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NÚMEROS REALES - Ejemplos

NÚMEROS REALES - Ejemplos.

Un número real es un valor que representa una cantidad a lo largo de una línea continua. Los números reales incluyen todos los números racionales, tales como el número entero -5 y la fracción 4/3, y todos los números irracionales como √ 2 =1,41421356 ... la raíz cuadrada de dos, un número algebraico irracional y π =3,14159265 ... , un número trascendental).

Los números reales pueden ser considerados como puntos en una línea infinitamente larga llamada la línea de números o la línea real, donde los puntos correspondientes a los números enteros son equidistantes. Cualquier número real puede ser determinado por una representación decimal posiblemente infinita, como la de 8.632, donde cada dígito consecutivo se mide en unidades de una décima parte del tamaño de la anterior. La línea real puede ser mirada como una parte del plano complejo, y correspondientemente, los números complejos incluyen números reales como un caso especial.



Un número real puede ser racional o irracional, ya sea algebraico o trascendental, y ya sea positivo, negativo o cero. Los números reales se utilizan para medir cantidades continuas. Pueden ser expresados por las representaciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha del punto decimal, los cuales se representan a menudo en la misma forma que 324.823122147 ... . Los tres puntos al final indican que la serie continúa.

Los números reales comprenden un campo, con la adición y la multiplicación, así como la división por números distintos de cero, que pueden ser totalmente ordenados en una línea numérica de una manera compatible con la suma y la multiplicación.


Veamos algunas operaciones básicas con los números reales:





Propiedades fundamentales:

1. Propiedad conmutativa de la suma
a + b = b + a 2 + 3 = 3 + 2

2. Propiedad conmutativa de la multiplicación
a • b = b • a 2 • (3) = 3 • (2)

3. Propiedad asociativa de la suma
a + (b + c) = (a + b) + c 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4

4. Propiedad asociativa de la multiplicación
a • (b • c) = (a • b) • c 2 • (3 • 4) = (2 • 3) • 4

5. Propiedad distributiva
a • (b + c) = a b + a • c 2 • (3 + 4) = 2 3 + 2 • 4

6. Aditivo: Propiedad de identidad
a + 0 = a 3 + 0 = 3

7. Multiplicación: propiedad Identidad
a • 1 = a 3 • 1 = 3

8. Aditivo: Propiedad Inversa
a + (-a) = 0 3 + (-3) = 0

9. Propiedad anulativa
a • 0 = 0 5 • 0 = 0

NÚMEROS NO REALES - Ejemplos

NÚMEROS NO REALES - Ejemplos.

Siempre hablamos de los números reales, pero tenemos otro conjunto de números que no pertenecen a los números reales, podemos llamarlos los números NO reales, veamos de quiénes estamos hablando:

Un número imaginario es un número que puede ser escrito como un número real multiplicado por la unidad imaginaria i, que se define por su propiedad.

Un número imaginario tiene un cuadrado negativo o cero. Por ejemplo, 5i es un número imaginario, y su cuadrado es -25.

Un número imaginario se puede añadir a un número real para formar un número complejo de la forma a + bi, donde a y bi son llamados, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria del número complejo. Por lo tanto, los números imaginarios pueden ser considerados como números complejos cuya parte real es cero. Hoy en día tienen una gran variedad de aplicaciones esenciales y concretas de la ciencia y la ingeniería.





Un número imaginario no existe, pero sin embargo puede ser útil en ciertas aplicaciones.

Recordemos que un número imaginario es cualquier número que es el producto de un número real y la raíz cuadrada de menos uno (-1). La raíz cuadrada de -1 es la "unidad" del conjunto de los números imaginarios, y se conoce como "i". Como sabemos, los números negativos no tienen raíz cuadrada, por lo que la raíz cuadrada de un número negativo es "irreal" o "imaginaria". Como un ejemplo de un número imaginario, la raíz cuadrada de -4 es 2i.

