17.1.13

Clasificación de Triángulos

Clasificación de Triángulos

Conceptos fundamentales sobre clasificación de Triángulos, aspectos importantes con ejemplos.

En el siguiente tutorial podemos despejar dudas sobre aspectos concernientes a los diferentes criterios que utilizamos para realizar una clasificación.

Estos detalles se muestran a continuación:

Clasificación de triángulos según lados y ángulos

Video tutorial referente a la clasificación de los triángulos en todos sus aspectos; explicación descriptiva y precisa sobre éste tema.

Te recomiendo observar el tutorial y tomar nota de los aspectos importantes:

Clasificación según ángulos...

Descripción de la clasificación de triángulos según sus ángulos. Importancia y conceptos fundamentales. caracteristicas y propiedades de la clasificación de triángulos.



La clasificación de los Triángulos.

Explicación detallada sobre la clasificación de los triángulos. Conceptos básicos y fundamentales.
Referencia...
http://www.youtube.com/watch?v=3DtwrsE5AA0
http://www.youtube.com/watch?v=7lzOYCioTbQ
http://www.youtube.com/watch?v=oORodfTuTW0

Triángulos - Ejercicios Resueltos

Triángulos - Ejercicios Resueltos

Triángulo, figura geométrica.

Explicación sobre triángulos y su descripción.

Es de gran importancia manejar los conceptos que abarcan las generalidades para éstas figuras, debido a que estamos hablando de una de las figuras fundamentales en la geometría.

Podemos comenzar mirando algunos aspectos de la clasificación de los triángulos:


Definición de Triángulo.

Triángulos como intersección de semiplanos.
A continuación tenemos detalles importantes acerca de la noción y la introducción a ésta figura geométrica:


Ejercicios sobre Triángulos.

Determinación de valores desconocidos dentro de un triángulo.

Con algunos datos básicos podemos encontrar otros valores desconocidos para un triángulo, veamos:


Referencia...
http://www.youtube.com/watch?v=1-fSzupPn94
http://www.youtube.com/watch?v=NPEdGLuDd8A
http://www.youtube.com/watch?v=4V5iQBgbxI0


Teorema de Pitágoras - Ejercicios Resueltos

Teorema de Pitágoras - Ejercicios Resueltos

Teorema de Pitágoras...

Explicado mediante ejemplos para abordar su aplicación.

En el siguiente tutorial tenemos la clase acerca de los aspectos generales del teorema de pitágoras; se puede conocer sobre el triángulo rectángulo y el manejo de los catetos o lados de éste triángulo para aplicar el teorema.

Teorema de Pitágoras - Triángilo rectángulo.

Conceptos y aplicación del Teorema de Pitágoras desde la base de un triángulo rectángulo:

Explicación del Teorema de Pitágoras.

Descripción mediante simulacro de la noción de aplicación del Teorema de Pitágoras.

Nociones sobre la suma de áreas:

Ejercicio Resuelto del Teorema de Pitágoras.

Ejercicio explicativo sobre el Teorema de Pitágoras y los elementos del triángulo rectángulo.

Triángulo Rectángulo y Teorema de Pitágoras

Descripción de los lados del triángulo y aplicación del Teorema de Pitágoras, esto explicado con ejercicios resueltos utilizando los conceptos de hipotenusa y catetos.


Fórmula del Teorema de Pitágoras
Explicación con ejemplos de la forma de trabajar con el Teorema de Pitágoras.
Referencias...

http://www.youtube.com/watch?v=Y2CW0oNzsTA
http://www.youtube.com/watch?v=wiBHcHcrma4
http://www.youtube.com/watch?v=ek_IzL1lIZE
http://www.youtube.com/watch?v=9s5GNWhmiJs
http://www.youtube.com/watch?v=I2nIgM_PDSE


Caso 6 Factorización - Ejercicios Resueltos

Caso 6 Factorización - Ejercicios Resueltos

Trinomio de la Forma x2+bx+c

Trinomio de la forma x2+bx+c . Caso sexto de factorización. Ejemplos.

Seguramente has escuchado el caso para el cual debas buscar dos números que sumados den el coeficiente del termino del centro y que multiplicados den el último número, pues éste es precisamente éste caso.

Vamos a observar los siguientes ejercicios resueltos:


Factorización Trinomio de Segundo Grado...

