Area del triangulo

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Un triángulo es una de las formas básicas de la geometría: es un polígono con tres esquinas o vértices y tres lados o bordes que son segmentos de línea. Un triángulo con vértices A, B, y C se denota así:

El área de un polígono es el número de unidades cuadradas dentro de ese polígono. El área es de 2 dimensiones como una alfombra o un tapete. Un triángulo es un polígono de tres lados.

Para calcular el área de un triángulo, debemos multiplicar la base por la altura y luego dividir el resultado por 2. La división por 2 proviene del hecho de que un paralelogramo se puede dividir en 2 triángulos. Por ejemplo, el área de cada triángulo es igual a la mitad del área del paralelogramo.

Puesto que el área de un paralelogramo es el área de un triángulo debe ser la mitad del área de un paralelogramo. Por lo tanto, la fórmula para el área de un triángulo es:

o lo que es igual


Donde b e la base, y h es la altura.

La base y la altura de un triángulo deben ser perpendiculares entre sí. En cada uno de los ejemplos a continuación, la base es un lado del triángulo. Sin embargo, dependiendo del triángulo, la altura puede o no puede ser un lado del triángulo.

Los métodos para calcular el área del triángulo se pueden dar si se conocen:

Base y la altura método de altitud.

Todos los 3 lados Fórmula de Herón.

Método de la caja - Área de un triángulo
El triángulo es equilátero, por geometría.

Tenemos en cuenta que el área se mide en unidades de "cuadrado". El área de una figura es el número de plazas necesarias para cubrirlo por completo, como las baldosas de un piso.

A continuación podemos mirar más detalles.

Formulas de Trigonometria

Tablas y Fórmulas Trigonométricas

La Forma más práctica de aprender trigonometría es aprendiendo las formulas e Identidades Trigonometricas que se emplean más o que se ajustan mejor para cada caso en cada situación.

Las Identidades trigonométricas son una igualdad entre dos expresiones trigonométricas. En este caso en vez de una variable como ocurre con las ecuaciones de algebra, se emplean funciones.

Las funciones siempre intentan hallar el valor de un ángulo, es por esto que las fórmulas cumplen un papel tan importante dentro del proceso de las Identidades.


Existen seis formulas básicas para las Identidades Trigonometricas, estas son:

Primera Fórmula: La primera fórmula consiste en que el SENO al cuadrado del ángulo alfa más el COSENO al cuadrado del ángulo alfa siempre es igual a uno. Por ser una Identidad Pitagórica este principio o ley no puede modificarse.


Segunda Fórmula: La segunda de las formulas Identidades Trigonometricas, consiste en que la SECANTE al cuadrado del ángulo alfa es igual a uno más la TANGENTE al cuadrado del ángulo alfa.

Tercera fórmula: La tercera fórmula es la COSECANTE al cuadrado del ángulo alfa es igual a uno más COTANGENTE al cuadrado del ángulo alfa.

Cuarta fórmula: La cuarta fórmula considerada una de las más importantes dentro de las identidades dice que el SENO a la cuarta del ángulo alfa más el COSENO a la cuarta del ángulo alfa es igual a uno menos el doble de SENO al cuadrado del ángulo alfa por el COSENO al cuadrado del ángulo alfa.

Quinta fórmula: La quinta fórmula dice que la TANGENTE del ángulo alfa más la COTANGENTE del ángulo alfa es igual a la SECANTE del ángulo alfa por la COSECANTE del ángulo alfa.

Sexta fórmula: La sexta fórmula dice que la SECANTE al cuadrado del ángulo alfa más la COSECANTE al cuadrado del ángulo alfa es igual a la SECANTE al cuadrado de alfa por la COSECANTE al cuadrado de alfa.

Miremos las siguientes expresiones:
Cuando las funciones trigonométricas se reflejan desde ciertos ángulos, el resultado es a menudo una de las otras funciones trigonométricas. Esto conduce a las siguientes identidades:




Cambios y periodicidad

Al cambiar la función por ciertos ángulos, a menudo es posible encontrar diferentes funciones trigonométricas que expresan el resultado más simplemente. Algunos ejemplos de esto se muestran al desplazar funciones como π / 2, π y 2π. Debido a que los períodos de estas funciones, ya sea π o 2π, tienen casos en que la nueva función es exactamente la misma que la función original. Veamos:



Definición de las Razones Trigonométricas:



Propiedades recíprocos:





Propiedades cocientes:





Suma y Diferencia: Identidades

sin (x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y),

cos(x + y) = cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y),

sin(x - y) = sin(x) cos(y) - cos(x) sin(y),

cos(x - y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y),

Identidades del ángulo doble

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x),

cos(2x) = cos2(x) - sin2(x),

cos(2x) = 2 cos2(x) - 1,

cos(2x) = 1 - 2 sin2(x),

tan(2x) = [2 tan(x)]/[1-tan2(x)],

Identidades del ángulo medio

Identidad de los productos

Suma de las identidades del producto

Que son Radianes. Definicion de radianes

Sobre Qué son los Radianes en Trigonometría.

El radián es la unidad estándar de medida angular, que se utiliza en muchas áreas de las matemáticas. La medición de un ángulo en radianes es numéricamente igual a la longitud de un arco correspondiente de un círculo de la unidad, por lo que un radián es un poco menos de 57,3 grados (cuando la longitud del arco es igual al radio). La unidad fue anteriormente una unidad suplementaria SI, pero esta categoría fue oblicatoria en 1995 y el radián es ahora considerado una unidad derivada del SI. La unidad SI de medida del ángulo sólido es el estereorradián.

El radián se representa por el símbolo rad. Por ejemplo, un ángulo de 1.4 radianes se escribiría como "1,4 rad".

El Radian describe el ángulo del plano subtendido por un arco circular como la longitud del arco dividido por el radio del arco. Un radián es el ángulo subtendido en el centro de un círculo por un arco que es igual en longitud al radio del círculo. De forma más general, la magnitud en radianes de un ángulo subtendido por ejemplo es igual a la relación de la longitud del arco con el radio del círculo, es decir, θ = s / r, donde θ es el ángulo subtendido en radianes, s es la longitud de arco , y r es el radio. Además, la longitud del arco cerrado es igual al radio multiplicado por la magnitud del ángulo en radianes, es decir, s = rθ.

Notemos que una revolución completa es 2π radianes).
De ello se deduce que la magnitud en radianes de una revolución completa (360 grados) es la longitud de toda la circunferencia dividida por el radio. Por lo tanto 2π radianes es igual a 360 grados, lo que significa que un radián es igual a 180 grados / π.


Veamos las relaciones de medidas de ángulos en radianes.

1 Radian es aproximadamente 57,2958 grados.

El radián es una medida pura basada en el radio del círculo:

Por lo tanto, un Radian toma una longitud de la circunferencia de un círculo igual al radio.

Así que π radianes = 180 °

Así que 1 radián = 180 ° / π = ​​57.2958 ° (aproximadamente)

veamos una tabla comparativa:

Grados	Radianes (exacto)	Radianes (aproximado)
30°	π/6	0.524
45°	π/4	0.785
60°	π/3	1.047
90°	π/2	1.571
180°	π	3.142
270°	3π/2	4.712
360°	2π	6.283

En conclusión:
Un radián es el ángulo de un arco creado al envolver el radio de un círculo alrededor de su circunferencia.

El siguiente video muestra una explicación bien importante.

Angulos Suplementarios. Ejemplos.

¿Qué son Ángulos Suplementarios?. Concepto y Ejemplos

Los ángulos suplementarios son los pares de ángulos que suman 180 grados. Así, el suplemento de un ángulo de x grados es un ángulo de (180 - x) grados.

Si los dos ángulos suplementarios son adyacentes (es decir, tienen un vértice y comparten un solo lado común), sus lados no compartidos forman una línea recta. Sin embargo, los ángulos suplementarios no tienen que estar en la misma línea, y pueden estar separados en el espacio. Por ejemplo, los ángulos adyacentes de un paralelogramo son suplementarios, y los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico (uno cuyos vértices caen todos en un solo círculo) son suplementarios.

Si P es un punto exterior a un círculo de centro O, y si las líneas tangentes de P tocan el círculo en los puntos T y Q, entonces ∠ y ∠ TPQ TOQ son suplementarios.

gráfica de con ejemplos de dos ángulos:

Estos dos ángulos (140 ° y 40 °) son ángulos suplementarios, ya que suman 180 °.

Pero recordemos que los ángulos no tienen que estar juntos.

Estos dos ángulos son suplementarios: 60 ° + 120 ° = 180 °

Más ejemplos:
60 ° y 120 ° son ángulos suplementarios.
93 ° y 7 ° son ángulos suplementarios.


Una manera para recordar!
A veces es difícil recordar entre ángulos que son suplementarios (aquellos que suman 180 °) y complementarios (que suma 90 °). Aquí presentamos una ayuda para memorizarlo:

Un ángulo recto es el que mide 90.
Ponga una línea vertical a la derecha de la letra 'c' de 'complementario' para convertirlo en un '9 '. Luego podemos recordar que los ángulos complementarios suman 90°.


Repasemos y resumamos lo dicho:

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus ángulos es igual a 180 º.
Si se conoce un ángulo, su ángulo suplementario se puede encontrar restando la medida del ángulo de 180 º.

Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo complementario de 143°?
Solución: 180° - 143 °= 37°

Ahora mostramos un video donde se explica todo lo visto anteriormente.

Angulo Complementario. Ejemplos

Sobre los Ángulos Complementarios en Geometría.

Dos ángulos son complementarios si suman 90 grados (es decir forman un ángulo recto).

Estos dos ángulos (30 ° y 60 °) son ángulos complementarios, ya que suman 90 °.

Observe que juntos forman un ángulo recto.

Triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo, los dos ángulos (que no son el ángulo recto) son complementarios, ya que en el triángulo los tres ángulos suman 180 °, y 90 ° ya es la medida del ángulo recto.

En resumidas cuentas, si dos ángulos suman 90 °, decimos que son "complementarios" entre sí.

Ejemplos:

70 ° y 20 ° son ángulos complementarios.
5 ° y 85 ° son ángulos complementarios.

En la geometría, los ángulos complementarios son ángulos cuyas medidas suma exactamente 90 °. Si los dos ángulos complementarios son adyacentes (es decir, tienen un vértice y comparten un solo lado común) sus lados no compartidos forman un ángulo recto.

En la geometría euclidiana, los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo son complementarios, debido a que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 grados, y el ángulo recto representa noventa grados.

A un ángulo agudo le falta su complemento para formar un ángulo recto.

Tenemos a continuación la explicación más detallada de ángulos complementarios.

PROBLEMAS RESUELTOS DE TRIGONOMETRIA

EJEMPLOS Y PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE TRIGONOMETRIA.

En esta entrada se ilustra el proceso de resolución de triángulos rectángulos de diversas formas.

Recordemos que la trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia los triángulos y las relaciones entre los lados y los ángulos entre estos lados. Las funciones trigonométricas como seno, coseno, tangente definen las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo. Echemos un vistazo a algunas preguntas de trigonometría para resolver utilizando una explicación paso a paso.

Cómo resolver problemas utilizando la trigonometría

Piense en la trigonometría como una caja de herramientas. Cuenta con una serie de herramientas útiles, tales como la función seno y su inversa la función arcoseno. Su tarea consiste en estudiar el problema y ver qué herramientas se pueden utilizar para llegar a la respuesta.

Consejos sobre la resolución de problemas de trigonometría:

1. Si no se da diagrama en el ejercicio, dibuje uno usted mismo.
2. Marque los ángulos rectos en el diagrama.
3. Muestre los tamaños de los otros ángulos y las longitudes de las líneas que son conocidos
4. Marque los ángulos o lados que hay que calcular.
5. Considere si usted necesita crear triángulos rectángulos trazando líneas adicionales. Por ejemplo, dividir un triángulo isósceles en dos triángulos congruentes.
6. Decida si va a necesitar el teorema de Pitágoras, seno, coseno y tangente.
7. Compruebe que su respuesta es razonable. recuerde que la hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo.

Problema resuelto 01:



Calcular el valor de cos θ en el triángulo.


Solución:

Use el teorema de Pitágoras para evaluar la longitud del lado PR.

Problema resuelto 02.




Calcular la longitud del lado x, dado que tan θ = 0,4

Solución:




problema Resuelto 03




Calcular la longitud del lado x, dado que el pecado θ = 0,6

Solución:



Usando el teorema de Pitágoras:



Veamos problemas resueltos de trigonometría

Triangulo Rectangulo. Ejemplos y Ejercicios Resueltos

Triángulos Rectángulos. Ejemplos Resueltos.

Un triángulo rectángulo es un triángulo en el que un ángulo es un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados. La relación que existe entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo es la base de la trigonometría.

El lado opuesto al ángulo recto se llama la hipotenusa. Los lados adyacentes al ángulo recto se llaman catetos.

Si las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo son números enteros, del triángulo se dice que es un triángulo de Pitágoras y las longitudes de los lados son conocidas como un triple pitagórico.

En terminos generales

Un triángulo rectángulo es un triángulo donde uno de sus ángulos interiores es un ángulo recto (90 grados).

Note en el siguiente video que los triángulos son siempre triángulos rectángulos, ya que el ángulo, que puede ser ∠ ABC es siempre de 90 grados




Los Triángulos Rectángulos ocupan un lugar destacado en diversas ramas de las matemáticas. Por ejemplo, la trigonometría se ocupa casi exclusivamente de las propiedades de los triángulos rectángulos, y el famoso teorema de Pitágoras define la relación entre los tres lados de un triángulo rectángulo:

a² + b² = h²

donde h es la longitud de la hipotenusa
a, b son las longitudes de los otros dos lados


La forma habitual de identificar un triángulo consiste en colocar una letra mayúscula en cada vértice (o esquina). Como, por ejemplo, A B C.

Los lados se identifican mediante el uso de minúsculas de la siguiente forma, a es opuesto A; b es opuesto B, c es opuesto C.

Recordemos que la hipotenusa es el lado más grande de un triángulo rectángulo y es siempre opuesto al ángulo recto.

Grafica del seno. Ejercicios Resueltos

La gráfica de la función seno. Ejemplos.

Las sinusoides son considerados como la forma general de la gráfica de la función seno.

Además de las matemáticas, las funciones sinusoidales se producen en otros campos de estudio como la ciencia y la ingeniería. Esta función también se produce en la naturaleza como se ve en las olas del mar, las ondas sonoras y las ondas de luz. Incluso las temperaturas diarias promedio para cada día del año se asemejan a esta función. El término sinusoidal fue usado por primera vez por el escocés Stuart Kenny en 1789 mientras observaba el crecimiento y la cosecha de soja.

El valor A en la expresión y= Asenx es el referente a la amplitud. La amplitud que es la mitad de la distancia entre los valores máximo y mínimo de la función, será tomada como | A |, puesto que la distancia es siempre positiva. Al aumentar o disminuir el valor de A, se afecta de forma vertical la ampliación o reducción del gráfico.

Vamos a empezar a mirar ejemplos con la función básica de seno.

f (t) = sen (t). Esta función tiene una amplitud de 1, porque la gráfica va una unidad hacia arriba y una unidad hacia abajo desde la línea media de la gráfica. Esta función tiene un período de 2π porque la onda senoidal se repite cada 2π unidades


Las propiedades tales como dominio, rango y las intersecciones de las gráficas de estas funciones se analizarán en los tutoriales siguientes de forma detallada.

Una vez que termine el presente tutorial, es posible que desee presentar una prueba de gráficos trigonométricas. Será necesario que utilice papel cuadriculado.



Veamos algunas revisiones para la función seno.

Analicemos de nuevo la gráfica de la función básica de seno.

f (x) = sin (x)

El dominio de la función f es el conjunto de todos los números reales. El rango de f es el intervalo [-1,1].

-1 <= Sen (x) <= 1 (<= significa menor o igual que)

También la función f es periódica con período igual a 2π.

La gráfica de f en un período determinado puede ser esbozada búscando los puntos que dan información importante, como intersecciones en el eje x, máximos y mínimos.

Hagamos como muestra una tabla de valores de la función f en el período de intervalo: [0, 2π] para tener una referencia del comportamiento de la gráfica.

x	0	p/2	p	3p/2	2p
f (x)	0	1	0	-1	0

Ahora miremos la representación de la gráfica de f (x) = a * sin (bx + c):

Primero tenemos que entender cómo los parámetros a, b y c afectan a la gráfica de f (x) = a * sin (bx + c) si se compara con el gráfico de básico de
f(x)=sinx.

El dominio de f es el conjunto de todos los números reales. La gama de expresión bx + c es el conjunto de todos los números reales. Por lo tanto el rango de sen (bx + c) es [-1,1].

Ahora si multiplicamos ambos lados por una a, Si a> 0 tenemos...

-a <= a * sin (bx + c) <= a

Si a <0 (se da un cambio en el sentido de la desigualdad)

Podemos decir que un parámetro afecta a la función que se puede escribir como [- | a |, | a |].

| A | se llama la amplitud, como lo hemos dicho.

veamos un video general para interpretar mejor ésta conceptos de la gráfca.