ÁREA DEL PENTÁGONO ejercicios resueltos

ÁREA DE UN PENTÁGONO ejercicios resueltos.

¿Cómo podríamos hallar el área de un pentágono regular?

Damos solución a ésta pregunta en los próximos vídeos explicativos, antes podemos discutir algunos conceptos.

El área de un pentágono es la cantidad de espacio que ocupa el pentágono. El Pentágono se define como un polígono que tiene 5 lados los cuales son iguales. Los 5 ángulos presentes en el Pentágono también son iguales. Un pentágono puede ser dividido en 5 triángulos semejantes. La medida de cada ángulo interno de un pentágono regular es 108 grados.

El área de un pentágono se puede calcular usando la fórmula, A = 1/2 Pxa, donde A es el área del pentágono, P es el perímetro del pentágono y a es la apotema.

En el siguiente vídeo podemos estudiar de manera general la forma de calcular el área de cualquier polígono regular, incluyendo un pentágono regular; hablaremos del perímetro y de la apotema, elementos importantes para el cálculo de las áreas en éstas figuras geométricas:

Área de un polígono regular

Área polígono regular

En el siguiente vídeo hablaremos primero de algunos aspectos teoricos y conceptos importantes para abordar el tema de los pentágonos regulares y los polígonos en general:

En el siguiente vídeo explicamos detalles de un polígono regular, conceptos

sobre el perímetro y el apotema; además se presenta la solución de dos

pentágonos y de un hexágono.

Área de un pentágono

Área de un pentágono regular

ÁREA DEL HEPTÁGONO ejercicios resueltos

ÁREA DEL HEPTÁGONO - Ejercicios Resueltos.

Un heptágono regular es una figura de siete lados cerrados en el que todas las longitudes de los lados son iguales y todos los ángulos interiores son los mismos, es decir son congruentes.

Si conoce la apotema (la distancia perpendicular desde el centro a un lado) y la longitud de un lado, en primer lugar determina el perímetro multiplicando la longitud del lado por 7, donde 7 es el número de lados.

A es la longitud de la apotema
P es el perímetro.

Si P es el perímetro y A es el apotema, El área está dada por:

Área = ½ PA

El área de un heptágono se puede encontrar en diferentes formas. Podemos utilizar diferentes fórmulas en función de los datos que tenemos, ésto cuando el heptágono es regular.

Caso (i) Cuando tenemos la longitud del lado, s, el área de cualquier polígono de n lados está dada por,

donde la función tangente se calcula siempre en grados. Poniendo n = 7, se obtiene el área de heptágono regular con longitud de lado s.

Caso (ii) Cuando tenemos la apotema 'a' el área de un polígono viene dada por:

donde n es el número de lados del polígono. Si es un heptágono n = 7

Caso (iii) Cuando se da un radio "r" (Radio de un polígono regular es una distancia desde el centro hasta cualquiera de los vértices), entonces el área de un polígono viene dada por

donde n es el número de lados de un polígono. Como n = 7, se obtiene el área de heptágono regular con radio r.

Perímetro y área de un heptágono

ÁREA DEL HEXÁGONO ejercicios resueltos

ÁREA DEL HEXÁGONO - Ejercicios Resueltos.

Un hexágono es un polígono que tiene seis lados y seis ángulos. Los hexágonos regulares se componen de seis triángulos equiláteros. Hay una variedad de maneras de calcular el área de un hexágono, ya sea un hexágono irregular o un hexágono regular. Si está interesado en saber cómo calcular el área de un hexágono, le recomiendo los siguientes vídeos.

La fórmula para encontrar el área de un hexágono se deriva de la fórmula de encontrar el área de un triángulo equilátero.

La fórmula para encontrar el área de un hexágono es la siguiente:

Área= (3√3 s2)/ 2 donde s es la longitud de un lado del hexágono regular.

Area Hexagono Regular en función del Apotema

veamos la forma de calcular el area de un hexágono si tenemos el apotema. En el vídeo encontramos la explicación detallada:

Área de un polígono regular

Con base en el área del tringulo podemos encontrar el área de un hexágono, recordemos que un hexágono regular tiene seis triangulos cuya medida de sus lados son iguales.

Esto se presenta con mayor claridad en el siguiente tutorial:

Cómo calcular el área de un hexágono regular

Una forma de encontrar el área de un hexágono regular es dividiendo la figura en triángulos equiláteros. También es necesario utilizar un apotema, que es un segmento que une el centro de un polígono regular con el punto medio de cualquier lado y que es perpendicular a ese lado.

El siguiente vídeo muestra el hexágono con sus diagonales y una apotema; también lo concerniente al área y al perímetro.

Área y perímetro hexágono

NÚMEROS REALES - Ejemplos

NÚMEROS REALES - Ejemplos.

Un número real es un valor que representa una cantidad a lo largo de una línea continua. Los números reales incluyen todos los números racionales, tales como el número entero -5 y la fracción 4/3, y todos los números irracionales como √ 2 =1,41421356 ... la raíz cuadrada de dos, un número algebraico irracional y π =3,14159265 ... , un número trascendental).

Los números reales pueden ser considerados como puntos en una línea infinitamente larga llamada la línea de números o la línea real, donde los puntos correspondientes a los números enteros son equidistantes. Cualquier número real puede ser determinado por una representación decimal posiblemente infinita, como la de 8.632, donde cada dígito consecutivo se mide en unidades de una décima parte del tamaño de la anterior. La línea real puede ser mirada como una parte del plano complejo, y correspondientemente, los números complejos incluyen números reales como un caso especial.



Un número real puede ser racional o irracional, ya sea algebraico o trascendental, y ya sea positivo, negativo o cero. Los números reales se utilizan para medir cantidades continuas. Pueden ser expresados por las representaciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha del punto decimal, los cuales se representan a menudo en la misma forma que 324.823122147 ... . Los tres puntos al final indican que la serie continúa.

Los números reales comprenden un campo, con la adición y la multiplicación, así como la división por números distintos de cero, que pueden ser totalmente ordenados en una línea numérica de una manera compatible con la suma y la multiplicación.

Veamos algunas operaciones básicas con los números reales:

Propiedades fundamentales:

1. Propiedad conmutativa de la suma
a + b = b + a 2 + 3 = 3 + 2

2. Propiedad conmutativa de la multiplicación
a • b = b • a 2 • (3) = 3 • (2)

3. Propiedad asociativa de la suma
a + (b + c) = (a + b) + c 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4

4. Propiedad asociativa de la multiplicación
a • (b • c) = (a • b) • c 2 • (3 • 4) = (2 • 3) • 4

5. Propiedad distributiva
a • (b + c) = a • b + a • c 2 • (3 + 4) = 2 • 3 + 2 • 4

6. Aditivo: Propiedad de identidad
a + 0 = a 3 + 0 = 3

7. Multiplicación: propiedad Identidad
a • 1 = a 3 • 1 = 3

8. Aditivo: Propiedad Inversa
a + (-a) = 0 3 + (-3) = 0

9. Propiedad anulativa
a • 0 = 0 5 • 0 = 0

NÚMEROS NO REALES - Ejemplos

NÚMEROS NO REALES - Ejemplos.

Siempre hablamos de los números reales, pero tenemos otro conjunto de números que no pertenecen a los números reales, podemos llamarlos los números NO reales, veamos de quiénes estamos hablando:

Un número imaginario es un número que puede ser escrito como un número real multiplicado por la unidad imaginaria i, que se define por su propiedad.

Un número imaginario tiene un cuadrado negativo o cero. Por ejemplo, 5i es un número imaginario, y su cuadrado es -25.

Un número imaginario se puede añadir a un número real para formar un número complejo de la forma a + bi, donde a y bi son llamados, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria del número complejo. Por lo tanto, los números imaginarios pueden ser considerados como números complejos cuya parte real es cero. Hoy en día tienen una gran variedad de aplicaciones esenciales y concretas de la ciencia y la ingeniería.





Un número imaginario no existe, pero sin embargo puede ser útil en ciertas aplicaciones.

Recordemos que un número imaginario es cualquier número que es el producto de un número real y la raíz cuadrada de menos uno (-1). La raíz cuadrada de -1 es la "unidad" del conjunto de los números imaginarios, y se conoce como "i". Como sabemos, los números negativos no tienen raíz cuadrada, por lo que la raíz cuadrada de un número negativo es "irreal" o "imaginaria". Como un ejemplo de un número imaginario, la raíz cuadrada de -4 es 2i.

También hay "números complejos", que son la suma de un número real y un número imaginario. Por ejemplo 3 + 2i.

Veamos algunas operaciones:

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS - Ejercicios Resueltos

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS - Ejercicios Resueltos.

Cuando tenemos que calcular la distancia entre dos puntos que se encuentran en un plano cartesiano, lo podemos hacer utilizando la fórmula de la distancia que utiliza las coordenadas de los puntos establecidos.

La distancia siempre debe ser un valor positivo, por tanto NO importa el orden en que escojamos los puntos.

La fórmula de la distancia se puede utilizar para calcular la distancia entre dos puntos P y Q en el plano, en términos de sus coordenadas (x1, y1) y (x2, y2).

EJERCICIO RESUELTO.

La distancia entre los puntos P (1, 6) y Q (5, -4) se puede calcular de la siguiente manera:

El anterior ejercicio se desarrollo utilizando la siguiente fórmula:

Esta es precisamente la fórmula de la distancia entre dos puntos y debajo de la fórmula presentamos un plano cartesiano con dos puntos y una línea que los une, es precisamente esa línea la que conocemos como la distancia. En el siguiente vídeo se pueden ver éstos conceptos con más detalle:

PUNTO MEDIO

A veces es necesario encontrar el punto que se encuentra exactamente entre dos puntos. Este punto se llama el punto medio. Por definición, un punto medio de un segmento es el punto en que el segmento de línea divide el segmento en dos segmentos congruentes.

Si los puntos extremos de un segmento de recta son (x1, y1) y (x2, y2), entonces el punto medio del segmento de recta se puede calcular como muestra el siguiente vídeo:

Fórmula de la Distancia - EJERCICIOS RESUELTOS

FÓRMULA DE LA DISTANCIA Y EJERCICIOS RESUELTOS.

Si tenemos dos puntos cualesquiera en un plano cartesiano, siempre podemos hallar la distancia entre ellos sin tener que medir con una regla, ésto es utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos.

La fórmula de la distancia se deriva del teorema de Pitágoras. Para calcular la distancia entre dos puntos (x1, y1) y (x2, y2), todo lo que tienes que hacer es utilizar las coordenadas de estos pares ordenados y aplicar la fórmula que se muestra a continuación:

La fórmula anterior se puede utilizar para calcular la distancia entre dos puntos cuando se conocen las coordenadas de los puntos. Esta distancia es también la longitud del segmento de línea que une los dos puntos.

Recuerda que esta fórmula no es más que un uso del teorema de Pitágoras.

Podemos complementar lo anterior observando el siguiente vídeo:

Utilizando el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la hipotenusa, que es la línea imaginaria entre nuestros dos puntos. No importa cual es el punto (x1, y1) y cuál es (x2, y2). La idea clave es que sólo se preocupe por el cambio en x, y el cambio en y. Vamos a usar cada una de estas mediciones como el lado de un triángulo, donde la hipotenusa es la distancia entre los dos puntos.

Recuerde que se trata de distancias, que son positivas. La distancia es la misma, pasando del punto 1 al punto 2, o viceversa. Por lo tanto, sólo tiene que utilizar la distancia positiva entre los dos puntos. Veamos el tutorial:

PENDIENTE DE LA RECTA - Ejercicios Resueltos

PENDIENTE DE LA RECTA - Ejercicios Resueltos

La inclinación o pendiente de una recta es un número que describe la dirección y la inclinación de la línea. La pendiente a menudo se denota con la letra m.

La dirección de una línea puede estar aumentando, disminuyendo, de forma horizontal o vertical.

Una línea es creciente si sube hacia la derecha, luego La pendiente es positiva, es decir, m> 0.

Una línea está decreciendo si cae hacia la derecha luego su pendiente es negativa, es decir, m <0.

Si una línea es horizontal significa que la pendiente es cero. Esta es una función constante.

Si una línea es vertical significa que la pendiente no está definida.

La inclinación o pendiente de una recta se mide por el valor absoluto de la pendiente. Una pendiente con un mayor valor absoluto indica una pendiente más pronunciada.

Para encontrar la pendiente de una línea recta, se divide la diferencia de las coordenadas en el eje y por la diferencia de las coordenadas en el eje x. Esto tal como se muestra en la siguiente figura:

Ahora tenemos más conceptos generales sobre la pendiente o inclinación de una recta:



La pendiente de la línea recta es un número que mide su inclinación, denotada generalmente por la letra m como ya hemos mencionado. Es el cambio en y para un cambio en x a lo largo de la línea.



Cuando la pendiente de la recta es 0, ya sabes que la línea es horizontal y cuando la línea es vertical la pendiente de una recta es indefinida.

FUNCIONES POLINOMICAS - Ejercicios

FUNCIONES POLINOMICAS - Ejercicios y Ejemplos.

Un polinomio es una expresión construida a partir de variables y constantes (por lo general los números, pero no siempre), utilizando únicamente las operaciones de suma, resta, multiplicación y exponentes enteros no negativos. Sin embargo, se acepta la división por una constante, debido a que el inverso multiplicativo de una constante diferente de cero también es una constante.

Los polinomios son la clase más simple de expresiones matemáticas.

Los Polinomios aparecen en una amplia variedad de áreas de matemáticas y ciencias. Por ejemplo, se utilizan para formar ecuaciones polinómicas, que codifican una amplia gama de problemas, expresan problemas de palabras elementales en problemas complicados en las ciencias, se utilizan para definir las funciones polinómicas que aparecen en los ajustes que van desde la química básica y la física a la economía y las ciencias sociales, se utilizan en el cálculo y el análisis numérico de otras funciones.

Veamos los conceptos generales de éstas funciones:

FUNCIONES POLINÓMICAS Y SUS GRÁFICAS:

Tenemos un ejemplo sencillo para introducirnos en éstas funciones:

¿Cuál es el grado y los principales coeficientes de los siguientes polinomios?

(i) 10x³ + 4x² + 3x + 1 y (ii) 2x⁴ + 3x + 5

Para (i), vemos que el grado es 3 y el coeficiente principal es 10.

Para (ii), se observa que el grado es 4 y el coeficiente principal es 2.

En términos generales las funciones polinómicas son funciones que tienen a x como una variable de entrada, compuesta por varios términos, cada término se compone de dos factores, el primero es un coeficiente de número real, y el segundo es x elevado a un entero no negativo (exponente). En realidad, es algo más complicado que eso, pero podemos despejar las dudas con el siguiente vídeo:



Una función polinómica es una función tal como una ecuación cuadrática, cúbica, de grado cuatro, y así sucesivamente, con exponentes enteros no negativos para la variable x. Ahora veamos cómo graficar una de éstas funciones:

REGLA DE LA CADENA - Ejercicios resueltos

REGLA DE LA CADENA - Ejercicios resueltos.

La regla de la cadena es una fórmula para el cálculo de la derivada de la composición de dos o más funciones. Es decir, si y es una función y u es una función, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la función compuesta y ∘ u en términos de las derivadas de y y u. Por ejemplo, la regla de la cadena para (y ∘ u) (x) es

Si bien siempre es posible aplicar directamente la definición de la derivada para calcular la derivada de una función compuesta, esto es por lo general muy difícil. La utilidad de la regla de la cadena es que convierte una derivada complicada en varias derivadas fáciles.

En el siguiente tutorial, se deriva la regla de la cadena. Podemos mirar cómo se resuelven varios ejemplos usando la regla de la cadena. Después de trabajar a través de estos materiales, el estudiante debe ser capaz de utilizar la regla de la cadena para diferenciar ciertas funciones.




Si f es una función de g y g es una función de x, a continuación, la derivada de f con respecto a x es igual a la derivada de f (g) con respecto a g por la derivada de g (x) con respecto a x ".

Por lo tanto de acuerdo con la regla de la cadena, la derivada de

(x2+ 1)5 es 5(x2+ 1)4· 2x.