Explicación paso a paso del caso seis de factorización con ejemplos desarrollados.

Factorización de un polinomio de segundo grado:

Trinomios de la Forma...

Ejemplos: Números que sumados nos den el coeficiente del término del centro y multiplicados nos den el tercer término...

Caso 6 Trinomio de la Forma...

Ejercicios resueltos.

podemos mirar cómo descomponer las siguientes expresiones algebraicas:

Trinomios...

Descripción de la factorización para trinomios de la forma... explicación de signos.

Referencias...

http://www.youtube.com/watch?v=fmPpfc2B9oc
http://www.youtube.com/watch?v=JC8jMC2c87g
http://www.youtube.com/watch?v=TZcUxb1gnDk
http://www.youtube.com/watch?v=hnbajzCVAho
http://www.youtube.com/watch?v=zWQriZnwkYc

Diferencia de Cuadrados - Ejercicios Resueltos

Diferencia de Cuadrados - Ejercicios Resueltos

Modelo de la Diferencia de Cuadrados:

Explicación descriptiva de la factorización de una Diferencia de Cuadrados con ejemplos resueltos.
Es uno de los casos más sencillos de la factorización y uno de los más utilizados:


Ejemplos Resueltos de Diferencia de Cuadrados:

Identificación de una diferencia de cuadrados y procedimiento para realizar varios ejercicios.


Diferencia de Cuadrados, descripción de la raiz cuadrada:

Descripción del proceso para realizar una diferencia de cuadrados, todo paso a paso.

Ejercicios resueltos en vídeo:


Diferencia de Cuadrados Perfectos:

Explicación fácil sobre la solución de ejercicios para una diferencia de cuadrados perfectos. Tenemos varios ejemplos con diferentes expresiones:



Ejercicios sobre Diferencia de Cuadrados Perfectos:
Más ejercicios resueltos sobre diferencia de cuadrados perfectos con procedimiento paso a paso.


Referencias..


http://www.youtube.com/watch?v=tABhBMtBmSY
http://www.youtube.com/watch?v=dnp7V6knnT4
http://www.youtube.com/watch?v=mjaOvauIjPU
http://www.youtube.com/watch?v=SgVVvpogewY
http://www.youtube.com/watch?v=c3DSnwJDM4k

Trinomio Cuadrado Perfecto - Ejercicios Resueltos

Trinomio Cuadrado Perfecto - Ejercicios Resueltos

Como factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto:

Pasos detallados que muestran como identificar y factorizar un trinomio cuadrado perfecto.


Trinomio Cuadrado Perfecto:

Se determina la forma de realizar la factorización a un trinomio que sea cuadrado perfecto.


Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto:

Explicación de la forma como se debe ordenar un trinomio para establecer si es cuadrado perfecto y su posterior desarrollo.



Un trinomio Cuadrado Perfecto:

Descripción clara sobre un trinomio cuadrado perfecto, determinar que sea cuadrado y además que sea perfecto. Identificación y procedimiento para realizarlo.


Ejemplos Resueltos de Trinomio Cuadrado perfecto:

Varios ejemplos resueltos sobre la factorización de un trinomio cuadrado perfecto con explicación detallada.

Referncias...

http://www.youtube.com/watch?v=sXNm9C34APU
http://www.youtube.com/watch?v=1dvGz8vQCeU
http://www.youtube.com/watch?v=nmQufZ8Ey9Q
http://www.youtube.com/watch?v=TNQdLqzyYuc

Segundo Caso de Factorización - Ejercicios Resueltos

Segundo Caso de Factorización - Ejercicios Resueltos

Factor común por agrupación de términos:

Describe la forma de resolver ejercicios de factorización que permiten emplear el segundo caso por agrupación.

la explicación se presenta paso a paso con métodos muy sencillos de utilizar.

A continuación podemos observar el tutorial:




Factorización del Caso II:

Descripción paso a paso para la solución de ejercicios de factorización por agrupación de términos, describiendo el uso de paréntesis.




Factorización, Segundo Caso:

Factorizar expresiones algebraicas por el método de agrupación de términos que tienen relaciones entre ellos.

Miremos los mecanismos para encontrar las soluciones con ejercicios resueltos:


Caso II de Factorización:

Describe las condiciones para emplear el método de factorización por agrupación de términos.

Explicación factor común por Agrupamiento:

Método explicativo para entender la forma como se debe factorizar una expresión por el segundo caso.

Agrupación de Términos:

Descripción del método de factorización por agrupación de términos en seis términos con buen manejo de los exponentes.



Referencia:

http://www.youtube.com/miprofejorge
http://www.youtube.com/miprofejorge
http://www.youtube.com/watch?v=pluRmdg4dPU
http://www.youtube.com/watch?v=d5EuMHtqwTk
http://www.youtube.com/watch?v=7hIumnrJZ6U
http://www.youtube.com/watch?v=8GxWh61WRlo


Primer Caso de Factorización - Ejercicios Resueltos

Primer Caso de Factorización - Ejercicios Resueltos

Factor común:

Explicación detallada del primer caso de factorización.
En el siguiente vídeo podemos observar de manera muy clara y paso a paso la forma correcta de aplicar el factor común para factorizar expresiones algebraicas.



Factor común por agrupación de términos:

Ejercicio resuelto de factor común por agrupamiento de términos con cuatro y seis términos, veamos el paso a paso:

 

Factorización Primer Método, El factor Común:

Explicación del concepto de factorización como mecanismo contrario a desarrollar una multiplicación aplicando propiedad distributiva.


Factor Común, Primer Caso

Sacar factor Común de una Expresión Algebraica, primer caso de factorización.

Es de suma importancia mecanizar éste caso ya que es la entrada al mundo de la factorización en el álgebra básica.
A continuación podemos ver un ejemplo de factor común polinomio:





Referencia:
http://www.youtube.com/miprofejorge

Multiplicación de Números Naturales

Multiplicación de Números Naturales

En forma similar a la empleada para obtener la suma de dos números enteros de una manera intuitiva, interpretaremos el producto o multiplicación de dos números enteros mediante la recta numérica.

Si a y b son números enteros, el producto de a y b se representa por:

a x b, ab, a • b , (a) (b); donde "a" es el primer factor y "b" es el segundo factor.

Obtenemos el producto a x b mediante la siguiente interpretación geométrica:



1. Gráfica del plano cartesiano


Trazamos dos rectas numéricas que sean perpendiculares (una horizontal y la otra vertical) y asignamos el entero cero al punto de intersección. Los números positivos y negativos quedan representados en cada recta como lo indica la figura.

A las rectas numéricas dispuestas en esta forma se les llama sistema de coordenadas.

La recta horizontal se llama eje de las abscisas y la vertical se llama eje de las ordenadas.

2. Localizamos el primer factor a sobre la recta horizontal y el segundo factor
b sobre la recta vertical




3. Trazamos la recta R1 que pasa por el punto que corresponde al primer factor a
(sobre la horizontal) y por el punto que corresponde al 1 sobre la vertical.








4. Por el punto b (que corresponde al segundo factor y que se encuentra sobre la recta vertical) trazamos la recta R2 tal que R1IIR2,es decir que R1 sea paralela a R2. El punto de intersección de R2 con la horizontal corresponde al producto a x b, como se indica en la figura.

Como a y b son números enteros, entonces puede ocurrir que los dos factores tengan igual signo o signos diferentes.

PRODUCTO DE NÚMEROS ENTEROS DE IGUAL SIGNO

Ejemplo 1

Determinemos 3X4, donde los dos factores son positivos. Se traza R1 que pasepor el punto que corresponde a 1 sobre la vertical y por el que corresponde a 3sobre la horizontal. A continuación trazamos por el punto que corresponde anúmero 4 sobre la vertical, la recta R2|| R1.
Observemos en la figura, quela recta R2 corta al eje horizontal en un punto que corresponde al número entero12.Luego, 3x4= 12, donde 12tiene signo positivo (+12) y esel producto de los valoresabsolutos de los factores.



Ejemplo 2

Determinemos -3 X -2, donde los dos factores son negativos. La figura nos;ilustra que el resultado es + 6.Procediendo de la mismamanera, teniendo cuidado en laubicación de cada numero, esdecir, en este caso los númerosse ubican en la parte negativade cada recta, por esto (-3);queda ubicado en la parte


izquierda de la recta horizontal y (-2) en la parte inferior de la recta vertical seobtiene la gráfica.

Luego, (-3) X (-2) = + 6 = 6, donde 6 tiene signo positivo (+6) y es producto delos valores absolutos de los factores

|- 3| = 3 y |-2| = 2, o sea: |- 3| • |- 2| =3X2 = 6.

Los ejemplos anteriores nos permiten generalizar y dar la siguiente regla;práctica:

El producto de dos números enteros del mismo signo es otro número entero
cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores y susigno es positivo.

Ejemplo 3

Como aplicación de la regla dada, tenemos:

5 x 8 = + 40 = 40

-5 x - 8 = + 40 = 40

-128 x -235 = + 30 080 = 30 080
-1 x -128 = +128= 128

PRODUCTO DE NÚMEROS ENTEROS DE DISTINTO SIGNO


Ejemplo 4

Determinemos 2 X ( 4), donde el primer factor es positivo y el segundo factor
es negativo.

En este caso el 2, por ser positivo, queda;ubicado en la parte derecha de la recta horizontal, mientras que el (-4) por sernegativo queda en la parte inferior de la recta vertical. La figura nos ilustra que el resultado es 8. Luego, 2 X ( 4) = 8, donde 8tiene signo negativo y su valor absoluto coincide con el producto de los valoresabsolutos de los dos factores.

|2| = 2, |-4| = 4 y |-8| = |2| X |-4| = 2 X 4 = 8





El producto de dos números enteros de distinto signo es otro número entero
cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores y su
signo es negativo.

PROPIEDADES

La interpretación geométrica de la multiplicación de números enteros la hemos establecido con el fin de que esta operación tenga las mismas propiedades dela multiplicación de números naturales y cero. A continuación enunciamos estas propiedades y sus aplicaciones, dejando como ejercicio la verificación geométrica de las mismas.

A. Propiedad Clausurativa.


Si a, b Z, entonces a X b € Z. El producto de dos números enteros es otro
número entero.



Ejemplo 10


-8 є Z y 4 є Z; -8 x 4 = -32; y -32 є Z.



-3 є Z y -4 є Z; -3 x (-4)= +12 y +12 є Z.

-20 є Z y 0 є Z-20 x 0 = 0 y 0 є Z.

B. Propiedad conmutativa

Si a, b Z, entonces ab = ba.

Ejemplo 11
-5 x 3 = -15 y 3 x (-5) = -15. Luego, -5 x 3 = 3 x (-5).


-4 x (-6) = + 20y -5 x (-4) = + 20.Luego,
4 x ( 5) = 5 x (4).



C. Propiedad asociativa

Si a, b y c Z, entonces (ab) c = a (be).

Ejemplo 12


a) (5 x 3) x (-4) = 15 x (-4) = -60 5 x {3 x (-4)} = 5 x (-12) = -60

Luego, (5 x 3) x ( 4) = 5 x (3 x ( 4)).


b) [-5 x (-3)] x (-1) = 15 x (-1) = -15 y -5 x [(-3) x (-1)] = -5 x 3 = -15


Luego, [-5x (-3)] x (-1) = -5 x [(-3) x (-1)].


D. Propiedad del elemento neutro (modulativa)

Si a є Z, entonces a • 1 = 1 • a = a.

El número 1 es el elemento neutro para el producto de números enteros.

Ejemplo 13

-5 x 1=1=1x (-5) = -5 4x1 = 1 x 4 = 4 0 x 1 = 1 x 0 = 0

Observemos que ( 1) x 5 = 5 X ( 1) = 5, pero 5 ≠ 5, luego 1 no es

elemento neutro para el producto de enteros.


E. Propiedad uniforme



Si a, b y c 6 Z y a = b, entonces a • c = b • c

Ejemplo 14

Sea 5 x 3 = 15 una igualdad de números y 4 e Z.

Entonces, (-5 x 3) x (-4) = -5 x [3 x (-4)] = -5 x (-12) = +60y
-15 x (-4) = +60.;Luego, (-5 x 3) X ( 4) = -15 x (-4).


F. Propiedad cancelativa


Si a, b y c є Z y a • c = b • c, entonces a = b, con c ≠ 0

Ejemplo 15 Hallemos el valor de x entero en: 3 • x =7 • ( -3).
Solución 3 • x = -7 • (3)
3 • x =3 • ( -7) (propiedad conmutativa)
x = -7 (propiedad cancelativa)
G. Propiedad distributiva
Si a, b y c e Z, entonces (a + b) • c = a • c + b • c.