CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN - Ejercicios Resueltos

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN - Ejercicios Resueltos.

Una función puede ser representada por un gráfico en el plano cartesiano; tal función es continua si, en términos generales, la gráfica es una sola curva ininterrumpida sin agujeros o saltos.

Hay varias maneras de hacer rigurosa esta intuición matemática, la definición más conveniente se puede utilizar para determinar si una función dada es continua o no.

La función f se dice que es continua en un intervalo I si f es continua en cada punto x en I. Aquí presentamos una lista de algunos hechos bien conocidos relacionados con la continuidad:

1. La suma de funciones continuas es continua.

2. La diferencia de funciones continuas es continua.

3. El producto de funciones continuas es continua.

4. El cociente de funciones continuas es continua en todos los puntos x en que el denominador no sea cero.

5. La composición funcional de las funciones continuas es continua en todos los puntos x, donde la composición está bien definida.

6. Cualquier polinomio es continuo para todos los valores de x.

7. Las funciónes e^x y las funciones trigonométricas sen(x) y cos(x) son continuas para todos los valores de x

En el siguiente tutorial podemos entender conceptos generales sobre la continuidad:




Definición
Una función f (x) se dice que es continua en un punto c si se cumplen las siguientes condiciones:

-f(c) está definida
-lim_{x → c} f(x) existe
-lim_{x → c} f(x) = f(c)

Si f (x) es continua en todos los puntos en un intervalo (a, b), entonces f (x) es continua en (a, b​​)

Una función continua en el intervalo (- ∞, + ∞) se llama una función continua para todo valor.

EJERCICIO RESUELTO 1:

f (x) es discontinua en x = 2 porque f (2) es indefinida

Por definición de g (2) = 3

lim_{x → 2} g(x) = lim_{x → 2} (x² - 4)/(x - 2) = lim_{x → 2} (x + 2) = 4
g(x) es discontinua debido a que
lim_{x → 2} g(x) ≠ g(2)

EJERCICIO RESUELTO 2.

f(x) = x² - 2x + 1
lim_{x → c} f(x) = lim_{x → c} (x² - 2x + 1)
f(x) = c² - 2c + 1
f(x) = f(c)
Luego, f es continua en x = c

EJERCICIOS RESUELTOS EN VÍDEO. EJEMPLOS COMPLEMENTARIOS: