TEOREMA DEL BINOMIO - Ejercicios resueltos

TEOREMA DEL BINOMIO

El teorema del binomio

El teorema del binomio es un teorema fundamental del álgebra que se utiliza para expandir expresiones de la forma:



donde n puede ser cualquier número.

El teorema del binomio se presenta de la siguiente manera:




pero cuando se comprime se convierte en:







Las ecuaciones anteriores son bastante complicadas, pero vas a entender lo que significa cada componente si nos fijamos en el apartado de combinaciones antes de mirar el teorema del binomio. El resto debería ser más claro en el momento en que haya terminado con esta entrada.

El teorema del binomio es importante porque a medida que n se hace más grande, las expresiones tienden a ser mucho más complicadas.

Por ejemplo:








Como se puede ver, lo anterior es relativamente complicado y necesitaríamos tomar un tiempo para ampliarlo a la forma final, por lo que surge la necesidad de alguna forma de hacer que la expansión   sea mucho más rápida de resolver y que sea también más fácil.

Los coeficientes de cada término en la expresión anterior son:  {1, 6, 15, 20, 15, 6, 1}

y estos se denominan coeficientes binomiales. Estos son también los números que corresponden a la posición 6 en el Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal 

El triángulo de Pascal se refiere a un triángulo de números con cada fila posterior correspondiente al siguiente número entero de cero en adelante. Estos números también resultan ser los coeficientes binomiales. 

La matemática detrás de triángulo de Pascal es un poco más avanzada, pero el propio triángulo es muy simple. A continuación se muestra el triángulo de Pascal para los primeros números de cero a ocho.

EJERCICIOS DE SUMA Y RESTA DE MATRICES

EJERCICIOS RESUELTOS DE SUMA Y RESTA DE MATRICES

Ejemplo: una matriz con 3 filas y 5 columnas se puede añadir a otra matriz de 3 filas y 5 columnas.
Pero no se podría agregar a una matriz con 3 filas y 4 columnas (puesto que las columnas no coinciden en tamaño)

La suma de matrices es la operación de sumar dos matrices mediante la adición de las entradas correspondientes juntas.

EJERCICIOS RESUELTOS



También podemos restar una matriz de otra, siempre que tengan las mismas dimensiones.

A - B se calcula restando elementos correspondientes de A y B, y tiene las mismas dimensiones que A y B. Por ejemplo:

SUMA Y RESTA DE MATRICES

En el siguiente vídeo se consignan más ejemplos de suma y resta con matrices de mayor tamaño ( matrices 3x3)

Matriz: Suma y Resta

Las matrices se pueden sumar o restar la una de la otra solamente si tienen el mismo tamaño, lo que significa que tienen que tener el mismo número de filas y columnas. Esto se debe a que al añadir o restar matrices, los operadores trabajan en las entradas correspondientes de las matrices, de ahí la necesidad del mismo tamaño.

Veamos la forma de la Matrix, como se muestra en estas dos matrices A y B de tamaño 2 x 2









EJERCICIO RESUELTO






     

TEOREMA DE LA BISECTRIZ ejercicio resuelto

TEOREMA DE LA BISECTRIZ

En geometría, el ángulo bisectriz ó teorema de la bisectriz se refiere a las longitudes relativas de los dos segmentos de ese lado de un triángulo que está dividido por una línea que divide en dos el ángulo opuesto. Se equipara sus longitudes relativas a las longitudes relativas de los otros dos lados del triángulo. 

Considere un triángulo ABC. Deje que la bisectriz del ángulo A se cruza con el lado BC en un punto D. El teorema de la bisectriz afirma que la relación de la longitud del segmento de línea BD a la longitud del segmento DC es igual a la relación de la longitud del lado AB para la longitud del lado AC.

El teorema de la bisectriz del ángulo se utiliza comúnmente cuando se conocen las bisectrices de los ángulos y las longitudes de los lados. 

Una bisectriz de un ángulo de un triángulo isósceles también divide en dos el lado opuesto, cuando la bisectriz del ángulo biseca el ángulo del vértice del triángulo.

