EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERES SIMPLE

Interés Simple. Ejemplos y Ejercicios.

El interés es una tasa pagada por un prestatario de activos a el propietario del capital como una forma de compensación por el uso de los activos. Es en realidad el precio pagado por el uso del dinero prestado, o el dinero ganado por los fondos depositados.

Cuando el dinero es prestado, el interés se suele pagar al prestamista como un porcentaje del capital principal, es decir, la cantidad adeudada a la entidad crediticia. El porcentaje del capital que se paga en concepto de gastos durante un determinado período de tiempo (normalmente un mes o año) se llama la tasa de interés. Un depósito bancario ganará interés porque el banco está pagando por el uso de los fondos depositados. Estos intereses están basados en los activos, tales como dinero, acciones, bienes de consumo a través de la venta a plazos, los activos más importantes, como aviones y fábricas enteras, incluso en régimen de arrendamiento financiero. El interés se calcula sobre el valor de los activos de la misma manera que con el dinero.

El interés es una compensación al prestamista, por las siguientes condiciones: a) riesgo de pérdida de capital, llamado riesgo de crédito, y
b) renunciar a otras inversiones que podrían haber sido hechas con el activo cedido. Estas inversiones no percibidas se conoce como el costo de oportunidad.

Sucede lo siguiente: En lugar de que el prestamista utilice sus activos, son cedidos a el prestatario. El prestatario se goza de la ventaja de utilizar los activos pero debe pagar por ellos, mientras que el prestamista goza del beneficio de la tasa pagada por el prestatario. En economía, el interés se considera el precio del crédito.

Cuando el dinero es prestado, el interés se cobra por el uso de ese dinero durante un cierto período de tiempo. Cuando el dinero principal se devuelve, (la cantidad de dinero que fue prestado) el interés se paga según lo convenido. La cantidad de interés depende de la tasa de interés, que se aplica a la cantidad de dinero prestado (capital) y el tiempo que el dinero dure prestado.

La fórmula para hallar el interés simple es:

Interés = Capital * Tasa * Tiempo. Ejemplo, si fue un préstamo de $ 100 para 2 años a una tasa de interés del 10%, el interés sería de:
$ 100 * 10/100 * 2 = $ 20. La cantidad total que se debe sería de:
$ 100 + $ 20 = $ 120.

Ejemplo:
Un estudiante compra una computadora mediante la obtención de un préstamo de interés simple. El equipo cuesta $ 1500, y la tasa de interés del préstamo es del 12%. Si el préstamo se pagará en cuotas semanales de más de 2 años, calcule:

1. El importe de los intereses pagados durante los 2 años,
2. el monto total a pagar de nuevo,
3. el importe del pago semanal.

Datos: 'P' = $ 1500, la tasa de interés: 'R' = 12% = 0.12, tiempo de amortización: 'T' = 2 años

Parte 1: Encuentre el importe de los intereses pagados.
intereses: 'I' = PRT
= 1,500 × 0,12 × 2
= $ 360

Parte 2: Encuentre el monto total a pagar.

pagos totales = capital + intereses
= $ 1500 + $ 360
= $ 1.860

Parte 3: Calcular la cantidad de su pago semanal

los pagos totales
monto del pago semanal = ---------------------------------------
período de préstamo, T, en las últimas semanas

$ 1.860
= -------------------
2 × 52

= $ 17,88 por semana


Ejemplo: Usted pide $ 10,000 por 3 años al 5% de interés simple anual. ¿Qué interés debe pagar?

interés = p x i x n = 10.000 x 0,05 x 3 = 1500


Ejemplo: Usted pide $ 10,000 por 60 días a 5% de interés simple anual (asumir un año de 365 días).¿cuál es el total de Interés a pagar?

interés = p * i * n = 10.000 * 0,05 * (60/365) = 82.1917

Ejercicios resueltos en video.

Area de un trapecio. EJERCICIOS RESUELTOS

Cómo calcular el Área de un Trapecio. Ejemplos

En la parte de geometría , un cuadrilátero convexo con al menos un par de lados paralelos se conoce como un trapezoide o como un trapecio. Los lados paralelos se llaman las bases del trapecio y los otros dos lados se llaman las piernas o los lados laterales (si no son paralelas, de lo contrario hay dos pares de bases).

Un trapecio escaleno es un trapecio con los lados de igual medida, en contraste con los casos especiales siguientes. Un trapecio con vértices ABCD se denota ABCD.
Hay un cierto desacuerdo si los paralelogramos, que tienen dos pares de lados paralelos, deben contarse como trapecios. Algunos definen un trapezoide como un cuadrilátero que tiene exactamente un par de lados paralelos (la definición exclusiva), excluyendo de este modo a los paralelogramos.

Otros autores definen un trapecio como un cuadrilátero con al menos un par de lados paralelos, haciendo de el paralelogramo un tipo especial de trapecio. Esta última definición es coherente con los usos de las matemáticas superiores, tales como el cálculo. La primera definición haría conceptos tales como la aproximación trapezoidal a una integral definida mal definida. Este artículo utiliza la definición incluyente y considera paralelogramos como casos especiales de un trapecio. Esto también se defiende en la taxonomía de los cuadriláteros.


fórmula del Área
El área de un trapecio está dada por la fórmula:



¿Cómo encontrar la altura de un trapecio si nos dan las dos bases y el área? debemos despejar dicha altura en la fórmula. La fórmula principal arriba tiene cuatro variables (área, dos bases y la altura). Si tenemos la información de tres datos cualquiera, podemos encontrar el cuarto. Así, por ejemplo, si se conoce el área y dos bases podemos encontrar la altura, simplemente con una reorganización de la fórmula principal, es decir despejando


El área de un polígono es el número de unidades cuadradas dentro de ese polígono. El área es de 2 dimensiones como una alfombra o un tapete.

Repasando en otras palabras tenemos que:
Un trapecio es una figura de 4 lados con un par de lados paralelos. Para encontrar el área de un trapecio, debemos encontrar la suma de sus bases, multiplicar la suma por la altura del trapecio y, a continuación, dividir el resultado por 2, recordemos que la fórmula para el área de un trapecio es:



Cada base de un trapecio debe ser perpendicular a la altura.


Ejercicio 1

Encuentra el área del trapezoide ABCD.

Solución:

Este problema parece ser bastante simple, porque se nos da la longitud de las dos bases y la altura del trapecio. No importa qe base elegimos como nuestra primera o segunda base. Nos limitaremos a decir que b1 (base uno) es igual a 10 metros y que b2 (base dos) es de 18 metros.

La altura de nuestra trapezoide es la distancia perpendicular entre nuestras bases. La ilustración muestra que esta distancia es igual a 9 metros. Ahora que tenemos las medidas de ambas bases y la altura, podemos conectarlos a la fórmula del área de un trapecio. tenemos

Por lo tanto, el área del trapezoide ABCD es 126 metros cuadrados.

Miremos algunos ejemplos en el siguiente video.

Formula de Heron

Fórmula de Herón para el área de un triángulo.

Un método para calcular el área de un triángulo cuando conoces las longitudes de los tres lados se puede establecer de la siguiente forma, donde se muestra el procedimiento sistemático que permite calcular de forma completa ésta área. El procedimiento es muy sencillo al aplicar una forma conocida fórmula de Herón. Todo ésto se describe a continuación y nos va a ser de gran utilidad en nuestro curso de matemáticas.

Veamos las condiciones necesarias para proceder y los ejemplos resueltos.

Sean a, b, c las longitudes de los lados de un triángulo. El área está dada por:



donde p es la mitad del perímetro o semi-perímetro


Varias fuentes presenta esta fórmula llamando al semiperimetro como S, es decir,




Herón fue uno de los grandes matemáticos de la antigüedad y estableció esta fórmula en algún momento en el siglo primero antes de Cristo, a pesar de que pudo haber sido conocido antes. También se extendió a la zona de los cuadriláteros y polígonos de orden superior.


La Fórmula:

La fórmula de Heron viene del nombre de Héroe de Alexendria, un ingeniero y matemático griego que vivió entre los años 10-70 AD. Podemos utilizar esta fórmula para hallar el área de un triángulo con las longitudes de los tres lados.

Por lo tanto, no tenemos que depender de la fórmula para el área que utiliza la base y la altura. La siguiente imagen ilustra de forma general las partes atener en cuenta, S representa el semi-perímetro del triángulo

Ejemplo:

Utilice la fórmula de Herón para hallar el área del triángulo ABC, si
el lado AB = 3, BC = 2, CA = 4


Paso 1) Calcular el Semi-perímetro...

