TEOREMA DEL BINOMIO - Ejercicios resueltos

TEOREMA DEL BINOMIO

El teorema del binomio

El teorema del binomio es un teorema fundamental del álgebra que se utiliza para expandir expresiones de la forma:



donde n puede ser cualquier número.

El teorema del binomio se presenta de la siguiente manera:




pero cuando se comprime se convierte en:







Las ecuaciones anteriores son bastante complicadas, pero vas a entender lo que significa cada componente si nos fijamos en el apartado de combinaciones antes de mirar el teorema del binomio. El resto debería ser más claro en el momento en que haya terminado con esta entrada.

El teorema del binomio es importante porque a medida que n se hace más grande, las expresiones tienden a ser mucho más complicadas.

Por ejemplo:








Como se puede ver, lo anterior es relativamente complicado y necesitaríamos tomar un tiempo para ampliarlo a la forma final, por lo que surge la necesidad de alguna forma de hacer que la expansión   sea mucho más rápida de resolver y que sea también más fácil.

Los coeficientes de cada término en la expresión anterior son:  {1, 6, 15, 20, 15, 6, 1}

y estos se denominan coeficientes binomiales. Estos son también los números que corresponden a la posición 6 en el Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal 

El triángulo de Pascal se refiere a un triángulo de números con cada fila posterior correspondiente al siguiente número entero de cero en adelante. Estos números también resultan ser los coeficientes binomiales. 

La matemática detrás de triángulo de Pascal es un poco más avanzada, pero el propio triángulo es muy simple. A continuación se muestra el triángulo de Pascal para los primeros números de cero a ocho.

EJERCICIOS DE SUMA Y RESTA DE MATRICES

EJERCICIOS RESUELTOS DE SUMA Y RESTA DE MATRICES

Ejemplo: una matriz con 3 filas y 5 columnas se puede añadir a otra matriz de 3 filas y 5 columnas.
Pero no se podría agregar a una matriz con 3 filas y 4 columnas (puesto que las columnas no coinciden en tamaño)

La suma de matrices es la operación de sumar dos matrices mediante la adición de las entradas correspondientes juntas.

EJERCICIOS RESUELTOS



También podemos restar una matriz de otra, siempre que tengan las mismas dimensiones.

A - B se calcula restando elementos correspondientes de A y B, y tiene las mismas dimensiones que A y B. Por ejemplo:

SUMA Y RESTA DE MATRICES

En el siguiente vídeo se consignan más ejemplos de suma y resta con matrices de mayor tamaño ( matrices 3x3)

Matriz: Suma y Resta

Las matrices se pueden sumar o restar la una de la otra solamente si tienen el mismo tamaño, lo que significa que tienen que tener el mismo número de filas y columnas. Esto se debe a que al añadir o restar matrices, los operadores trabajan en las entradas correspondientes de las matrices, de ahí la necesidad del mismo tamaño.

Veamos la forma de la Matrix, como se muestra en estas dos matrices A y B de tamaño 2 x 2









EJERCICIO RESUELTO






     

TEOREMA DE LA BISECTRIZ ejercicio resuelto

TEOREMA DE LA BISECTRIZ

En geometría, el ángulo bisectriz ó teorema de la bisectriz se refiere a las longitudes relativas de los dos segmentos de ese lado de un triángulo que está dividido por una línea que divide en dos el ángulo opuesto. Se equipara sus longitudes relativas a las longitudes relativas de los otros dos lados del triángulo. 

Considere un triángulo ABC. Deje que la bisectriz del ángulo A se cruza con el lado BC en un punto D. El teorema de la bisectriz afirma que la relación de la longitud del segmento de línea BD a la longitud del segmento DC es igual a la relación de la longitud del lado AB para la longitud del lado AC.

El teorema de la bisectriz del ángulo se utiliza comúnmente cuando se conocen las bisectrices de los ángulos y las longitudes de los lados. 

Una bisectriz de un ángulo de un triángulo isósceles también divide en dos el lado opuesto, cuando la bisectriz del ángulo biseca el ángulo del vértice del triángulo.

Demostración del Teorema de la Bisectriz

Bisectrices de los ángulos en un triángulo tienen una propiedad característica de dividir el lado opuesto en la relación de los lados adyacentes. Más exactamente,
Deje AD - D con el BC - ser la bisectriz de ∠ A en ΔABC. Si b = AC, c = AB, m = CD, y n = BD, a continuación,
b / c = m / n.

El teorema de ángulo bisectriz implica una proporción al igual que con los triángulos semejantes. Pero tenga en cuenta que usted nunca consigue triángulos semejantes cuando biseca un ángulo de un triángulo (a menos que usted biseca el ángulo del vértice de un triángulo isósceles, en cuyo caso la bisectriz divide el triángulo en dos triángulos congruentes).

Por alguna razón, los estudiantes a menudo se olvidan de este teorema. Así que cada vez que vea un triángulo con uno de sus ángulos bisectados, considere el uso del teorema.

EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESION ARITMETICA

EJERCICIOS DE PROGRESIÓN ARITMÉTICA

En matemáticas, una progresión aritmética (PA) o una secuencia aritmética es una secuencia de números tales que la diferencia entre los términos consecutivos es constante. Por ejemplo, la secuencia 4, 9, 14, 19, 24, 29 ... es una progresión aritmética con diferencia común de 5 y cuyo primer término es 4.

Una cantidad de términos  finito de una progresión aritmética se llama una progresión aritmética finita y a veces se nombra simplemente como progresión aritmética. 

La suma de una progresión aritmética finita se llama una serie aritmética. 

El comportamiento de la progresión aritmética depende de la diferencia común (d). Si la diferencia común es: 

Positiva, los miembros (términos) crecerán hacia el infinito positivo. 

Negativa, los miembros (términos) crecerán hacia el infinito negativo.

Por una progresión aritmética de términos m, nos referimos a una secuencia finita de la forma 

a, a + d, a + 2d, 3d A +,. . . , A + (m - 1) d. 

El número real a se llama el primer término de la progresión aritmética y el número real d se llama la diferencia de la progresión aritmética.

Veamos en el siguiente tutorial un ejercicio resuelto paso a paso.

EJERCICIO SOBRE PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Ejercicio resuelto 01

Considere la secuencia de números
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23.
Esta secuencia tiene la propiedad de que la diferencia entre los términos sucesivos es constante e igual a 2.
Aquí tenemos: a = 1; d = 2.

Ejercicio resuelto 02

Considere la secuencia de números
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32.
Esta secuencia tiene la propiedad de que la diferencia entre los términos sucesivos es constante e igual a 3.
Aquí tenemos: a = 2; d = 3.

Secuencia aritmética

progresión aritmética

Una secuencia como 1, 5, 9, 13, 17 o 12, 7, 2, -3, -8, -13, -18, que tiene una diferencia constante entre los términos. El primer término es a1, la diferencia común es d, y el número de términos es n.

Fórmula explícita dela progresión aritmética:

a_n =  a₁ + d ( n – 1 ) 

Ejemplo 1: 

3, 7, 11, 15, 19 tiene A1 = 3, d = 4,
y n = 5. La fórmula explícita es
un = 3 + (n - 1) · 4 = 4n - 1

Ejemplo 2:
3, -2, -7, -12 tiene a1 = 3, d = -5,
y n = 4. La fórmula explícita es
an = 3 + (n - 1) (-5) = 8 - 5n

La Progresión aritmética. 

La secuencia numérica, en el que cada término siguiente a partir de la segunda es igual al término anterior, añadido con la constante para este número de secuencia d, se llama una progresión aritmética. El número d se llama diferencia común. Cualquier término de una progresión aritmética se calcula mediante la fórmula: 

a_n =  a₁ + d ( n – 1 )

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON FRACCIONARIOS

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON FRACCIONARIOS

Las ecuaciones que contienen fracciones

Acomode las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Luego resuelve la ecuación mediante la aplicación de las operaciones convenientes a ambos lados de la misma.