Demostración del Teorema de la Bisectriz

Bisectrices de los ángulos en un triángulo tienen una propiedad característica de dividir el lado opuesto en la relación de los lados adyacentes. Más exactamente,
Deje AD - D con el BC - ser la bisectriz de ∠ A en ΔABC. Si b = AC, c = AB, m = CD, y n = BD, a continuación,
b / c = m / n.

El teorema de ángulo bisectriz implica una proporción al igual que con los triángulos semejantes. Pero tenga en cuenta que usted nunca consigue triángulos semejantes cuando biseca un ángulo de un triángulo (a menos que usted biseca el ángulo del vértice de un triángulo isósceles, en cuyo caso la bisectriz divide el triángulo en dos triángulos congruentes).

Por alguna razón, los estudiantes a menudo se olvidan de este teorema. Así que cada vez que vea un triángulo con uno de sus ángulos bisectados, considere el uso del teorema.

EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESION ARITMETICA

EJERCICIOS DE PROGRESIÓN ARITMÉTICA

En matemáticas, una progresión aritmética (PA) o una secuencia aritmética es una secuencia de números tales que la diferencia entre los términos consecutivos es constante. Por ejemplo, la secuencia 4, 9, 14, 19, 24, 29 ... es una progresión aritmética con diferencia común de 5 y cuyo primer término es 4.

Una cantidad de términos  finito de una progresión aritmética se llama una progresión aritmética finita y a veces se nombra simplemente como progresión aritmética. 

La suma de una progresión aritmética finita se llama una serie aritmética. 

El comportamiento de la progresión aritmética depende de la diferencia común (d). Si la diferencia común es: 

Positiva, los miembros (términos) crecerán hacia el infinito positivo. 

Negativa, los miembros (términos) crecerán hacia el infinito negativo.

Por una progresión aritmética de términos m, nos referimos a una secuencia finita de la forma 

a, a + d, a + 2d, 3d A +,. . . , A + (m - 1) d. 

El número real a se llama el primer término de la progresión aritmética y el número real d se llama la diferencia de la progresión aritmética.

Veamos en el siguiente tutorial un ejercicio resuelto paso a paso.

EJERCICIO SOBRE PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Ejercicio resuelto 01

Considere la secuencia de números
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23.
Esta secuencia tiene la propiedad de que la diferencia entre los términos sucesivos es constante e igual a 2.
Aquí tenemos: a = 1; d = 2.

Ejercicio resuelto 02

Considere la secuencia de números
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32.
Esta secuencia tiene la propiedad de que la diferencia entre los términos sucesivos es constante e igual a 3.
Aquí tenemos: a = 2; d = 3.

Secuencia aritmética

progresión aritmética

Una secuencia como 1, 5, 9, 13, 17 o 12, 7, 2, -3, -8, -13, -18, que tiene una diferencia constante entre los términos. El primer término es a1, la diferencia común es d, y el número de términos es n.

Fórmula explícita dela progresión aritmética:

a_n =  a₁ + d ( n – 1 ) 

Ejemplo 1: 

3, 7, 11, 15, 19 tiene A1 = 3, d = 4,
y n = 5. La fórmula explícita es
un = 3 + (n - 1) · 4 = 4n - 1

Ejemplo 2:
3, -2, -7, -12 tiene a1 = 3, d = -5,
y n = 4. La fórmula explícita es
an = 3 + (n - 1) (-5) = 8 - 5n

La Progresión aritmética. 

La secuencia numérica, en el que cada término siguiente a partir de la segunda es igual al término anterior, añadido con la constante para este número de secuencia d, se llama una progresión aritmética. El número d se llama diferencia común. Cualquier término de una progresión aritmética se calcula mediante la fórmula: 

a_n =  a₁ + d ( n – 1 )

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON FRACCIONARIOS

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON FRACCIONARIOS

Las ecuaciones que contienen fracciones

Acomode las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Luego resuelve la ecuación mediante la aplicación de las operaciones convenientes a ambos lados de la misma.

Proceso de Resolución de ecuaciones lineales

Si la ecuación contiene fracciones utiliza el mínimo común denominador para borrar las fracciones. Haremos esto multiplicando ambos lados de la ecuación por el común denominador.

Además, si hay variables en los denominadores de las fracciones se debe identificar los valores de la variable que dará a la división por cero ya que necesitaremos para evitar estos valores en nuestra solución.

Simplificar ambos lados de la ecuación. Esto significa la eliminación de cualquier paréntesis y combina los términos semejantes.

Utilice los dos primeros hechos anteriores para obtener todos los términos con la variable en un lado de las ecuaciones y todas las constantes en el otro lado .

Tenga en cuenta que por lo general sólo dividimos ambos lados de la ecuación por el coeficiente si se trata de un número entero o multiplicar ambos lados de la ecuación por el recíproco del coeficiente si se trata de una fracción .

ECUACIONES LINEALES CON FRACCIONES

VERIFICAR SU RESPUESTA

Este es el último paso y el paso que más a menudo se omite, sin embargo, es probablemente el paso más importante en el proceso . Con este paso se puede saber si tienes la respuesta correcta mucho antes de que su instructor nunca lo revise. Verificamos la respuesta conectando los resultados de los pasos anteriores en la ecuación original . Es muy importante revisar la ecuación original, ya que puede haber cometido un error en el primer paso que de lugar a una respuesta incorrecta.

Además, si hubo fracciones en el problema y no había valores de la variable que dan a la división por cero (recuérdese el primer paso), es importante asegurarse de que uno de estos valores no terminan en el conjunto solución .

EJERCICIOS RESUELTOS

Algunos estudiantes encuentran muy intimidantes las ecuaciones con fracciones. Bueno, no se preocupe que en esta entrada, usted aprenderá cómo manejar las fracciones.

Eliminación de fracciones en las ecuaciones

Un método para resolver ecuaciones con fracciones es deshacerse de las fracciones en conjunto. Recuerde, las fracciones son una manera de representar la división. Por ejemplo, 11/12 es igual a 11 dividido por 12.

Para deshacerse de la fracción, podemos usar el frente de división, multiplicación. Lo contrario de dividir por 12 es multiplicar por 12. Observe lo que sucede a la fracción cuando multiplicamos la ecuación (11/12) x + 5 = 27 12.

ECUACIONES LINEALES Ejercicios resueltos

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES LINEALES

Una ecuación lineal es una ecuación algebraica en la que cada término es una constante o el producto de una constante y la variable es de grado uno para las ecuaciones lineales de primer grado que son las que trataremos en esta entrada.

Las ecuaciones lineales pueden tener una o más variables. Las ecuaciones lineales se producen abundantemente en la mayoría de las áreas de las matemáticas y sobre todo en las matemáticas aplicadas.

Mientras que surjan de forma natural al modelar muchos fenómenos, que son particularmente útiles ya que muchas ecuaciones no lineales se pueden reducir a ecuaciones lineales por el supuesto de que las cantidades de interés varían de sólo una pequeña parte de algún estado.

Las Ecuaciones lineales no incluyen exponentes. En esta entrada se considera el caso de una sola ecuación para el que uno busca las soluciones reales. Ahora podemos revisar el siguiente vídeo como una introducción para comprender todos los despejes necesarios.

Ecuaciones lineales - Ejercicios resueltos

Ecuaciones lineales con una incógnita

Una ecuación lineal se presenta como cualquier otra ecuación. Se compone de dos expresiones establecidas iguales entre sí.
Una ecuación lineal es especial debido a lo siguiente:

• Tiene una o dos variables. 
• Ninguna variable en una ecuación lineal se eleva a una potencia superior a 1 o se utiliza como denominador de una fracción. 

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

En el siguiente tutorial mostramos varios ejercicio sobre ecuaciones vinculando también la destrucción de paréntesis.

