se coloca sumando el segundo término del primer paréntesis  elevado al cuadrado.

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