Proceso de Resolución de ecuaciones lineales

Si la ecuación contiene fracciones utiliza el mínimo común denominador para borrar las fracciones. Haremos esto multiplicando ambos lados de la ecuación por el común denominador.

Además, si hay variables en los denominadores de las fracciones se debe identificar los valores de la variable que dará a la división por cero ya que necesitaremos para evitar estos valores en nuestra solución.

Simplificar ambos lados de la ecuación. Esto significa la eliminación de cualquier paréntesis y combina los términos semejantes.

Utilice los dos primeros hechos anteriores para obtener todos los términos con la variable en un lado de las ecuaciones y todas las constantes en el otro lado .

Tenga en cuenta que por lo general sólo dividimos ambos lados de la ecuación por el coeficiente si se trata de un número entero o multiplicar ambos lados de la ecuación por el recíproco del coeficiente si se trata de una fracción .

ECUACIONES LINEALES CON FRACCIONES

VERIFICAR SU RESPUESTA

Este es el último paso y el paso que más a menudo se omite, sin embargo, es probablemente el paso más importante en el proceso . Con este paso se puede saber si tienes la respuesta correcta mucho antes de que su instructor nunca lo revise. Verificamos la respuesta conectando los resultados de los pasos anteriores en la ecuación original . Es muy importante revisar la ecuación original, ya que puede haber cometido un error en el primer paso que de lugar a una respuesta incorrecta.

Además, si hubo fracciones en el problema y no había valores de la variable que dan a la división por cero (recuérdese el primer paso), es importante asegurarse de que uno de estos valores no terminan en el conjunto solución .

EJERCICIOS RESUELTOS

Algunos estudiantes encuentran muy intimidantes las ecuaciones con fracciones. Bueno, no se preocupe que en esta entrada, usted aprenderá cómo manejar las fracciones.

Eliminación de fracciones en las ecuaciones

Un método para resolver ecuaciones con fracciones es deshacerse de las fracciones en conjunto. Recuerde, las fracciones son una manera de representar la división. Por ejemplo, 11/12 es igual a 11 dividido por 12.

Para deshacerse de la fracción, podemos usar el frente de división, multiplicación. Lo contrario de dividir por 12 es multiplicar por 12. Observe lo que sucede a la fracción cuando multiplicamos la ecuación (11/12) x + 5 = 27 12.

ECUACIONES LINEALES Ejercicios resueltos

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES LINEALES

Una ecuación lineal es una ecuación algebraica en la que cada término es una constante o el producto de una constante y la variable es de grado uno para las ecuaciones lineales de primer grado que son las que trataremos en esta entrada.

Las ecuaciones lineales pueden tener una o más variables. Las ecuaciones lineales se producen abundantemente en la mayoría de las áreas de las matemáticas y sobre todo en las matemáticas aplicadas.

Mientras que surjan de forma natural al modelar muchos fenómenos, que son particularmente útiles ya que muchas ecuaciones no lineales se pueden reducir a ecuaciones lineales por el supuesto de que las cantidades de interés varían de sólo una pequeña parte de algún estado.

Las Ecuaciones lineales no incluyen exponentes. En esta entrada se considera el caso de una sola ecuación para el que uno busca las soluciones reales. Ahora podemos revisar el siguiente vídeo como una introducción para comprender todos los despejes necesarios.

Ecuaciones lineales - Ejercicios resueltos

Ecuaciones lineales con una incógnita

Una ecuación lineal se presenta como cualquier otra ecuación. Se compone de dos expresiones establecidas iguales entre sí.
Una ecuación lineal es especial debido a lo siguiente:

• Tiene una o dos variables. 
• Ninguna variable en una ecuación lineal se eleva a una potencia superior a 1 o se utiliza como denominador de una fracción. 

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

En el siguiente tutorial mostramos varios ejercicio sobre ecuaciones vinculando también la destrucción de paréntesis.

Resolver ecuaciones lineales con una Variable

Resolver una ecuación lineal en una variable significa encontrar el valor de la variable; se trata de realizar las mismas operaciones en ambos lados de la ecuación para mantener la igualdad mientras se trabajaba para aislar la variable en un lado de la ecuación. En este ejemplo se resuelve para la variable x:

2( x – 1 ) = 13 - x

2x – 2 = 13 - x

2x + x = 13 + 2

3x = 15

x = 5

Es muy importante tener cuidando de realizar cada operación correctamente, pero la clave para resolver sistemas de ecuaciones lineales es tener claridad sobre la operación que se debe realizar a continuación. Aquí está una lista del orden habitual a seguir:

1.    Distribuir si es necesario

2.    Combinar términos si es necesario

3.    Sumar o restar para mover la variable x como término de un lado

4.    Sumar o restar para mover las constantes al lado opuesto de la x

5.    Divida ambos lados por el coeficiente de x

Muchas veces algunos de los pasos no serán necesarios. En el ejemplo anterior usamos el paso 1, luego paso 3, luego paso 4 y paso 5. 

SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ejercicios

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Antes de evaluar una expresión algebraica, es necesario simplificarla. Esto hará que todos sus cálculos sean mucho más fácil.

A continuación estos son los pasos básicos a seguir para simplificar una expresión algebraica:

• aplicar paréntesis por factores 
• utilizar reglas de los exponentes para eliminar paréntesis en términos con exponentes 
• combinar términos semejantes añadiendo coeficientes 
• combinar las constantes

Para simplificar una expresión algebraica, nos referimos a la escritura de la manera más compacta o eficiente, sin cambiar el valor de la expresión. Se trata principalmente de la reducción de términos semejantes, lo que significa que sumamos todo lo que se pueden sumar. La regla aquí es que sólo los términos semejantes se pueden sumar.

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Aprender a simplificar expresiones algebraicas es una parte clave para dominar el álgebra básica y una herramienta muy valiosa para todos los matemáticos o individuos que utilicen la matemática.

La simplificación permite cambiar una compleja y larga expresión en una más simple o más conveniente que es equivalente a la primera. Siguiendo unos sencillos pasos, es posible simplificar muchos de los tipos más comunes de expresiones algebraicas y sin ningún tipo especial de conocimiento matemático. 

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

para los dos términos que son semejantes, estos deben tener la misma variable o las variables, y cada variable se deben levantar a la misma potencia. El orden de las variables no importa.

Utilice el acrónimo para recordar el orden de las operaciones. A veces, simplificar una expresión significa nada más que la realización de las operaciones en la expresión hasta que no se puede hacer más. En estos casos, es importante recordar el orden de las operaciones de manera que se puedan evitar errores aritméticos. Generalmente el orden para las operaciones es el siguiente:

• paréntesis 
• exponentes 
• multiplicación 
• división 
• adición 
• sustracción

TASA EFECTIVA Y TASA NOMINAL Ejercicios resueltos

PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE TASA EFECTIVA Y TASA NOMINAL

El término "tasa de interés" es una de las frases más utilizadas en la financiación al consumo y las inversiones de renta fija. Por supuesto, hay varios tipos de tasas de interés: reales, nominales, efectivas, anuales y así sucesivamente. Las diferencias entre los distintos tipos de tasas, como nominal y real, se basan en varios factores económicos claves. Pero mientras estas variables técnicas pueden parecer triviales a las instituciones de crédito, los minoristas han estado tomando ventaja de la ignorancia general de la opinión pública de estas distinciones en el rastrillo de cientos de miles de millones de dólares a lo largo de los años. Por lo tanto, aquellos que entienden la diferencia entre las tasas de interés nominales y reales han dado un gran paso para convertirse en consumidores y los inversores más inteligentes.