Resolver ecuaciones lineales con una Variable

Resolver una ecuación lineal en una variable significa encontrar el valor de la variable; se trata de realizar las mismas operaciones en ambos lados de la ecuación para mantener la igualdad mientras se trabajaba para aislar la variable en un lado de la ecuación. En este ejemplo se resuelve para la variable x:

2( x – 1 ) = 13 - x

2x – 2 = 13 - x

2x + x = 13 + 2

3x = 15

x = 5

Es muy importante tener cuidando de realizar cada operación correctamente, pero la clave para resolver sistemas de ecuaciones lineales es tener claridad sobre la operación que se debe realizar a continuación. Aquí está una lista del orden habitual a seguir:

1.    Distribuir si es necesario

2.    Combinar términos si es necesario

3.    Sumar o restar para mover la variable x como término de un lado

4.    Sumar o restar para mover las constantes al lado opuesto de la x

5.    Divida ambos lados por el coeficiente de x

Muchas veces algunos de los pasos no serán necesarios. En el ejemplo anterior usamos el paso 1, luego paso 3, luego paso 4 y paso 5. 

SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ejercicios

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Antes de evaluar una expresión algebraica, es necesario simplificarla. Esto hará que todos sus cálculos sean mucho más fácil.

A continuación estos son los pasos básicos a seguir para simplificar una expresión algebraica:

• aplicar paréntesis por factores 
• utilizar reglas de los exponentes para eliminar paréntesis en términos con exponentes 
• combinar términos semejantes añadiendo coeficientes 
• combinar las constantes

Para simplificar una expresión algebraica, nos referimos a la escritura de la manera más compacta o eficiente, sin cambiar el valor de la expresión. Se trata principalmente de la reducción de términos semejantes, lo que significa que sumamos todo lo que se pueden sumar. La regla aquí es que sólo los términos semejantes se pueden sumar.

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Aprender a simplificar expresiones algebraicas es una parte clave para dominar el álgebra básica y una herramienta muy valiosa para todos los matemáticos o individuos que utilicen la matemática.

La simplificación permite cambiar una compleja y larga expresión en una más simple o más conveniente que es equivalente a la primera. Siguiendo unos sencillos pasos, es posible simplificar muchos de los tipos más comunes de expresiones algebraicas y sin ningún tipo especial de conocimiento matemático. 

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

para los dos términos que son semejantes, estos deben tener la misma variable o las variables, y cada variable se deben levantar a la misma potencia. El orden de las variables no importa.

Utilice el acrónimo para recordar el orden de las operaciones. A veces, simplificar una expresión significa nada más que la realización de las operaciones en la expresión hasta que no se puede hacer más. En estos casos, es importante recordar el orden de las operaciones de manera que se puedan evitar errores aritméticos. Generalmente el orden para las operaciones es el siguiente:

• paréntesis 
• exponentes 
• multiplicación 
• división 
• adición 
• sustracción

TASA EFECTIVA Y TASA NOMINAL Ejercicios resueltos

PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE TASA EFECTIVA Y TASA NOMINAL

El término "tasa de interés" es una de las frases más utilizadas en la financiación al consumo y las inversiones de renta fija. Por supuesto, hay varios tipos de tasas de interés: reales, nominales, efectivas, anuales y así sucesivamente. Las diferencias entre los distintos tipos de tasas, como nominal y real, se basan en varios factores económicos claves. Pero mientras estas variables técnicas pueden parecer triviales a las instituciones de crédito, los minoristas han estado tomando ventaja de la ignorancia general de la opinión pública de estas distinciones en el rastrillo de cientos de miles de millones de dólares a lo largo de los años. Por lo tanto, aquellos que entienden la diferencia entre las tasas de interés nominales y reales han dado un gran paso para convertirse en consumidores y los inversores más inteligentes.

EJERCICIOS RESUELTOS DE TASA EFECTIVA Y TASA NOMINAL

En las finanzas y la economía, la tasa de interés nominal o la tasa de interés nominal se refiere a dos cosas distintas: la tasa de interés antes del ajuste por inflación (en contraste con la tasa de interés real); o para los tipos de interés "según lo indicado" sin ajuste por el efecto total de la capitalización (también conocida como la tasa nominal anual). Una tasa de interés nominal se llama según la frecuencia de la capitalización (por ejemplo, un mes) no es idéntico a la unidad de tiempo básica (normalmente un año).