También hay "números complejos", que son la suma de un número real y un número imaginario. Por ejemplo 3 + 2i.

Veamos algunas operaciones:

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS - Ejercicios Resueltos

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS - Ejercicios Resueltos.

Cuando tenemos que calcular la distancia entre dos puntos que se encuentran en un plano cartesiano, lo podemos hacer utilizando la fórmula de la distancia que utiliza las coordenadas de los puntos establecidos.

La distancia siempre debe ser un valor positivo, por tanto NO importa el orden en que escojamos los puntos.

La fórmula de la distancia se puede utilizar para calcular la distancia entre dos puntos P y Q en el plano, en términos de sus coordenadas (x1, y1) y (x2, y2).

EJERCICIO RESUELTO.

La distancia entre los puntos P (1, 6) y Q (5, -4) se puede calcular de la siguiente manera:

















El anterior ejercicio se desarrollo utilizando la siguiente fórmula:





















Esta es precisamente la fórmula de la distancia entre dos puntos y debajo de la fórmula presentamos un plano cartesiano con dos puntos y una línea que los une, es precisamente esa línea la que conocemos como la distancia. En el siguiente vídeo se pueden ver éstos conceptos con más detalle:




PUNTO MEDIO

A veces es necesario encontrar el punto que se encuentra exactamente entre dos puntos. Este punto se llama el punto medio. Por definición, un punto medio de un segmento es el punto en que el segmento de línea divide el segmento en dos segmentos congruentes.

Si los puntos extremos de un segmento de recta son (x1, y1) y (x2, y2), entonces el punto medio del segmento de recta se puede calcular como muestra el siguiente vídeo:


Fórmula de la Distancia - EJERCICIOS RESUELTOS

FÓRMULA DE LA DISTANCIA Y EJERCICIOS RESUELTOS.

Si tenemos dos puntos cualesquiera en un plano cartesiano, siempre podemos hallar la distancia entre ellos sin tener que medir con una regla, ésto es utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos.

La fórmula de la distancia se deriva del teorema de Pitágoras. Para calcular la distancia entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2), todo lo que tienes que hacer es utilizar las coordenadas de estos pares ordenados y aplicar la fórmula que se muestra a continuación:



La fórmula anterior se puede utilizar para calcular la distancia entre dos puntos cuando se conocen las coordenadas de los puntos. Esta distancia es también la longitud del segmento de línea que une los dos puntos.

Recuerda que esta fórmula no es más que un uso del teorema de Pitágoras.

Podemos complementar lo anterior observando el siguiente vídeo:



Utilizando el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la hipotenusa, que es la línea imaginaria entre nuestros dos puntos. No importa cual es el punto (x1, y1) y cuál es (x2, y2). La idea clave es que sólo se preocupe por el cambio en x, y el cambio en y. Vamos a usar cada una de estas mediciones como el lado de un triángulo, donde la hipotenusa es la distancia entre los dos puntos.

Recuerde que se trata de distancias, que son positivas. La distancia es la misma, pasando del punto 1 al punto 2, o viceversa. Por lo tanto, sólo tiene que utilizar la distancia positiva entre los dos puntos. Veamos el tutorial:


PENDIENTE DE LA RECTA - Ejercicios Resueltos

PENDIENTE DE LA RECTA - Ejercicios Resueltos

La inclinación o pendiente de una recta es un número que describe la dirección y la inclinación de la línea. La pendiente a menudo se denota con la letra m.

La dirección de una línea puede estar aumentando, disminuyendo, de forma horizontal o vertical.


Una línea es creciente si sube hacia la derecha, luego La pendiente es positiva, es decir, m> 0.


Una línea está decreciendo si cae hacia la derecha luego su pendiente es negativa, es decir, m <0.


Si una línea es horizontal significa que la pendiente es cero. Esta es una función constante.


Si una línea es vertical significa que la pendiente no está definida.


La inclinación o pendiente de una recta se mide por el valor absoluto de la pendiente. Una pendiente con un mayor valor absoluto indica una pendiente más pronunciada.