S = (3+2+4) /2
S = 9/2 = 4.5


Ahora sustituimos el valor de S en la fórmula



La demostración de ésta fórmula es realmente sorprendente. Se combinan elementos geométricos sencillos para llegar a construir una de las demostraciones más ricas y elegantes de toda la matemática.

Ahora tenemos en el siguiente video más ampliación de lo mencionado hasta ahora.

Triangulo Equilatero. Ejemplos

Una clase de triángulo: Triángulo Equilatero.

En el área de geometría, un triángulo equilátero es un triángulo en el que los tres lados son iguales, es decir tienen la misma medida. En la geometría tradicional, los triángulos equiláteros también son equiangulares, es decir, todos los tres ángulos internos también son congruentes entre sí y tienen cada uno 60 ° (60 grados). Estas figuras son polígonos regulares, y por lo tanto, también pueden ser estudiados como triángulos regulares.

Cada centro de un triángulo equilátero coincide con su centro de gravedad, y para algunos pares de centros de triángulo, el hecho de que coinciden es suficiente para asegurar que el triángulo es equilátero. En particular, un triángulo es equilátero si el circuncentro, incentro, baricentro u ortocentro coinciden en el mismo punto. También es equilátero si su circuncentro coincide con el punto de Nagel.

En términos generales, un triángulo equilátero es un triángulo con los tres lados de la misma longitud, lo que corresponde a lo que también podría ser conocido como un triángulo "regular". Por tanto, un triángulo equilátero es un caso especial de un triángulo isósceles que tiene no sólo dos, sino los tres lados iguales.

En palabras semejantes, un triángulo equilátero es aquel en el que los tres lados son congruentes (es decir que tienen la misma longitud). Debido a que también tiene la propiedad de que los tres ángulos interiores son iguales, lo que realmente significa que es un triángulo equiangular.

Un triángulo equilátero es más que un caso particular de un polígono regular, en este caso con 3 lados. Todos los hechos y las propiedades descritas para los polígonos regulares se aplican a un triángulo equilátero.

El área de un triángulo equilátero (que tiene todos los lados congruentes) se puede encontrar utilizando la fórmula

donde S es la longitud del lado.

Veamos algunas ideas de tipo general para ésta clase de ángulos.

Prueba Competencia Matematica para Concurso Docente 2013

Competencia Matemática en el Concurso Docente y Directivos.

En esta entrada brindamos a la comunidad de estudiantes y docentes, junto con direntivos, un extenso material sobre la prueba de aptitud o competencia matemática para concurso docente. Todo el material disponible esta resuelto paso a paso en videos explicativos. Los procedimientos y soluciones se realizan de una manea sistemática para facilitar la comprensión de cada proceso en un problema determinado. En cada video se trabaja con un ejercicio o problema específico, son ejercicios muy parecidos a los de la prueba real. La metodología consiste en desarrollar todos los ejercicios de una forma fácil y clara, entendiendo que a muchos docentes se les puede dificultar un poco lo relacionado con algunos cálculos matemáticos.

A continuación presentamos una serie de videos sobre aptitud matemática, si desea ver el curso completo de preparación puede dirigirse a nuestro canal de youtube en el enlace que está al final de éste post.

Video 07:
Samuel vende limonada y obtiene una ganancia de $180 por vaso vendido. Si vende 20 vasos por día, para ganar $12.600 tardará un tiempo de:



Video 08:
Se van a repartir $10.000 entre tres personas, de tal forma que la primera reciba $900 más que la segunda, y ésta $200 más que la tercera. La persona más beneficiada recibe en total...



Video 09:
Del dinero que tenía gasté tres quintos en chocolate y dos quintos de lo restante en canicas. Si ahora tengo trecientos pesos, al principio tenía...



Para ver todo el curso completo de Concurso Docente GRATIS! entra AQUÍ.

Como hacer un grafico. Ejemplos.

Entrada sobre la Realización de Gráficos o Gráficas con Excel.

Los Gráficos y tablas son muy importantes, ya que comunican la información visualmente. Por esta razón, las gráficas se utilizan a menudo en periódicos, revistas, informes y empresas de todo el mundo.

Muchas empresas utilizan constantemente gráficos y tablas. A veces, la información complicada es difícil de entender y necesita una ilustración. Los Gráficos o diagramas pueden ayudar a impresionar a la gente y con ésto conseguir demostrar su punto de vista a través de una forma rápida y visual.