Para f(x)= (x2+ 1)5 , x2+ 1 está dentro de la quinta potencia. Nos tomamos la derivada del exterior al interior. Cuando tomamos la derivada exterior, no cambiamos lo que hay dentro. Luego, multiplicamos por la derivada de lo que hay dentro o lo que llamamos derivada interna.

La regla de la cadena rara vez se explica con claridad y es esencial. Esta regla nos dice lo que es la derivada de una función compuesta.

Te recomiendo que revises el siguiente vídeo sobre funciones compuestas.

DERIVADA IMPLICITA- Ejercicios Resueltos

DERIVADA IMPLICITA- Ejercicios Resueltos.

Inicialmente hablamos de las derivadas en general, en esta entrada trataremos el caso particular cuando la variable dependiente NO está despejada debido a que se repite dentro de la función y no es posible hacerlo; en éste caso entra lo que se conoce como derivada implícita.

Podemos encontrar funciones de todo tipo que deben desarrollarse de forma implícita, me refiero a funciones polinómicas, trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etc.

En muchos ejemplos, especialmente las derivadas de las ecuaciones diferenciales, las variables involucradas no están vinculados entre sí de una manera explícita. La mayoría de las veces, están unidas a través de una fórmula implícita, como F (x, y) = 0. Una vez que x es fijo, podemos encontrar y mediante cálculos numéricos. La pregunta es ¿cuál es la derivada al menos en un cierto punto? El método de diferenciación implícita responde a esta preocupación. Vamos a ilustrar esto con el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Halla la ecuación de la recta tangente a la elips

25 x² + y² = 109

A continuación, se diferencian para encontrar la pendiente de la recta tangente.

Con el uso de las técnicas de diferenciación, obtenemos:

De forma equivalen nos queda: 3y + 50 x = 109.

Veamos el siguiente ejemplo ilustrativo en vídeo:




EJERCICIO RESUELTO 1.

x³ + y³ = 4

D ( x³ + y³ ) = D ( 4 ) ,

D ( x³ ) + D ( y³ ) = D ( 4 ) ,

3x² + 3y² y' = 0 ,

3y² y' = - 3x² ,

EJERCICIO RESUELTO 2.

Ahora podemos mirar ejemplos que involucran funciones trigonométricas, echemos un vistazo para una mejor comprensión.

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO - Ejercicios Resueltos.

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO - Ejercicios Resueltos.

Resolver un problema de desigualdad o de inecuación con valor absoluto es similar a la solución de una ecuación de valor absoluto.

Hay muchas oportunidades para cometer errores con las desigualdades de valor absoluto, así que vamos a cubrir este tema poco a poco y mirar algunos trucos útiles a lo largo del camino.

Dos propiedades útiles relativas a las desigualdades son las siguientes:

EJERCICIO RESUELTO 1.

Resolver | 2x + 3 | <6.

Como el signo de la desigualdad es "menor que", el primer paso es despejar el valor absoluto de acuerdo con el patrón o la primera propiedad que miramos en la parte superior de la entrada.

| 2x + 3 | <6

-6 <2x + 3 <6

-6-3 <2x + 3 - 3 <6 - 3

-9 <2x <3

-9 / 2 <x <3/2

A continuación, la solución a | 2x + 3 | <6 es el intervalo (-9 / 2 , 3/2).

EJERCICIO RESUELTO 2.

Resuelva | 2x - 3 |> 5.

Aplicamos la segunda propiedad que miramos en la parte superior de la entrada debido a que tenemos un "mayor que"

| 2x - 3 |> 5

2x - 3 <-5 o 2x - 3> 5

2x <-2 o 2x> 8

x <-1 o x> 4

Este par de desigualdades es la solución;

la solución a | 2x - 3 |> 5 se compone de los dos intervalos x <-1 y x> 4.

EJERCICIO RESUELTO 3.

Ejercicios en vídeo sobre las inecuaciones que contienen valor absoluto.

Repaso general:

A continuación encontramos más ejercicios para perfeccionar el tema.

Recuerda la importancia de dominar con soltura éste tópico; veamos más ejemplos y problemas resueltos un poco más complejos en vídeo:

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO - Ejercicios resueltos

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO - Ejercicios resueltos.