Para encontrar la pendiente de una línea recta, se divide la diferencia de las coordenadas en el eje y por la diferencia de las coordenadas en el eje x. Esto tal como se muestra en la siguiente figura:


Ahora tenemos más conceptos generales sobre la pendiente o inclinación de una recta:



La pendiente de la línea recta es un número que mide su inclinación, denotada generalmente por la letra m como ya hemos mencionado. Es el cambio en y para un cambio en x a lo largo de la línea.



Cuando la pendiente de la recta es 0, ya sabes que la línea es horizontal y cuando la línea es vertical la pendiente de una recta es indefinida.

FUNCIONES POLINOMICAS - Ejercicios

FUNCIONES POLINOMICAS - Ejercicios y Ejemplos.

Un polinomio es una expresión construida a partir de variables y constantes (por lo general los números, pero no siempre), utilizando únicamente las operaciones de suma, resta, multiplicación y exponentes enteros no negativos. Sin embargo, se acepta la división por una constante, debido a que el inverso multiplicativo de una constante diferente de cero también es una constante.

Los polinomios son la clase más simple de expresiones matemáticas.


Los Polinomios aparecen en una amplia variedad de áreas de matemáticas y ciencias. Por ejemplo, se utilizan para formar ecuaciones polinómicas, que codifican una amplia gama de problemas, expresan problemas de palabras elementales en problemas complicados en las ciencias, se utilizan para definir las funciones polinómicas que aparecen en los ajustes que van desde la química básica y la física a la economía y las ciencias sociales, se utilizan en el cálculo y el análisis numérico de otras funciones.

Veamos los conceptos generales de éstas funciones:




FUNCIONES POLINÓMICAS Y SUS GRÁFICAS:




Tenemos un ejemplo sencillo para introducirnos en éstas funciones:

¿Cuál es el grado y los principales coeficientes de los siguientes polinomios?

(i) 10x3 + 4x2 + 3x + 1 y (ii) 2x4 + 3x + 5

Para (i), vemos que el grado es 3 y el coeficiente principal es 10.


Para (ii), se observa que el grado es 4 y el coeficiente principal es 2.

En términos generales las funciones polinómicas son funciones que tienen a x como una variable de entrada, compuesta por varios términos, cada término se compone de dos factores, el primero es un coeficiente de número real, y el segundo es x elevado a un entero no negativo (exponente). En realidad, es algo más complicado que eso, pero podemos despejar las dudas con el siguiente vídeo:



Una función polinómica es una función tal como una ecuación cuadrática, cúbica, de grado cuatro, y así sucesivamente, con exponentes enteros no negativos para la variable x. Ahora veamos cómo graficar una de éstas funciones:

REGLA DE LA CADENA - Ejercicios resueltos

REGLA DE LA CADENA - Ejercicios resueltos.

La regla de la cadena es una fórmula para el cálculo de la derivada de la composición de dos o más funciones. Es decir, si y es una función y u es una función, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la función compuesta y ∘ u en términos de las derivadas de y y u. Por ejemplo, la regla de la cadena para (y ∘ u) (x) es








Si bien siempre es posible aplicar directamente la definición de la derivada para calcular la derivada de una función compuesta, esto es por lo general muy difícil. La utilidad de la regla de la cadena es que convierte una derivada complicada en varias derivadas fáciles.

En el siguiente tutorial, se deriva la regla de la cadena. Podemos mirar cómo se resuelven varios ejemplos usando la regla de la cadena. Después de trabajar a través de estos materiales, el estudiante debe ser capaz de utilizar la regla de la cadena para diferenciar ciertas funciones.




Si f es una función de g y g es una función de x, a continuación, la derivada de f con respecto a x es igual a la derivada de f (g) con respecto a g por la derivada de g (x) con respecto a x ".

Por lo tanto de acuerdo con la regla de la cadena, la derivada de


(x2+ 1)5 es 5(x2+ 1)4· 2x.

Para f(x)= (x2+ 1)5 , x2+ 1 está dentro de la quinta potencia. Nos tomamos la derivada del exterior al interior. Cuando tomamos la derivada exterior, no cambiamos lo que hay dentro. Luego, multiplicamos por la derivada de lo que hay dentro o lo que llamamos derivada interna.



La regla de la cadena rara vez se explica con claridad y es esencial. Esta regla nos dice lo que es la derivada de una función compuesta.

Te recomiendo que revises el siguiente vídeo sobre funciones compuestas.

FUNCIÓN DERIVADA - Ejercicios Resueltos

FUNCIÓN DERIVADA - Ejemplos.

La diferenciación es un método para calcular la tasa a la que una variable Y depende de los cambios con respecto al cambio en la variable independiente x. Esta tasa de cambio se llama la derivada de y con respecto a x. En lenguaje más preciso, la dependencia de y sobre x significa que y es una función de x.

Esta relación funcional es a menudo denota como y = f (x), donde f expresa la función. Si x e y son números reales, y si la gráfica de y se representa frente a x, la derivada mide la pendiente de esta gráfica en cada punto.

Si tenemos y = f (x) = mx + b, para los números reales m y b, la pendiente m está dado por:







donde el símbolo Δ (letra griega delta) es una abreviatura que expresa diferencia o cambio. Esta fórmula es verdadera porque:

y + Δy = f (x +Δx) = m (x +Δx) + b = mx + mΔx + b = y + mΔx.

De ello se desprende que Δy = m Δx.

Esto representa un valor exacto para la pendiente de una línea recta. Si la función f no es lineal (es decir, su gráfica no es una línea recta), el cambio en y dividido por el cambio en x varía.

La diferenciación es un método para encontrar un valor exacto para esta tasa de cambio en un momento dado para el valor de x.

Por ello podemos interpretar la tasa de cambio como un valor límite.



El concepto de derivada es uno de los más importantes en el cálculo, por ello debemos familiarizarnos con la noción principal de derivada de una función.

Seguidamente podemos observar otro tutorial explicativo sobre el tema.

DERIVADA IMPLICITA- Ejercicios Resueltos

DERIVADA IMPLICITA- Ejercicios Resueltos.

Inicialmente hablamos de las derivadas en general, en esta entrada trataremos el caso particular cuando la variable dependiente NO está despejada debido a que se repite dentro de la función y no es posible hacerlo; en éste caso entra lo que se conoce como derivada implícita.

Podemos encontrar funciones de todo tipo que deben desarrollarse de forma implícita, me refiero a funciones polinómicas, trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etc.


En muchos ejemplos, especialmente las derivadas de las ecuaciones diferenciales, las variables involucradas no están vinculados entre sí de una manera explícita. La mayoría de las veces, están unidas a través de una fórmula implícita, como F (x, y) = 0. Una vez que x es fijo, podemos encontrar y mediante cálculos numéricos. La pregunta es ¿cuál es la derivada al menos en un cierto punto? El método de diferenciación implícita responde a esta preocupación. Vamos a ilustrar esto con el siguiente ejemplo.


Ejemplo. Halla la ecuación de la recta tangente a la elips


25 x2 + y2 = 109

A continuación, se diferencian para encontrar la pendiente de la recta tangente.

Con el uso de las técnicas de diferenciación, obtenemos:














De forma equivalen nos queda: 3y + 50 x = 109.

Veamos el siguiente ejemplo ilustrativo en vídeo:




EJERCICIO RESUELTO 1.

x3 + y3 = 4


D ( x3 + y3 ) = D ( 4 ) ,
D ( x3 ) + D ( y3 ) = D ( 4 ) ,

3x2 + 3y2 y' = 0 ,

3y2 y' = - 3x2 ,

EJERCICIO RESUELTO 2.


































Ahora podemos mirar ejemplos que involucran funciones trigonométricas, echemos un vistazo para una mejor comprensión.