Aquí, en esta entrada encontrará dentro del video varios gráficos y tablas diferentes para que usted considere cuál puede ser más apropiada en diferentes casos.

Cómo hacer un gráfico en Excel

Los gráficos, también denominados gráficas, son diagramas que muestran las conexiones o interrelaciones entre dos o más variables, por lo general grupos específicos de datos. Algunas clases comunes de gráficos son: de barras, de líneas, de dispersión y pastel.

Microsoft Excel es una gran herramienta para la creación de un gráfico muy bien presentado en base a sus datos. Esta entrada está escrita para Microsoft Excel 2010, pero el proceso es similar para otras versiones.

Aquí se muestra cómo hacer un gráfico en Excel:

Póngale una etiqueta a la entrada de datos, una etiqueta para cada tipo de datos que se graficó en una columna separada. Por ejemplo, si usted está graficando la precipitación en un determinado lugar, es posible que desee utilizar etiquetas tales como mes, la lluvia o la nieve.

Los datos de entrada se ubican con los valores correspondientes en cada etiqueta de entrada.

Seleccione sus datos, se puede hacer clic y arrastrar a través de las celdas en las que ha introducido sus datos, o puede mantener pulsada la tecla Mayúscula mientras utiliza las teclas de dirección para seleccionar las celdas apropiadas. Asegúrese de incluir todas las etiquetas.

Inserte el gráfico seleccione la ficha Insertar en la parte superior de la ventana. Seleccione el gráfico. Se abrirá el Asistente para gráficos.

Seleccione el tipo de gráfico que desea elegir el tipo de gráfico que mejor muestre los datos. Por ejemplo, los gráficos circulares son buenos para la visualización de porcentajes y los gráficos de líneas son buenos para la visualización de los datos en el tiempo.

Nombre su archivo e introduzca un título para el gráfico donde dice Título del gráfico. Esto es en la pestaña Títulos.

Completa tu diagrama y haga clic en las otras fichas. Se puede ajustar la forma en que el gráfico se ve cambiando las distintas opciones que se indican. El gráfico que se muestra le dará una vista previa de cada cambio. Haga clic en Siguiente cuando haya terminado.

Seleccione la ubicación del gráfico. Decida si desea colocar la tabla en la hoja de cálculo existente o en una nueva. Haga clic en Finalizar y listo.

Veamos en el video lo mencionado anteriormente.

Suma de Angulos. EJERCICIOS RESUELTOS.

Técnica para la suma de Ángulos.

Esta entrada te ayudará a resolver las sumas de ángulos que le han propuesto en su clase de Matemáticas. Al seguir los procedimientos establecidos en este post, podrás relacionar de una forma clara todo lo correspondiente a la operación de suma o adición cuando hablamos de ángulos. Los procedimientos son sencillos y fáciles de aprender. Veamos el desarrollo del tema.

Ya conocemos algo sobre la medida de los ángulos, ahora se estudiará la operación de suma de ángulos tanto de forma aritmética como de forma gráfica.

Suma de ángulos Los ángulos se suman como números reales, por ejemplo, si un ángulo mide 35° y otro mide 60° su suma será un ángulo de 35°+60°, o sea, 95°. Ejemplo Sean los ángulos a y b en la figura: La suma de éstos dos ángulos da como resultado un ángulo con medida igual a 29°+65°, es decir, un ángulo de 94°. Miren el siguiente ejemplo de suma de ángulos de forma horizontal: Analizando el anterior ejemplo podemos concluir que... Para sumar ángulos en forma aritmética, se deben sumar por un lado los grados, los minutos y los segundos respectivamente; y luego tener en cuenta que como cada 60 segundos forman un minuto, y cada 60 minutos forman un grado, luego se hace el correspondiente ajuste del resultado. Ahora hablemos sobre los Radianes: El radián es la unidad de un ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es conocido como rad. Veamos algunas equivalencias entre los grados y los radianes para determinar las relaciones 0° = 0 Radianes 90° = ½ π Radianes 180° = π Radianes 270° = (3/2) π Radianes 360° = 2π Radianes Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180o equivale a π radianes (recordemos que el número π = 3.14159…). Luego para sumar ángulos en radianes se realizan las operciones de forma algebraica. Ejemplo: (3π/2)+(5π/2)= 8π/2 simplificando tenemos: 4π. Ahora mostramos un video que explica de forma detallada la suma de ángulos.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS. EJEMPLOS RESUELTOS.

Tema sobre las Propiedades de los Logaritmos.

En esta entrada vamos a mirar el tema sobre las propiedades de los logaritmos, tema muy utilizado en el estudio del cálculo y aplicado de forma extensa en varias áreas.

Cuando estudiamos derivadas en muchas ocasiones es apropiado aplicar éstas propiedades o cuando queremos o necesitamos cambiar la base de un logaritmo para representarlo con otra base por facilidad del ejercicio determinado.

En este blog se presentan a continuación las formas que debemos mecanizar para abordar este tema, debemos prestar particular atención y nos daremos cuenta que la forma como se comportan los logaritmos es algo mecánico.

Propiedad 01:

Propiedad 02:


propiedad 03:



El logaritmo de un número es el exponente al que otro valor fijo, la base, debe elevarse para producir ese número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 a la base 10 es 3, porque 1000 es 10 a la potencia 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 10 elevado a la 3.

El logaritmo en base b = 10 se llama el logaritmo común y tiene muchas aplicaciones en la ciencia y la ingeniería. El logaritmo natural tiene la constante e (≈ 2.718) como su base, su uso está muy extendido en las matemáticas puras, sobre todo en cálculo.

El logaritmo binario utiliza la base b = 2, y es importante en la informática.
Los logaritmos fueron introducidos por John Napier en el siglo 17 como un medio para simplificar los cálculos. Ellos fueron adoptados rápidamente por los navegantes, científicos, ingenieros, y otros para realizar cálculos con mayor facilidad, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos.

Tenemos, por ejemplo la siguiente propiedad muy utilizada...



Veamos una tabla que muestra varias condiciones que cumplen los logaritmos en forma general:

	Formula	Ejemplo
Producto
Cociente
Potencia
Raíz

Ejemplos resueltos:

log(2x+2) + log x - log(12) = 0


log(2x² + 2x) - log(12) = 0
log((2x² + 2x)/12) = 0

Cambio de base de un logaritmo:

El logaritmo (x) se puede calcular a partir de los logaritmos de x y b con respecto a una base arbitraria k utilizando la siguiente fórmula:



Las calculadoras científicas calculan los logaritmos en las bases 10, para realizar un cambio dee base nos fijamos en la siguiente fórmula:



Dado un número x y su logaritmo logb (x), al cambiar a una base desconocida b, la base está dada por:



En términos concretos tenemos que Las cuatro propiedades básicas de los logaritmos son:

1. log_b(xy) = log_bx + log_by.2
2. log_b(x/y) = log_bx - log_by.3
3. log_b(xⁿ) = n log_bx.
4. log_bx = log_ax / log_ab.

Aplicaciones de los logaritmos

Los logaritmos se utilizan en una variedad de aplicaciones, en las ciencias, algunas de las aplicaciones más comunes son: nivel de intensidad del sonido (decibeles), intensidad de terremotos (escala de Richter), la desintegración radiactiva, y la acidez (pH =-log 10 [H +]). También los logaritmos son esenciales en las matemáticas para resolver ciertos problemas de tipo exponencial.

Veamos ejercicios resueltos con explicaciones sobre las propiedades de los logaritmos, video de gran ayuda para parcticar y aprender.

Area del triangulo

Entrada sobre: Área del Triángulo

Un triángulo es una de las formas básicas de la geometría: es un polígono con tres esquinas o vértices y tres lados o bordes que son segmentos de línea. Un triángulo con vértices A, B, y C se denota así:

El área de un polígono es el número de unidades cuadradas dentro de ese polígono. El área es de 2 dimensiones como una alfombra o un tapete. Un triángulo es un polígono de tres lados.

Para calcular el área de un triángulo, debemos multiplicar la base por la altura y luego dividir el resultado por 2. La división por 2 proviene del hecho de que un paralelogramo se puede dividir en 2 triángulos. Por ejemplo, el área de cada triángulo es igual a la mitad del área del paralelogramo.

Puesto que el área de un paralelogramo es el área de un triángulo debe ser la mitad del área de un paralelogramo. Por lo tanto, la fórmula para el área de un triángulo es:

o lo que es igual


Donde b e la base, y h es la altura.

La base y la altura de un triángulo deben ser perpendiculares entre sí. En cada uno de los ejemplos a continuación, la base es un lado del triángulo. Sin embargo, dependiendo del triángulo, la altura puede o no puede ser un lado del triángulo.

Los métodos para calcular el área del triángulo se pueden dar si se conocen:

Base y la altura método de altitud.

Todos los 3 lados Fórmula de Herón.

Método de la caja - Área de un triángulo
El triángulo es equilátero, por geometría.

Tenemos en cuenta que el área se mide en unidades de "cuadrado". El área de una figura es el número de plazas necesarias para cubrirlo por completo, como las baldosas de un piso.

A continuación podemos mirar más detalles.

Formulas de Trigonometria

Tablas y Fórmulas Trigonométricas

La Forma más práctica de aprender trigonometría es aprendiendo las formulas e Identidades Trigonometricas que se emplean más o que se ajustan mejor para cada caso en cada situación.

Las Identidades trigonométricas son una igualdad entre dos expresiones trigonométricas. En este caso en vez de una variable como ocurre con las ecuaciones de algebra, se emplean funciones.

Las funciones siempre intentan hallar el valor de un ángulo, es por esto que las fórmulas cumplen un papel tan importante dentro del proceso de las Identidades.


Existen seis formulas básicas para las Identidades Trigonometricas, estas son:

Primera Fórmula: La primera fórmula consiste en que el SENO al cuadrado del ángulo alfa más el COSENO al cuadrado del ángulo alfa siempre es igual a uno. Por ser una Identidad Pitagórica este principio o ley no puede modificarse.


Segunda Fórmula: La segunda de las formulas Identidades Trigonometricas, consiste en que la SECANTE al cuadrado del ángulo alfa es igual a uno más la TANGENTE al cuadrado del ángulo alfa.

Tercera fórmula: La tercera fórmula es la COSECANTE al cuadrado del ángulo alfa es igual a uno más COTANGENTE al cuadrado del ángulo alfa.

Cuarta fórmula: La cuarta fórmula considerada una de las más importantes dentro de las identidades dice que el SENO a la cuarta del ángulo alfa más el COSENO a la cuarta del ángulo alfa es igual a uno menos el doble de SENO al cuadrado del ángulo alfa por el COSENO al cuadrado del ángulo alfa.

Quinta fórmula: La quinta fórmula dice que la TANGENTE del ángulo alfa más la COTANGENTE del ángulo alfa es igual a la SECANTE del ángulo alfa por la COSECANTE del ángulo alfa.

Sexta fórmula: La sexta fórmula dice que la SECANTE al cuadrado del ángulo alfa más la COSECANTE al cuadrado del ángulo alfa es igual a la SECANTE al cuadrado de alfa por la COSECANTE al cuadrado de alfa.

Miremos las siguientes expresiones:
Cuando las funciones trigonométricas se reflejan desde ciertos ángulos, el resultado es a menudo una de las otras funciones trigonométricas. Esto conduce a las siguientes identidades:




Cambios y periodicidad

Al cambiar la función por ciertos ángulos, a menudo es posible encontrar diferentes funciones trigonométricas que expresan el resultado más simplemente. Algunos ejemplos de esto se muestran al desplazar funciones como π / 2, π y 2π. Debido a que los períodos de estas funciones, ya sea π o 2π, tienen casos en que la nueva función es exactamente la misma que la función original. Veamos:



Definición de las Razones Trigonométricas:



Propiedades recíprocos:





Propiedades cocientes:





Suma y Diferencia: Identidades

sin (x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y),

cos(x + y) = cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y),

sin(x - y) = sin(x) cos(y) - cos(x) sin(y),

cos(x - y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y),

Identidades del ángulo doble

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x),

cos(2x) = cos2(x) - sin2(x),

cos(2x) = 2 cos2(x) - 1,

cos(2x) = 1 - 2 sin2(x),

tan(2x) = [2 tan(x)]/[1-tan2(x)],

Identidades del ángulo medio

Identidad de los productos

Suma de las identidades del producto

Que son Radianes. Definicion de radianes

Sobre Qué son los Radianes en Trigonometría.

