Ecuación y Elemento de la Elipse. Ejemplos.
Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano tal que la suma de las distancias a partir de T a dos puntos fijos F1 y F2 es una constante dada, K.TF1 + TF2 = K
F1 y F2 son los focos de la elipse.
El eje mayor es el segmento que contiene tanto los focos y tiene sus extremos en la elipse. Estos extremos se llaman vértices. El punto medio del eje mayor es el centro de la elipse.
El eje menor es perpendicular al eje mayor en el centro, y los puntos finales del eje menor se denominan co-vértices.
Los vértices están en la intersección del eje mayor y la elipse.
Los co-vértices están en la intersección del eje menor y la elipse.
Podemos pensar en una elipse como un óvalo.
Una elipse se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen la siguiente ecuación:
donde:
x, y son las coordenadas de cualquier punto de la elipse,
a, b son el radio en los ejes x e y, respectivamente,
Esta ecuación es muy similar a la que se utiliza para definir un círculo. La única diferencia entre el círculo y la elipse es que en una elipse, hay dos medidas de radio, uno horizontalmente a lo largo del eje x, y otro verticalmente a lo largo del eje y. Claramente, para un círculo estos dos radios tienen el mismo valor.
La forma general de una
elipse está dada por la ecuación:
ax2 + by2 + cx + dy + e = 0.
EJERCICIO RESUELTO 1.
ax2 + by2 + cx + dy + e = 0.
EJERCICIO RESUELTO 1.
Encontrar la ecuación
de una elipse centrada en el origen con el eje mayor de longitud 10
situada a lo largo del eje x y con
eje menor de longitud 6 a lo largo del eje y.
Solución:
El eje mayor 10 tiene
una longitud a lo largo del eje x, la elipse tiene centro en (0,0), por
lo que sus puntos finales están en (-5,0) y
(5,0). Por lo tanto,
a = 5. Del mismo modo, b = 3. Así que la ecuación de esta elipse es:
a = 5. Del mismo modo, b = 3. Así que la ecuación de esta elipse es:
x2
y2 x2 y2
---- + ---- = 1 o
---- + ---- = 1
52
32 25 9
EJERCICIO RESUELTO
2.
Describir la curva
representada por x2 + 9y2 - 4x - 72y + 139 = 0.
Completar el cuadrado
(recuerde que debemos buscar (x - h)2 y (y -
k)2).
x2 + 9y2 - 4x - 72y + 139 = 0
(x2 - 4x) + 9(y2 - 8y) + 139 = 0
(x2 - 4x + 4) -4 + 9(y2 - 8y + 16) - 9(16) + 139 = 0
(x - 2)2 + 9(y - 4)2 = 9
(x - 2)2 (y - 4)2
-------- + -------- = 1
9 1
Luego, (h, k) = (2, 4), a = 3 y b = 1.
Por lo tanto, la ecuación representa una elipse con centro en (2,4), el eje
mayor paralelo al eje x de longitud 6 y el eje menor paralelo al eje y de
longitud 2.
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