DERIVADA IMPLICITA- Ejercicios Resueltos.
Inicialmente hablamos de las derivadas en general, en esta entrada trataremos el caso particular cuando la variable dependiente NO está despejada debido a que se repite dentro de la función y no es posible hacerlo; en éste caso entra lo que se conoce como derivada implícita.Podemos encontrar funciones de todo tipo que deben desarrollarse de forma implícita, me refiero a funciones polinómicas, trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etc.
En muchos ejemplos, especialmente las derivadas de las ecuaciones diferenciales, las variables involucradas no están vinculados entre sí de una manera explícita. La mayoría de las veces, están unidas a través de una fórmula implícita, como F (x, y) = 0. Una vez que x es fijo, podemos encontrar y mediante cálculos numéricos. La pregunta es ¿cuál es la derivada al menos en un cierto punto? El método de diferenciación implícita responde a esta preocupación. Vamos a ilustrar esto con el siguiente ejemplo.
Ejemplo. Halla la ecuación de la recta tangente a la elips
25 x2 + y2 = 109
A continuación, se diferencian para encontrar la pendiente de la recta tangente.
Con el uso de las técnicas de diferenciación, obtenemos:
De forma equivalen nos queda: 3y + 50 x = 109.
Veamos el siguiente ejemplo ilustrativo en vídeo:
EJERCICIO RESUELTO 1.
x3 + y3 = 4
D (
x3 + y3 ) = D ( 4 ) ,
D (
x3 ) + D ( y3 ) = D (
4 ) ,
3x2 + 3y2 y' = 0 ,
3y2 y' = - 3x2 ,
EJERCICIO
RESUELTO 2.
Ahora
podemos mirar ejemplos que involucran funciones trigonométricas,
echemos un vistazo para una mejor comprensión.