El radián es la unidad estándar de medida angular, que se utiliza en muchas áreas de las matemáticas. La medición de un ángulo en radianes es numéricamente igual a la longitud de un arco correspondiente de un círculo de la unidad, por lo que un radián es un poco menos de 57,3 grados (cuando la longitud del arco es igual al radio). La unidad fue anteriormente una unidad suplementaria SI, pero esta categoría fue oblicatoria en 1995 y el radián es ahora considerado una unidad derivada del SI. La unidad SI de medida del ángulo sólido es el estereorradián.

El radián se representa por el símbolo rad. Por ejemplo, un ángulo de 1.4 radianes se escribiría como "1,4 rad".

El Radian describe el ángulo del plano subtendido por un arco circular como la longitud del arco dividido por el radio del arco. Un radián es el ángulo subtendido en el centro de un círculo por un arco que es igual en longitud al radio del círculo. De forma más general, la magnitud en radianes de un ángulo subtendido por ejemplo es igual a la relación de la longitud del arco con el radio del círculo, es decir, θ = s / r, donde θ es el ángulo subtendido en radianes, s es la longitud de arco , y r es el radio. Además, la longitud del arco cerrado es igual al radio multiplicado por la magnitud del ángulo en radianes, es decir, s = rθ.

Notemos que una revolución completa es 2π radianes).
De ello se deduce que la magnitud en radianes de una revolución completa (360 grados) es la longitud de toda la circunferencia dividida por el radio. Por lo tanto 2π radianes es igual a 360 grados, lo que significa que un radián es igual a 180 grados / π.


Veamos las relaciones de medidas de ángulos en radianes.

1 Radian es aproximadamente 57,2958 grados.

El radián es una medida pura basada en el radio del círculo:

Por lo tanto, un Radian toma una longitud de la circunferencia de un círculo igual al radio.

Así que π radianes = 180 °

Así que 1 radián = 180 ° / π = ​​57.2958 ° (aproximadamente)

veamos una tabla comparativa:

Grados	Radianes (exacto)	Radianes (aproximado)
30°	π/6	0.524
45°	π/4	0.785
60°	π/3	1.047
90°	π/2	1.571
180°	π	3.142
270°	3π/2	4.712
360°	2π	6.283

En conclusión:
Un radián es el ángulo de un arco creado al envolver el radio de un círculo alrededor de su circunferencia.

El siguiente video muestra una explicación bien importante.

Angulos Suplementarios. Ejemplos.

¿Qué son Ángulos Suplementarios?. Concepto y Ejemplos

Los ángulos suplementarios son los pares de ángulos que suman 180 grados. Así, el suplemento de un ángulo de x grados es un ángulo de (180 - x) grados.

Si los dos ángulos suplementarios son adyacentes (es decir, tienen un vértice y comparten un solo lado común), sus lados no compartidos forman una línea recta. Sin embargo, los ángulos suplementarios no tienen que estar en la misma línea, y pueden estar separados en el espacio. Por ejemplo, los ángulos adyacentes de un paralelogramo son suplementarios, y los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico (uno cuyos vértices caen todos en un solo círculo) son suplementarios.

Si P es un punto exterior a un círculo de centro O, y si las líneas tangentes de P tocan el círculo en los puntos T y Q, entonces ∠ y ∠ TPQ TOQ son suplementarios.

gráfica de con ejemplos de dos ángulos:

Estos dos ángulos (140 ° y 40 °) son ángulos suplementarios, ya que suman 180 °.

Pero recordemos que los ángulos no tienen que estar juntos.

Estos dos ángulos son suplementarios: 60 ° + 120 ° = 180 °

Más ejemplos:
60 ° y 120 ° son ángulos suplementarios.
93 ° y 7 ° son ángulos suplementarios.


Una manera para recordar!
A veces es difícil recordar entre ángulos que son suplementarios (aquellos que suman 180 °) y complementarios (que suma 90 °). Aquí presentamos una ayuda para memorizarlo:

Un ángulo recto es el que mide 90.
Ponga una línea vertical a la derecha de la letra 'c' de 'complementario' para convertirlo en un '9 '. Luego podemos recordar que los ángulos complementarios suman 90°.


Repasemos y resumamos lo dicho:

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus ángulos es igual a 180 º.
Si se conoce un ángulo, su ángulo suplementario se puede encontrar restando la medida del ángulo de 180 º.

Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo complementario de 143°?
Solución: 180° - 143 °= 37°

Ahora mostramos un video donde se explica todo lo visto anteriormente.