Para resolver una ecuación con valor absoluto, debemos aislar el valor absoluto de un lado del signo igual estableciendo dos casos:

Primero igualamos lo que está dentro del símbolo de valor absoluto a la cantidad positiva del frente y como segundo caso, la igualamos a la correspondiente parte negativa.

Resolver | x | = 3

| 3 | = 3

| -3 | = 3, por lo que x debe ser 3 o -3.

A continuación, la solución es x = -3, 3.

EJERCICIO RESUELTO 1.

Resolver | x + 2 | = 7
Para eliminar las barras del valor absoluto, tenemos que dividir la ecuación en sus dos posibles casos, un caso para cada signo:

(x + 2) = 7 o - (x + 2) = 7
x + 2 = 7 o -x - 2 = 7
x = 5 o x = -9

A continuación, la solución es x = -9, 5.

EJERCICIO RESUELTO 2.

Resuelva | 2x - 3 | - 4 = 3
En primer lugar, voy a despejar la parte del valor absoluto, es decir, voy a colocar la expresión de valor absoluto en un lado del signo "igual", y todo lo demás en el otro lado:

| 2x - 3 | - 4 = 3
| 2x - 3 | = 7

Ahora aplico los dos casos, uno para cada signo:

(2x - 3) ​​= 7 o - (2x - 3) ​​= 7
2x - 3 = 7 o -2x + 3 = 7
2x = 10 o -2x = 4
x = 5 o x = -2

Así que la solución es x = -2, 5.

EJERCICIOS ILUSTRATIVOS.
A continuación tenemos ejemplos prácticos en el siguiente vídeo:



EJERCICIO RESUELTO 3.

Resuelva el siguiente ejercicio:

| x² - 4x - 5 | = 7

Establecemos las dos ecuaciones:

( x² - 4x - 5 ) = 7 o -(x² - 4x - 5) = 7
Resolvemos el primer caso:
x² - 4x - 5 = 7 x² - 4x - 12 = 0 (x - 6)(x + 2) = 0 x = 6, x = -2
Resolvemos el segundo caso:
-x² + 4x + 5 = 7 -x² + 4x - 2 = 0 0 = x² - 4x + 2
La solución es:
x= -2, 6, 2 más o menos raiz cuadrada de 2


Siga los pasos del vídeo anterior para resolver una igualdad de valor absoluto:

EJERCICIO RESUELTO 4.

Resuelva | 2x - 1 | + 3 = 6

|2x - 1| + 3 = |2x - 1| = 6-3 = |2x - 1| = 3
Primera ecuación:
2x - 1 = 3
2x - 1 = 3
2x = 4
x = 2

Segunda ecuación:

2x - 1 = -3

2x - 1 = -3

2x = -2

x = -1

EJERCICIO RESUELTO 5.

Resuelva: | x + 6 | = 7, entonces...
a) x + 6 = 7 o b) x + 6 = -7

Resolviendo la ecuación a)
x + 6 = 7
x = 1 Resolviendo la ecuación b)
x + 6 = -7
x = -13

EJERCICIOS EN VÍDEO:

VALOR ABSOLUTO - Ejercicios resueltos

VALOR ABSOLUTO - Ejercicios resueltos.

Para las matemáticas, el valor absoluto (o módulo) | x | de un número real x es el valor no negativo de x sin tener en cuenta su signo. Es decir, | x | = x
El número cero no es positivo ni negativo, pero | 0 | = 0.

Ejemplo, el valor absoluto de 7 es 7, y el valor absoluto de -7 es también 7.

En términos generales, el valor absoluto de un número entero es el valor numérico sin tener en cuenta si el signo es negativo o positivo. En una recta numérica es la distancia entre el número y el cero.

El valor absoluto de -16 es 16. El valor absoluto de 16 es 16.

El símbolo para el valor absoluto son dos barras verticales, ejemplo:
| -24 | = 24 y se lee "El valor absoluto de -24 es igual a 24".

El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud y distancia en diferentes contextos matemáticos y físicos.

El número 9 está 9 unidades de distancia del 0. Por lo tanto, su valor absoluto es 9. El número -9 está a la misma distancia de cero, por lo que su valor absoluto es 9. En ambos casos, la magnitud o el valor absoluto del número es simplemente "9".



Se puede ver a partir de esto que el valor absoluto de un número es siempre positivo con la excepción del 0 (| 0 | = 0)

Por lo tanto | 5 | = 5 o | -4 | = 4

| 6 |= 6

| -8 |= 8

Esta observación nos ayuda a llegar a una definición formal de valor absoluto

| X | = x si x es positivo o cero, pero-x si x es negativo.

Es importante entender esta definición antes de resolver ecuaciones de valor absoluto o desigualdades de valor absoluto.

Calcular el valor absoluto de las siguientes expresiones numéricas.

1)

| -8 + 2 × 5 | = | -8 + 10 |

| -8 + 2 × 5 | = | 2 |

| -8 + 2 × 5 | = 2

2)

| 16-4 × 2 | = | 16-4 × 2 |

| 16-4 × 2 | = | 16-8 |

| 16-4 × 2 | = | 8 |

| 16-4 × 2 | = 8

3)

| -5 + 5 x 2-15 | = | -5 + 10 - 15 |

| (-5 + 5 x 2-15) | = | 5 - 15 |

| (-5 + 5 x 2-15) | = | -15 |

| (-5 + 5 x 2-15) | = 15



Los valores absolutos son bastante fáciles de calcular cuando contienen constantes (números regulares), pero las ecuaciones que contienen valor absoluto son más difíciles.
Veamos algunos ejemplos resueltos:




Ecuaciones más complicadas por lo general se pueden resolver de la misma manera, mediante la división del valor absoluto en dos casos.

Vamos ahora a observar otra lección sobre el valor absoluto en el siguiente vídeo y reforzar lo aprendido:

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN - Ejercicios Resueltos

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN - Ejercicios Resueltos.

Una función puede ser representada por un gráfico en el plano cartesiano; tal función es continua si, en términos generales, la gráfica es una sola curva ininterrumpida sin agujeros o saltos.

Hay varias maneras de hacer rigurosa esta intuición matemática, la definición más conveniente se puede utilizar para determinar si una función dada es continua o no.

La función f se dice que es continua en un intervalo I si f es continua en cada punto x en I. Aquí presentamos una lista de algunos hechos bien conocidos relacionados con la continuidad:

1. La suma de funciones continuas es continua.

2. La diferencia de funciones continuas es continua.

3. El producto de funciones continuas es continua.

4. El cociente de funciones continuas es continua en todos los puntos x en que el denominador no sea cero.

5. La composición funcional de las funciones continuas es continua en todos los puntos x, donde la composición está bien definida.

6. Cualquier polinomio es continuo para todos los valores de x.

7. Las funciónes e^x y las funciones trigonométricas sen(x) y cos(x) son continuas para todos los valores de x

En el siguiente tutorial podemos entender conceptos generales sobre la continuidad:




Definición
Una función f (x) se dice que es continua en un punto c si se cumplen las siguientes condiciones:

-f(c) está definida
-lim_{x → c} f(x) existe
-lim_{x → c} f(x) = f(c)

Si f (x) es continua en todos los puntos en un intervalo (a, b), entonces f (x) es continua en (a, b​​)

Una función continua en el intervalo (- ∞, + ∞) se llama una función continua para todo valor.

EJERCICIO RESUELTO 1:

f (x) es discontinua en x = 2 porque f (2) es indefinida

Por definición de g (2) = 3

lim_{x → 2} g(x) = lim_{x → 2} (x² - 4)/(x - 2) = lim_{x → 2} (x + 2) = 4
g(x) es discontinua debido a que
lim_{x → 2} g(x) ≠ g(2)

EJERCICIO RESUELTO 2.

f(x) = x² - 2x + 1
lim_{x → c} f(x) = lim_{x → c} (x² - 2x + 1)
f(x) = c² - 2c + 1
f(x) = f(c)
Luego, f es continua en x = c

EJERCICIOS RESUELTOS EN VÍDEO. EJEMPLOS COMPLEMENTARIOS: