CLASES DE MATEMÁTICAS: martes, mayo 07, 2013

7.5.13

Formula de Heron

Fórmula de Herón para el área de un triángulo.

Un método para calcular el área de un triángulo cuando conoces las longitudes de los tres lados se puede establecer de la siguiente forma, donde se muestra el procedimiento sistemático que permite calcular de forma completa ésta área. El procedimiento es muy sencillo al aplicar una forma conocida fórmula de Herón. Todo ésto se describe a continuación y nos va a ser de gran utilidad en nuestro curso de matemáticas.

Veamos las condiciones necesarias para proceder y los ejemplos resueltos.

Sean a, b, c las longitudes de los lados de un triángulo. El área está dada por:

herons formula

donde p es la mitad del perímetro o semi-perímetro
herons formula

Varias fuentes presenta esta fórmula llamando al semiperimetro como S, es decir,

Herón fue uno de los grandes matemáticos de la antigüedad y estableció esta fórmula en algún momento en el siglo primero antes de Cristo, a pesar de que pudo haber sido conocido antes. También se extendió a la zona de los cuadriláteros y polígonos de orden superior.

La Fórmula:

La fórmula de Heron viene del nombre de Héroe de Alexendria, un ingeniero y matemático griego que vivió entre los años 10-70 AD. Podemos utilizar esta fórmula para hallar el área de un triángulo con las longitudes de los tres lados.

Por lo tanto, no tenemos que depender de la fórmula para el área que utiliza la base y la altura. La siguiente imagen ilustra de forma general las partes atener en cuenta, S representa el semi-perímetro del triángulo

Ejemplo:

Utilice la fórmula de Herón para hallar el área del triángulo ABC, si
el lado AB = 3, BC = 2, CA = 4

Paso 1) Calcular el Semi-perímetro...

S = (3+2+4) /2
S = 9/2 = 4.5

Ahora sustituimos el valor de S en la fórmula

La demostración de ésta fórmula es realmente sorprendente. Se combinan elementos geométricos sencillos para llegar a construir una de las demostraciones más ricas y elegantes de toda la matemática.

Ahora tenemos en el siguiente video más ampliación de lo mencionado hasta ahora.

Triangulo Equilatero. Ejemplos

Una clase de triángulo: Triángulo Equilatero.

En el área de geometría, un triángulo equilátero es un triángulo en el que los tres lados son iguales, es decir tienen la misma medida. En la geometría tradicional, los triángulos equiláteros también son equiangulares, es decir, todos los tres ángulos internos también son congruentes entre sí y tienen cada uno 60 ° (60 grados). Estas figuras son polígonos regulares, y por lo tanto, también pueden ser estudiados como triángulos regulares.

Cada centro de un triángulo equilátero coincide con su centro de gravedad, y para algunos pares de centros de triángulo, el hecho de que coinciden es suficiente para asegurar que el triángulo es equilátero. En particular, un triángulo es equilátero si el circuncentro, incentro, baricentro u ortocentro coinciden en el mismo punto. También es equilátero si su circuncentro coincide con el punto de Nagel.

En términos generales, un triángulo equilátero es un triángulo con los tres lados de la misma longitud, lo que corresponde a lo que también podría ser conocido como un triángulo "regular". Por tanto, un triángulo equilátero es un caso especial de un triángulo isósceles que tiene no sólo dos, sino los tres lados iguales.

En palabras semejantes, un triángulo equilátero es aquel en el que los tres lados son congruentes (es decir que tienen la misma longitud). Debido a que también tiene la propiedad de que los tres ángulos interiores son iguales, lo que realmente significa que es un triángulo equiangular.

Un triángulo equilátero es más que un caso particular de un polígono regular, en este caso con 3 lados. Todos los hechos y las propiedades descritas para los polígonos regulares se aplican a un triángulo equilátero.

El área de un triángulo equilátero (que tiene todos los lados congruentes) se puede encontrar utilizando la fórmula

donde S es la longitud del lado.

Veamos algunas ideas de tipo general para ésta clase de ángulos.

Prueba Competencia Matematica para Concurso Docente 2013

Competencia Matemática en el Concurso Docente y Directivos.

En esta entrada brindamos a la comunidad de estudiantes y docentes, junto con direntivos, un extenso material sobre la prueba de aptitud o competencia matemática para concurso docente. Todo el material disponible esta resuelto paso a paso en videos explicativos. Los procedimientos y soluciones se realizan de una manea sistemática para facilitar la comprensión de cada proceso en un problema determinado. En cada video se trabaja con un ejercicio o problema específico, son ejercicios muy parecidos a los de la prueba real. La metodología consiste en desarrollar todos los ejercicios de una forma fácil y clara, entendiendo que a muchos docentes se les puede dificultar un poco lo relacionado con algunos cálculos matemáticos.

A continuación presentamos una serie de videos sobre aptitud matemática, si desea ver el curso completo de preparación puede dirigirse a nuestro canal de youtube en el enlace que está al final de éste post.

Video 07:
Samuel vende limonada y obtiene una ganancia de $180 por vaso vendido. Si vende 20 vasos por día, para ganar $12.600 tardará un tiempo de:

Video 08:
Se van a repartir $10.000 entre tres personas, de tal forma que la primera reciba $900 más que la segunda, y ésta $200 más que la tercera. La persona más beneficiada recibe en total...

Video 09:
Del dinero que tenía gasté tres quintos en chocolate y dos quintos de lo restante en canicas. Si ahora tengo trecientos pesos, al principio tenía...

Para ver todo el curso completo de Concurso Docente GRATIS! entra AQUÍ.

Como hacer un grafico. Ejemplos.

Entrada sobre la Realización de Gráficos o Gráficas con Excel.

Los Gráficos y tablas son muy importantes, ya que comunican la información visualmente. Por esta razón, las gráficas se utilizan a menudo en periódicos, revistas, informes y empresas de todo el mundo.

Muchas empresas utilizan constantemente gráficos y tablas. A veces, la información complicada es difícil de entender y necesita una ilustración. Los Gráficos o diagramas pueden ayudar a impresionar a la gente y con ésto conseguir demostrar su punto de vista a través de una forma rápida y visual.

Aquí, en esta entrada encontrará dentro del video varios gráficos y tablas diferentes para que usted considere cuál puede ser más apropiada en diferentes casos.

Cómo hacer un gráfico en Excel

Los gráficos, también denominados gráficas, son diagramas que muestran las conexiones o interrelaciones entre dos o más variables, por lo general grupos específicos de datos. Algunas clases comunes de gráficos son: de barras, de líneas, de dispersión y pastel.

Microsoft Excel es una gran herramienta para la creación de un gráfico muy bien presentado en base a sus datos. Esta entrada está escrita para Microsoft Excel 2010, pero el proceso es similar para otras versiones.

Aquí se muestra cómo hacer un gráfico en Excel:

Póngale una etiqueta a la entrada de datos, una etiqueta para cada tipo de datos que se graficó en una columna separada. Por ejemplo, si usted está graficando la precipitación en un determinado lugar, es posible que desee utilizar etiquetas tales como mes, la lluvia o la nieve.

Los datos de entrada se ubican con los valores correspondientes en cada etiqueta de entrada.

Seleccione sus datos, se puede hacer clic y arrastrar a través de las celdas en las que ha introducido sus datos, o puede mantener pulsada la tecla Mayúscula mientras utiliza las teclas de dirección para seleccionar las celdas apropiadas. Asegúrese de incluir todas las etiquetas.

Inserte el gráfico seleccione la ficha Insertar en la parte superior de la ventana. Seleccione el gráfico. Se abrirá el Asistente para gráficos.

Seleccione el tipo de gráfico que desea elegir el tipo de gráfico que mejor muestre los datos. Por ejemplo, los gráficos circulares son buenos para la visualización de porcentajes y los gráficos de líneas son buenos para la visualización de los datos en el tiempo.

Nombre su archivo e introduzca un título para el gráfico donde dice Título del gráfico. Esto es en la pestaña Títulos.

Completa tu diagrama y haga clic en las otras fichas. Se puede ajustar la forma en que el gráfico se ve cambiando las distintas opciones que se indican. El gráfico que se muestra le dará una vista previa de cada cambio. Haga clic en Siguiente cuando haya terminado.

Seleccione la ubicación del gráfico. Decida si desea colocar la tabla en la hoja de cálculo existente o en una nueva. Haga clic en Finalizar y listo.

Veamos en el video lo mencionado anteriormente.

Suma de Angulos. EJERCICIOS RESUELTOS.

Técnica para la suma de Ángulos.

Esta entrada te ayudará a resolver las sumas de ángulos que le han propuesto en su clase de Matemáticas. Al seguir los procedimientos establecidos en este post, podrás relacionar de una forma clara todo lo correspondiente a la operación de suma o adición cuando hablamos de ángulos. Los procedimientos son sencillos y fáciles de aprender. Veamos el desarrollo del tema.

Ya conocemos algo sobre la medida de los ángulos, ahora se estudiará la operación de suma de ángulos tanto de forma aritmética como de forma gráfica.
Suma de ángulos Los ángulos se suman como números reales, por ejemplo, si un ángulo mide 35° y otro mide 60° su suma será un ángulo de 35°+60°, o sea, 95°. Ejemplo Sean los ángulos a y b en la figura: La suma de éstos dos ángulos da como resultado un ángulo con medida igual a 29°+65°, es decir, un ángulo de 94°. Miren el siguiente ejemplo de suma de ángulos de forma horizontal: Analizando el anterior ejemplo podemos concluir que... Para sumar ángulos en forma aritmética, se deben sumar por un lado los grados, los minutos y los segundos respectivamente; y luego tener en cuenta que como cada 60 segundos forman un minuto, y cada 60 minutos forman un grado, luego se hace el correspondiente ajuste del resultado. Ahora hablemos sobre los Radianes: El radián es la unidad de un ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es conocido como rad. Veamos algunas equivalencias entre los grados y los radianes para determinar las relaciones 0° = 0 Radianes 90° = ½ π Radianes 180° = π Radianes 270° = (3/2) π Radianes 360° = 2π Radianes Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360^o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180^o equivale a π radianes (recordemos que el número π = 3.14159…). Luego para sumar ángulos en radianes se realizan las operciones de forma algebraica. Ejemplo: (3π/2)+(5π/2)= 8π/2 simplificando tenemos: 4π. Ahora mostramos un video que explica de forma detallada la suma de ángulos.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS. EJEMPLOS RESUELTOS.

Tema sobre las Propiedades de los Logaritmos.

En esta entrada vamos a mirar el tema sobre las propiedades de los logaritmos, tema muy utilizado en el estudio del cálculo y aplicado de forma extensa en varias áreas.

Cuando estudiamos derivadas en muchas ocasiones es apropiado aplicar éstas propiedades o cuando queremos o necesitamos cambiar la base de un logaritmo para representarlo con otra base por facilidad del ejercicio determinado.

En este blog se presentan a continuación las formas que debemos mecanizar para abordar este tema, debemos prestar particular atención y nos daremos cuenta que la forma como se comportan los logaritmos es algo mecánico.

Propiedad 01:
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Propiedad 02:
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propiedad 03:
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El logaritmo de un número es el exponente al que otro valor fijo, la base, debe elevarse para producir ese número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 a la base 10 es 3, porque 1000 es 10 a la potencia 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 10 elevado a la 3.

El logaritmo en base b = 10 se llama el logaritmo común y tiene muchas aplicaciones en la ciencia y la ingeniería. El logaritmo natural tiene la constante e (≈ 2.718) como su base, su uso está muy extendido en las matemáticas puras, sobre todo en cálculo.

El logaritmo binario utiliza la base b = 2, y es importante en la informática.
Los logaritmos fueron introducidos por John Napier en el siglo 17 como un medio para simplificar los cálculos. Ellos fueron adoptados rápidamente por los navegantes, científicos, ingenieros, y otros para realizar cálculos con mayor facilidad, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos.

Tenemos, por ejemplo la siguiente propiedad muy utilizada...

$\log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y). \,$

Veamos una tabla que muestra varias condiciones que cumplen los logaritmos en forma general:

	Formula	Ejemplo
Producto	$\log_b(x y) = \log_b (x) + \log_b (y) \,$	$\log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) = 2 + 3 = 5 \,$
Cociente	$\log_b \!\left(\frac x y \right) = \log_b (x) - \log_b (y) \,$	$\log_2 (16) = \log_2 \!\left ( \frac{64}{4} \right ) = \log_2 (64) - \log_2 (4) = 6 - 2 = 4$
Potencia	$\log_b(x^p) = p \log_b (x) \,$	$\log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6 \,$
Raíz	$\log_b \sqrt[p]{x} = \frac {\log_b (x)} p \,$	$\log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5$

Ejemplos resueltos:

log(2x+2) + log x - log(12) = 0

log(2x² + 2x) - log(12) = 0
log((2x² + 2x)/12) = 0

Cambio de base de un logaritmo:

El logaritmo (x) se puede calcular a partir de los logaritmos de x y b con respecto a una base arbitraria k utilizando la siguiente fórmula:

$\log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}.\,$

Las calculadoras científicas calculan los logaritmos en las bases 10, para realizar un cambio dee base nos fijamos en la siguiente fórmula:

$\log_b (x) = \frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (b)} = \frac{\log_{e} (x)}{\log_{e} (b)}. \,$

Dado un número x y su logaritmo logb (x), al cambiar a una base desconocida b, la base está dada por:

$b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.$

En términos concretos tenemos que Las cuatro propiedades básicas de los logaritmos son:

log_b(xy) = log_bx + log_by.2
log_b(x/y) = log_bx - log_by.3
log_b(xⁿ) = n log_bx.
log_bx = log_ax / log_ab.

Aplicaciones de los logaritmos

Los logaritmos se utilizan en una variedad de aplicaciones, en las ciencias, algunas de las aplicaciones más comunes son: nivel de intensidad del sonido (decibeles), intensidad de terremotos (escala de Richter), la desintegración radiactiva, y la acidez (pH =-log 10 [H +]). También los logaritmos son esenciales en las matemáticas para resolver ciertos problemas de tipo exponencial.

Veamos ejercicios resueltos con explicaciones sobre las propiedades de los logaritmos, video de gran ayuda para parcticar y aprender.

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