CONCEPTO DE TASA DE INTERÉS EFECTIVA

Tasa de interés efectiva

Otro tipo de tasa de interés que los inversores y los prestatarios deben saber se llama la tasa efectiva, que tiene el poder de la composición en cuenta. Por ejemplo, si un bono paga 6% sobre una base anual y compuestos semestralmente, a continuación, un inversor que invierte $ 1,000 en este vínculo recibirá $ 30 de interés después de los primeros 6 meses ($ 1.000 x 0,03), y $ 30.90 de interés después de los próximos 6 meses ($ 1.030 x 0,03). El inversionista recibió un total de $ 60.90 para el año, lo que significa que, si bien la tasa nominal fue del 6%, la tasa efectiva fue del 6,09%. Matemáticamente hablando, la diferencia entre las tasas nominales y efectivas aumenta con el número de períodos de capitalización dentro de un período de tiempo específico.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE TASA EFECTIVA Y TASA NOMINAL

Aplicaciones de las tasas de interés

La principal ventaja de conocer la diferencia entre las tasas nominales, reales y efectivas es que permite a los consumidores a tomar mejores decisiones acerca de sus préstamos e inversiones. Un préstamo con frecuentes períodos de capitalización será más caro que uno que se compone anualmente. Un vínculo que sólo paga una tasa de interés real del 1% puede no valer la pena en el tiempo de los inversores si buscan hacer crecer sus activos en el tiempo. Estas tasas revelan efectivamente el verdadero retorno que será publicado por una inversión en renta fija y el verdadero costo de los préstamos para una persona o empresa.


Temas Relacionados:
Interés Compuesto
Interés Simple

Ejercicios resueltos de ECUACIONES EXPONENCIALES

Problemas resueltos de ECUACIONES EXPONENCIALES

Para resolver ecuaciones exponenciales sin logaritmos, es necesario tener ecuaciones con expresiones exponenciales comparables sobre ambos lados de la ecuación determinada, para que pueda comparar las potencias y resolver el problema. En otras palabras, usted tiene que tener alguna base en una potencia y que las potencias tengan la misma base, y resolver la ecuación resultante. Por ejemplo:

5^x = 5⁷

Notamos que las bases son iguales, por lo tanto los exponentes serán también iguales, de aquí podemos decir que:

x = 5

Esta solución es muestra de cómo se resuelve esta clase de ecuaciones: 

si las bases son las mismas, entonces los exponentes también deben ser los mismos, a fin que los dos lados de la ecuación sean iguales entre sí.

Veamos los ejercicios resueltos de ECUACIONES EXPONENCIALES en los siguientes vídeos:

ECUACIONES EXPONENCIALES

A veces, usted primero necesita convertir un lado a que sea equivalente al otro en cuanto a sus bases.
A continuación tenemos más ejercicios y problemas resueltos para practicar y reforzar el tema:

Problemas de ecuaciones exponenciales:

Una ecuación exponencial es una ecuación en donde la variable se produce en el exponente.

Una ecuación exponencial en la que cada lado se puede expresar en
términos de la misma base se pueden resolver mediante las propiedades que tenemos en el siguiente vídeo:

Ejercicios resueltos en vídeo de ecuaciones exponenciales:

Tenemos otros ejercicios sobre ecuaciones exponenciales para afianzar la solución de problemas:



Temas Relacionados:
Ecuaciones Logarítmicas

Tablas de verdad proposiciones compuestas. Ejemplos

TABLAS DE VERDAD. PROPOSICIONES COMPUESTAS

En esta entrada mostramos las tablas de verdad como introducción a la lógica matemática. Dentro de los temas a tratar están incluidos aspectos como la conjunción, la disyunción, la implicación o condicional, la bicondicional o equivalencia y la negación.

Dentro del campo de la lógica matemática es conveniente iniciar este estudio con las tablas de verdad que involucran las proposiciones simples y compuestas.

Las Proposiciones Compuestas

Una proposición compuesta es una oración; consta de uno o varios sujetos y de un predicado que afirma algo en torno a estos sujetos. Los sujetos de una proposición simple deben ser todos términos singulares. El predicado debe contener un verbo que exprese la acción sobre los sujetos.

En las proposiciones, El valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1.

El valor falso se representa con la letra F; si se emplea notación numérica se expresa con cero: 0.

Entre proposiciones podemos establecer las siguientes relaciones:

1. Negación
2. Conjunción
3. Disyunción
4. Implicación o condicional
5. Equivalencia o bicondicional

En el siguiente vídeo presentamos un ejercicio paso a paso para completar una tabla de verdad de una proposición compleja.

Ejercicio resuelto:

Tabla de verdad de la negación

Si una proposición es verdadera, su negación es falsa y si una proposición es falsa, su negación será verdadera, veamos:

Tabla de verdad de la conjunción

En la conjunción la proposición compuesta sólo es verdadera si las dos proposiciones simples son ambas verdaderas.

Tabla de verdad de la disyunción

Para la disyunción la proposición compuesta sólo es falsa cuando las dos proposiciones simples son falsas.

Tabla de verdad de la implicación o condicional

En este caso la proposición compuesta sólo es falsa si la primera es verdadera y la segunda es falsa, en los demás casos es verdadera.

Tabla de verdad de la equivalencia o bicondicional

Si las dos proposiciones simples son iguales (ambas verdaderas ó ambas falsas), la proposición compuesta es verdadera; si las dos proposiciones simples son diferentes (una verdadera y otra falsa), la proposición compuesta es falsa.

Esto se parece a la ley de los signos: signos iguales da más y signos diferentes da menos. Veamos la tabla:

Problemas de aplicacion ley del coseno

Ejercicios resueltos y problemas de aplicación de la ley del coseno.

En la vida diaria tenemos muchas situaciones donde se aplica la ley del coseno, más que todo para trabajar con triángulos o aspectos cotidianos donde se formen triángulos.

Al concluir el repaso en ésta entrada, deberás ser capaz de:

• Entender y aplicar la Ley o el Teorema de Cosenos.
• Determinar los lados de un triángulo utilizando la Ley de Cosenos.
• Conseguir de forma correcta los ángulos de un triángulo utilizando la Ley de Cosenos.
• Reconocer situaciones de la vida diaria donde se usa la Ley de Cosenos.

Situaciones para la Aplicación de la Ley de Cosenos

Como veremos en los ejemplos, podemos resumir la ley de cosenos de la siguiente forma:

La Ley de Cosenos nos permite expresar un lado de un triángulo en términos de los otros dos lados y el coseno del ángulo entre estos dos lados conocidos.

Cuando resolvemos problemas que involucran triángulos podemos encontrar los siguientes casos:

1. Si el triángulo es rectángulo, la mejor forma de resolverlo es usando las razones trigonométricas que aprendimos en las entradas de Trigonometría de Triángulos Rectángulos.
2. Si el triángulo es oblicuo, entonces se pueden presentar los casos que se muestran en los siguientes vídeos tutoriales.

Problema con funciones trigonométricas. Uso de la ley del coseno

Ejercicios resueltos paso a paso para practicar.

Problema resuelto con Ley de Cosenos

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza normalmente en el área de la trigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados como se pone de manifiesto en el vídeo.

Problema con Ley de Cosenos

En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso. Todo esto lo podemos notar en le siguiente ejercicio.

Teorema del Coseno Ejemplo Resuelto

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos
el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que se forman entre ellos.

Aplicación de Ley de Cosenos

La ley de los cosenos para el cálculo de uno de los lados de un triángulo cuando se conocen el ángulo opuesto y los otros dos lados. Puede ser utilizado en conjunción con la ley de los senos para encontrar todos los lados y ángulos.

Trigonometría: Aplicaciones de Ley de Seno y Coseno

Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos. 

Para resolver triángulos que no son rectángulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo dependerá de los valores conocidos o los datos en el ejercicio.

Problema de Trigonometría con Triángulos Rectángulos

Ejercicios y Problema con Triángulos Rectángulos

Abordamos en ésta entrada una serie de problemas donde aparece la figura de un triángulo rectángulo. Recordemos que en un triángulo rectángulo cualquiera se cumple el teorema de Pitágoras.

Al concluir la lección de ésta entrada, deberás ser capaz de:

• Escoger el método adecuado para resolver un problema que involucre triángulos.
• Obtener los lados o ángulos de un triángulo.
• Resolver problemas verbales con triángulos.

Resolución de triángulos rectángulos

Recordemos que resolver un triángulo es determinar los tres lados y los tres ángulos. 

Debemos estar pendientes que con la ayuda del teorema de Pitágoras, de las razones trigonométricas, y de la calculadora científica se puede resolver cualquier triángulo rectángulo. A continuación podemos ver los siguientes ejercicios en vídeos.

PROBLEMAS CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Ejercicios resueltos para practicar:

Solución de Triángulos Rectángulos

Ahora podemos complementar las situaciones planteadas con la siguiente información:
Debemos permanecer atentos a la estructura de los triángulos.

Problema de aplicación de triángulos rectángulos

Los problemas resueltos son de gran ayuda para seguir avanzando en el estudio de la trigonometría. Veamos más ejemplos para practicar y reforzar.

Ejercicios resueltos de triángulos rectángulos

Es importante notar que para definir en forma única y precisa un triángulo debemos conocer al menos tres elementos del conjunto de sus lados y ángulos, entre los cuales debe estar incluido por lo menos uno de los lados.

Ahora notamos que resolver un triángulo significa encontrar todos los valores de sus lados y ángulos.

El siguiente vídeo nos ayudará a determinar el método adecuado para resolver un problema que vincula triángulos rectángulos:

Aplicación del Teorema de Thales. Ejercicios resueltos

Ejercicios y Aplicación del Teorema de Thales

Comenzaremos estableciendo lo siguiente: Si dos rectas se cortan por varias rectas que sean paralelas, podemos notar que los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Debemos estar atentos que cuando  hablemos del Teorema de Tales o Thales, debemos precisar a cuál nos referimos ya que en realidad existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto.

El primero de se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente, recordemos que los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos.

El segundo desglosa una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos, recordemos que los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa.

APLICACIÓN DEL TEOREMA DE THALES

Ejercicio resuelto para colocar en práctica los aspectos teóricos que se nombran en el teorema.

APLICANDO EL TEOREMA DE TALES

Aclaración sobre los dos teoremas de Tales.

Aspectos sobre los triángulos semejantes.

Problema resuelto.

Teorema de Tales

Del primer teorema de Tales establecemos lo siguiente:

Si dos rectas cualesquieras (p y q) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).

Teorema de Tales - Trigonometría 

Si tres o más paralelas son cortadas por dos o más secantes, la razón de las longitudes de los segmentos determinados en una de las paralelas, es igual a la razón de las longitudes de los segmentos correspondientes determinados por las otras paralelas.

Triángulo de Pascal y Binomio de Newton. Ejercicios Resueltos

Triángulo de Pascal y Binomio de Newton

Para esta introducción vamos a hablar sobre el triángulo de Pascal y su aplicación en el álgebra. El triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular, esto lo podemos entender mejor en los próximos vídeos. Es llamado de ésta forma en honor al matemático francés Blaise Pascal. Si bien es de notar que las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, debemos dar mérito prioritario a Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta. En los siguientes apartes ampliaremos éstos conceptos con los tutoriales seleccionados.

El Triángulo de Pascal y binomio de Newton

Explicación y ejercicios resueltos sobre binomio de Newton y triángulo de Pascal.

El Triángulo de Pascal: Teoría

Aspectos generales sobre la teoría que define algunos conceptos importantes para comprender lo referente a la construcción y aplicación del triángulo de Pascal.

Binomio de Newton y Triangulo de Pascal

Se puede decir que el binomio de Newton es un algoritmo que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio dado, atentos que para ello se emplean los coeficientes binomiales, que no son más que una sucesión de números combinatorios.

Uso del Triangulo de Pascal

El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico. Se empieza con un uno (1) en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos. esta parte está descrita completamente en el siguiente vídeo.

Amortizacion financiera. Ejercicios resueltos

EJERCICIOS DE AMORTIZACIÓN FINANCIERA

Primero vamos a determinar algunos conceptos fundamentales: La amortización es un término financiero y contable que está referido básicamente a la distribución en el tiempo de un valor que es duradero.

Este término e emplea referido a dos ámbitos diferentes y que son casi opuestos, por una parte tenemos la amortización de un activo y por otra parte la amortización de un pasivo. Notemos que en ambos casos se trata de un valor, con una duración que se extiende a varios periodos, para cada uno de los cuales se calcula una amortización, de tal forma que se reparte ese valor entre todos los periodos en los que permanece.

En términos generales amortizar es el proceso financiero mediante el cual se extingue de forma gradual, una deuda por medio de pagos periódicos; estos pagos a que nos referimos pueden ser iguales o diferentes.

Es de suma importancia saber que en las amortizaciones de una deuda, cada pago que se entrega o se realiza, está encaminado a pagar los intereses y reducir el importe de la deuda.

Sistema Lineal de Amortización o depreciación contable

Tenemos algunos ejercicios mediante tablas y cuadros para comprender los procesos a realizar de forma precisa.

Como hacer una tabla de Amortización

Es importante conocer la forma de elaborar una tabla de amortización, para ello es muy recomendable analizar el siguiente vídeo en donde podemos notar los procesos a realizar.

Tablas de amortización en excel

Ahora podemos utilizar la tecnología para realizar algunos procesos de manera más rápida, para ello podemos practicar la forma de realizar tablas de amortización con Excel.

Tasas de interes nominal y efectiva. Ejercicios resueltos

Ejercicios resueltos sobre tasas de interés nominal y efectiva

Siempre que hablamos de tasa de interés efectiva, nos referimos específicamente a la tasa que estamos aplicando verdaderamente a una cantidad de dinero en un periodo establecido de tiempo. debemos notar que la tasa efectiva siempre es compuesta y vencida, ya que se aplica cada mes al capital existente al final del periodo.

También debemos recordar y estar atentos a lo siguiente: cuando trabajamos con tasas efectivas no podemos decir que una tasa de interés del 2% mensual equivale al 24% anual, debido a que esta tasa genera intereses sobre los intereses generados en periodos anteriores.

Conceptos sobre tasa interés Efectiva, periódica y nominal

Analizamos el siguiente tutorial que presenta algunos conceptos importantes para tener en cuenta en el curso de tasas de interés.

TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA

En la presente entrada se explican en detalle los diferentes tipos de tasas de interés que se utilizan en el mercado financiero y en general en aspectos de la economía. En el siguiente vídeo veremos la diferencia entre una tasa nominal y una efectiva, también su aplicación en las fórmulas y ecuaciones de valor, enseguida se verá un método de conversión de una tasa nominal a una efectiva, y viceversa.

Tasas nominales, efectivas y equivalentes. EJERCICIOS

Recordemos que la tasa de interés efectiva es aquella que se utiliza en la fórmulas de la matemática financiera. Luego podemos expresar que las tasas efectivas son aquellas que forman parte de los procesos de capitalización y de actualización. Por otro lado, una tasa nominal, solamente es una definición o una forma de expresar una tasa efectiva. Las tasas nominales no se utilizan directamente en las fórmulas de la matemática financiera. Pero podemos entender esto de forma amplia analizando el siguiente tutorial.

Tasa de interés nominal y efectiva. Ejercicio de aplicación

Ejercicios resueltos para practicar, veamos el desarrollo del ejercicio en el siguiente vídeo.