EJERCICIOS RESUELTOS DE TASA EFECTIVA Y TASA NOMINAL

En las finanzas y la economía, la tasa de interés nominal o la tasa de interés nominal se refiere a dos cosas distintas: la tasa de interés antes del ajuste por inflación (en contraste con la tasa de interés real); o para los tipos de interés "según lo indicado" sin ajuste por el efecto total de la capitalización (también conocida como la tasa nominal anual). Una tasa de interés nominal se llama según la frecuencia de la capitalización (por ejemplo, un mes) no es idéntico a la unidad de tiempo básica (normalmente un año).

CONCEPTO DE TASA DE INTERÉS EFECTIVA

Tasa de interés efectiva

Otro tipo de tasa de interés que los inversores y los prestatarios deben saber se llama la tasa efectiva, que tiene el poder de la composición en cuenta. Por ejemplo, si un bono paga 6% sobre una base anual y compuestos semestralmente, a continuación, un inversor que invierte $ 1,000 en este vínculo recibirá $ 30 de interés después de los primeros 6 meses ($ 1.000 x 0,03), y $ 30.90 de interés después de los próximos 6 meses ($ 1.030 x 0,03). El inversionista recibió un total de $ 60.90 para el año, lo que significa que, si bien la tasa nominal fue del 6%, la tasa efectiva fue del 6,09%. Matemáticamente hablando, la diferencia entre las tasas nominales y efectivas aumenta con el número de períodos de capitalización dentro de un período de tiempo específico.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE TASA EFECTIVA Y TASA NOMINAL

Aplicaciones de las tasas de interés

La principal ventaja de conocer la diferencia entre las tasas nominales, reales y efectivas es que permite a los consumidores a tomar mejores decisiones acerca de sus préstamos e inversiones. Un préstamo con frecuentes períodos de capitalización será más caro que uno que se compone anualmente. Un vínculo que sólo paga una tasa de interés real del 1% puede no valer la pena en el tiempo de los inversores si buscan hacer crecer sus activos en el tiempo. Estas tasas revelan efectivamente el verdadero retorno que será publicado por una inversión en renta fija y el verdadero costo de los préstamos para una persona o empresa.


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Ejercicios resueltos de ECUACIONES EXPONENCIALES

Problemas resueltos de ECUACIONES EXPONENCIALES

Para resolver ecuaciones exponenciales sin logaritmos, es necesario tener ecuaciones con expresiones exponenciales comparables sobre ambos lados de la ecuación determinada, para que pueda comparar las potencias y resolver el problema. En otras palabras, usted tiene que tener alguna base en una potencia y que las potencias tengan la misma base, y resolver la ecuación resultante. Por ejemplo:

5^x = 5⁷

Notamos que las bases son iguales, por lo tanto los exponentes serán también iguales, de aquí podemos decir que:

x = 5

Esta solución es muestra de cómo se resuelve esta clase de ecuaciones: 

si las bases son las mismas, entonces los exponentes también deben ser los mismos, a fin que los dos lados de la ecuación sean iguales entre sí.

Veamos los ejercicios resueltos de ECUACIONES EXPONENCIALES en los siguientes vídeos:

ECUACIONES EXPONENCIALES

A veces, usted primero necesita convertir un lado a que sea equivalente al otro en cuanto a sus bases.
A continuación tenemos más ejercicios y problemas resueltos para practicar y reforzar el tema:

Problemas de ecuaciones exponenciales:

Una ecuación exponencial es una ecuación en donde la variable se produce en el exponente.

Una ecuación exponencial en la que cada lado se puede expresar en
términos de la misma base se pueden resolver mediante las propiedades que tenemos en el siguiente vídeo:

Ejercicios resueltos en vídeo de ecuaciones exponenciales:

Tenemos otros ejercicios sobre ecuaciones exponenciales para afianzar la solución de problemas:



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