6.8.13

ECUACIONES EXPONENCIALES - Ejercicios resueltos

ECUACIONES EXPONENCIALES - Ejercicios resueltos.

En ésta entrada vamos a tratar sobre unas ecuaciones muy especiales.

Las ecuaciones exponenciales tienen la variable desconocida en el exponente. Vamos a tener en cuenta algunos ejemplos:


EJEMPLO ILUSTRATIVO.




La resolución de ecuaciones exponenciales es simple: tenemos que aplicar las leyes de los exponentes. Esto significa que si se puede escribir una expresión con la misma base en cada lado de la ecuación, podemos igualar los exponentes. Veamos los ejercicios:

EJERCICIO RESUELTO 1.

Resolver.



Cambie las bases de los números. recuerde que nueve es igual a tres elevado a al dos.



Las bases son las mismas por lo que se puede igualar los exponentes




Para resolver ecuaciones exponenciales, utilizamos todas las estrategias para la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas.

EJERCICIO RESUELTO 3.

Resolución de ecuaciones mediante factor común. Vamos a mirar la solución del ejemplo ilustrativo:

Acomode la expresión

Saque un factor común

simplifique



Exprese los números como una potencia



Las bases son las mismas por lo que se pueden igualar los exponentes

t = 2



Ahora tenemos más ejercicios para practicar. El desarrollo se presenta paso a paso en el siguiente vídeo:

ECUACIONES LOGARITMICAS - Ejercicios resueltos

ECUACIONES LOGARITMICAS - Ejercicios resueltos.

EJERCICIO RESUELTO 1:

logb(x2) = logb(2x - 1).

Dado que las bases es la misma (el valor desconocido "b", en este caso), entonces los interiores deben ser iguales. Esto es: x2 = 2x - 1

Entonces puedo resolver la ecuación resolviendo esta ecuación cuadrática:


x2 - 2x + 1 = 0
(x - 1)(x - 1) = 0

A continuación, la solución es x = 1.

EJERCICIO RESUELTO 2:

logb(x2 - 30) = logb(x).

Dado que los registros tienen la misma base, los argumentos son iguales y al resolver tenemos:

x2 - 30 = x
x
2 - x - 30 = 0
(x - 6)(x + 5) = 0
x = 6, - 5

Ya que no se puede tener un valor negativo en el interior de un logaritmo, la solución de la ecuación cuadrática "x = -5" no puede ser una solución válida a la ecuación logarítmica original (en particular, el valor negativo no funcionará en el lado derecho de la ecuación original).

La solución es x = 6. es decir el valor positivo.

Veamos algunos ejemplos más complejos en el siguiente vídeo:



POLINOMIOS - Ejemplos

INTRODUCCIÓN A LOS POLINOMIOS EN ALGEBRA.

Los polinomios son expresiones algebraicas que incluyen números y variables reales. Las variables sólo pueden incluir sumas, restas y multiplicaciones.

Los Polinomios contienen más de un término. Los polinomios en realizan son la suma de varios monomios.

Un monomio tiene un solo término.

Un monomio tiene un término: 5a; 8x2; 3.
Un binomio tiene dos términos: 3x3-2; 9y - 2y2
Un trinomio tiene 3 términos: 7x2-3x + 2; 29m - 2m3 + 4m6

Los polinomios se escriben normalmente de forma decreciente. El término con el más alto exponente en el polinomio se escribe normalmente primero.

El primer término de un polinomio se llama término principal.

Los polinomios son muy utilizados en matemáticas y también en las ciencias. De forma cotidiana, son utilizados en cálculo y análisis matemático.

Las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas como la matemática elemental y el álgebra.


ECUACIONES - Ejercicios Resueltos

ECUACIONES EN ALGEBRA. Ejercicios.

El álgebra es una división de las matemáticas diseñadas para ayudar a resolver ciertos tipos de problemas de forma más rápida y más fácil. El Algebra se basa en el concepto de valores desconocidos llamados variables, a diferencia de la aritmética, que se basa exclusivamente en los valores numéricos conocidos.

La ecuación hace parte de una expresión algebraica y consiste en buscar el valor o los valores de una variable. Una variable es un número desconocido representado por cualquier letra del alfabeto (con frecuencia se utiliza la x). El valor de cada variable debe ser el mismo en cada problema.

Resolución de ecuaciones

Imagine que tienes una balanza. En el lado derecho hay 45 centavos y en el lado izquierdo hay 23 centavos y una cantidad desconocida de monedas de un centavo. La balanza está equilibrada, por lo tanto, sabemos que debe haber una cantidad igual de peso en cada lado.

Siempre y cuando se realice la misma operación (suma, resta, multiplicación, etc) en ambos lados de la ecuación, se mantendrá equilibrado. Para encontrar la cantidad desconocida de monedas de un centavo de la parte izquierda, retire 23 centavos de cada lado de la balanza. Esta acción mantiene equilibrada la balanza y aísla la cantidad desconocida. Dado que el peso (cantidad de monedas de un centavo) a ambos lados de la escala sigue siendo igual y la cantidad desconocida está solo, ahora sabemos que la cantidad desconocida en el lado izquierdo es el mismo que el resto (22 centavos) en la lado derecho.




Resolución de ecuaciones

El siguiente ejercicio muestra una ecuación simple y los pasos para resolverla.

Ecuación inicial / Problema x + 23 = 45

Resta 23 de ambos lados x + 23-23 = 45-23

Resultado x = 22



Ejemplos:

Ecuación / Problema inicial: x + 23 = 2x + 45

Restar x de cada lado x - x + 23 = 2x - x + 45
Resultado 23 = x + 45

Reste 45 de cada lado 23 - 45 = x + 45-45
Resultado -22 = x

Respuesta x = -22

Veamos algunas ecuaciones trigonometricas



Ecuaciones de cuarto grado.

Veamos cómo solucionar una ecuación de grado superior, en éste caso de cuarto grado:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS - ejercicios resueltos

EXPRESIONES ALGEBRAICAS - Ejercicios.

El Algebra nos ayudan a razonar sobre los números. En un primer contacto, el estudiante debe darse cuenta que el álgebra es una habilidad. Y al igual que cualquier habilidad, tocar la guitarra por ejemplo, ésto requiere práctica, mucha práctica.

Lo primero que debemos destacar es que en el álgebra usamos letras y números. Sin embargo, las letras representan los números. Podemos imitar las reglas de la aritmética con las letras, porque entendemos que la norma será cierta para cualquier número.

Las Ecuaciones como expresiones algebraicas.


Una ecuación es una oración matemática que incluye un signo de igualdad (=).

Una expresión es un enunciado matemático, solo que no tiene un signo de igualdad.

Una expresión se compone de términos. Los términos son diferentes en cada uno de los valores de una expresión. Estos pueden ser separados por las operaciones, como signos más y menos.

Hay tres partes fundamentales en las expresiones: la variable, la constante y los coeficientes.

Variable: un número desconocido, a menudo representado por "x".
Constante: un número que no cambia
Coeficiente: el número que se multiplica por la variable


Los nombres de las expresiones algebraicas


monomio: 1 término, ejemplo xy
binomios: 2 Términos, ejemplo xy - 2x
trinomio: 3 Términos, ejemplo xy - 2x + 3y
Polinomio: más de un término, ejemplo xy - 2x + 3 y - 1



Cómo expresar palabras en símbolos


un número aumentó en doce: x + 12
la suma de dos veces un número mas seis: 2x + 6
un número menos ochenta: x - 80
veintiocho partido por la mitad: 28 ÷ 2
el producto de un número y siete: 7x
el cociente de un número y cuatro: x ÷ 4
tres veces un número mas cinco: 3x + 5
un número distribuido uniformemente entre seis: x ÷ 6
tres veces el total de un número mas cinco 3 (x + 5)



Más expresiones algebraicas:

Un número más dos es ocho: x + 2 = 8
La diferencia entre un número y siete es tres negativo: x - 7 = -3
Doce es el producto de un número por tres: 12 = 3x
La mitad de un número es veinte: ½ x = 20


Ejercicios Resueltos:

Un electricista cobra $ 45 por hora y gasta 20 dólares diarios en gasolina. Escribe una expresión algebraica para representar sus ganancias por un día.

Solución: Sea x el número de horas que el electricista trabaja en un día. Las ganancias del electricista se pueden representar por la siguiente expresión algebraica:

Solución: 45x - 20

Recordemos que una expresión algebraica es una expresión matemática que está compuesta las variables, los números y las operaciones.


TÉRMINOS SEMEJANTES - Ejercicios Resueltos

TÉRMINOS SEMEJANTES - Ejercicios Resueltos.

En las expresiones algebraicas, los términos semejantes son términos que contienen las mismas variables elevadas a la misma potencia.

En conceptos generales es como mezclar manzanas con naranjas; sólo se pueden combinar términos semejantes (manzanas con manzanas). Para combinar términos semejantes, sume los coeficientes y coloque la variable común.

La Combinación de términos semejantes es un proceso utilizado para simplificar una expresión o una ecuación usando la suma y la resta de los coeficientes de los términos.

Considere la siguiente expresión

8 + 7
Mediante la adición de 8 y 7, se puede encontrar fácilmente que la expresión es equivalente a 15.

Las expresiones algebraicas se pueden simplificar como el ejemplo anterior combinando los términos semejantes. Considere la expresión algebraica a continuación:

12x + 7 + 5x

Como podemos notar, 12x y 5x son términos semejantes. Por lo tanto, se pueden sumar los coeficientes, 12 y 5. Este es un ejemplo sencillo de combinar términos semejantes. El resultado es:

17x + 7

Reducción de términos Semejantes:
Ejercicios resueltos:



Más ejercicios resueltos para la reducción de términos semejantes en álgebra.

Presentamos a continuación otro vídeo tutorial de gran interés con varios ejemplos resueltos paso a paso:

FORMULA DE LA PARABOLA - Ejercicios Resueltos

FORMULA DE LA PARABOLA - Ejercicios Resueltos

En esta entrada hablaremos sobre la fórmula de la parábola.

La ecuación de una parábola se puede expresar en forma standar o de vértice, como se muestra en la imagen siguiente.


Ecuación estándar

La forma estándar de la ecuación de una parábola se expresa generalmente:

y = ax2 + bx + c

El papel importante de la 'a'

Si a> 0, la parábola se abre hacia arriba
si a <0, se abre hacia abajo.

El eje de simetría.

El eje de simetría es la recta x = -b/2a

Forma de vértice de la ecuación.

La forma de vértice de la ecuación de una parábola se expresa generalmente como:


y= a(x-h)2+k

Si a es positivo, la parábola se abre hacia arriba como una "U" regular.
Si a es negativo, entonces la gráfica se abre hacia abajo, como un revés de "U".

A continuación presentamos ejemplos para reforzar:



Problemas y ejercicios resueltos sobre la parábola y conceptos generales: