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7.5.13

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS. EJEMPLOS RESUELTOS.

Tema sobre las Propiedades de los Logaritmos.

En esta entrada vamos a mirar el tema sobre las propiedades de los logaritmos, tema muy utilizado en el estudio del cálculo y aplicado de forma extensa en varias áreas.

 Cuando estudiamos derivadas en muchas ocasiones es apropiado aplicar éstas propiedades o cuando queremos o necesitamos cambiar la base de un logaritmo para representarlo con otra base por facilidad del ejercicio determinado.

 En este blog se presentan a continuación las formas que debemos mecanizar para abordar este tema, debemos prestar particular atención y nos daremos cuenta que la forma como se comportan los logaritmos es algo mecánico.

 Propiedad 01:
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Propiedad 02:
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 propiedad 03:
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El logaritmo de un número es el exponente al que otro valor fijo, la base, debe elevarse para producir ese número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 a la base 10 es 3, porque 1000 es 10 a la potencia 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 10 elevado a la 3.

El logaritmo en base b = 10 se llama el logaritmo común y tiene muchas aplicaciones en la ciencia y la ingeniería. El logaritmo natural tiene la constante e (≈ 2.718) como su base, su uso está muy extendido en las matemáticas puras, sobre todo en cálculo.

El logaritmo binario utiliza la base b = 2, y es importante en la informática.
Los logaritmos fueron introducidos por John Napier en el siglo 17 como un medio para simplificar los cálculos. Ellos fueron adoptados rápidamente por los navegantes, científicos, ingenieros, y otros para realizar cálculos con mayor facilidad, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos.

Tenemos, por ejemplo la siguiente propiedad muy utilizada...

 \log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y). \,

 Veamos una tabla que muestra varias condiciones que cumplen los logaritmos en forma general:
Formula Ejemplo
Producto \log_b(x y) = \log_b (x) + \log_b (y) \, \log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) = 2 + 3 = 5 \,
Cociente \log_b \!\left(\frac x y \right) = \log_b (x) - \log_b (y) \, \log_2 (16) = \log_2 \!\left ( \frac{64}{4} \right ) = \log_2 (64) - \log_2 (4) = 6 - 2 = 4
Potencia \log_b(x^p) = p \log_b (x) \, \log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6 \,
Raíz \log_b \sqrt[p]{x} = \frac {\log_b (x)} p \, \log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5



Ejemplos resueltos:


log(2x+2) + log x - log(12) = 0


log(2x2 + 2x) - log(12) = 0
log((2x2 + 2x)/12) = 0

Cambio de base de un logaritmo:


 El logaritmo (x) se puede calcular a partir de los logaritmos de x y b con respecto a una base arbitraria k utilizando la siguiente fórmula:

 \log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}.\,

Las calculadoras científicas calculan los logaritmos en las bases 10, para realizar un cambio dee base nos fijamos en la siguiente fórmula:

 \log_b (x) = \frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (b)} = \frac{\log_{e} (x)}{\log_{e} (b)}. \,

 Dado un número x y su logaritmo logb (x), al cambiar a una base desconocida b, la base está dada por:

 b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.

 En términos concretos tenemos que Las cuatro propiedades básicas de los logaritmos son:


  1. logb(xy) = logbx + logby.2
  2. logb(x/y) = logbx - logby.3
  3. logb(xn) = n logbx.
  4. logbx = logax / logab.



Aplicaciones de los logaritmos

Los logaritmos se utilizan en una variedad de aplicaciones, en las ciencias, algunas de las aplicaciones más comunes son: nivel de intensidad del sonido (decibeles), intensidad de terremotos (escala de Richter), la desintegración radiactiva, y la acidez (pH =-log 10 [H +]). También los logaritmos son esenciales en las matemáticas para resolver ciertos problemas de tipo exponencial.

 Veamos ejercicios resueltos con explicaciones sobre las propiedades de los logaritmos, video de gran ayuda para parcticar y aprender.