Primera y Segunda Derivada
A. Definición de la derivada
La derivada es una herramienta matemática que nos permite
estudiar la variación de una función en un punto determinado. La derivada de
una función f(x) se define como el límite de la razón incremental cuando el
incremento en x tiende a cero. Es decir:
f'(x) = lim
(h→0) (f(x+h) - f(x))/h
B. Cálculo de la primera derivada
Para calcular la primera derivada de una función,
simplemente aplicamos la definición de la derivada. Luego de calcular la
derivada, podemos determinar los puntos críticos de la función, que son
aquellos puntos en los que la derivada se anula o no existe. Estos puntos son
importantes para determinar los máximos y mínimos de la función.
C. Cálculo de la segunda derivada
La segunda derivada de una función es la derivada de la derivada. Es decir, si la primera derivada es f'(x), entonces la segunda derivada es f''(x).
La segunda derivada nos permite determinar si la función es
cóncava hacia arriba o hacia abajo. Si f''(x) es positiva, entonces la función
es cóncava hacia arriba; si f''(x) es negativa, entonces la función es cóncava
hacia abajo. Los puntos de inflexión de la función son aquellos en los que la
segunda derivada se anula.
D. Ejercicios resueltos
- Calcular
la primera derivada de la función f(x) = x3 - 3x2 +
2x + 1.
Solución: f'(x) = 3x2 - 6x + 2
- Calcular
la segunda derivada de la función f(x) = x3 - 3x2 +
2x + 1.
Solución: f''(x) = 6x - 6
- Dada
la función f(x) = x2 - 4x + 3, encontrar los puntos críticos y
determinar si la función tiene máximos o mínimos.
Solución: f'(x) = 2x - 4
2x - 4 = 0 x = 2
f''(x) = 2
Como f''(x) es positiva para todo x, entonces la función es
cóncava hacia arriba y x = 2 es un mínimo.
- Dada
la función f(x) = 2x3 - 3x2 - 36x + 5, encontrar los
puntos críticos y determinar si la función tiene máximos o mínimos.
Solución: f'(x) = 6x2 - 6x - 36
6(x2 - x - 6) = 0
x = -1 o x = 2
f''(x) = 12x - 6
f''(-1) = -18,
f''(2) = 18
Como f''(x) cambia de signo en x = -1, este punto es un máximo y en x = 2 es un mínimo.
5. Encuentre los máximos y mínimos relativos de la función f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Solución: Primero encontramos la primera derivada de f(x):
f'(x) = 3x2 - 6x
Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
x = 0, 2
Encontramos la segunda derivada de f(x): f''(x) = 6x - 6
Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos: f''(0)
= -6 < 0, entonces tenemos un máximo relativo en x = 0. f''(2) = 6 > 0,
entonces tenemos un mínimo relativo en x = 2.
Por lo tanto, f(x) tiene un máximo relativo en x = 0 y un mínimo relativo en x = 2.
6. Encuentre los máximos y mínimos relativos de la función f(x) = 4x3 - 12x.
Solución: Primero encontramos la primera derivada de f(x):
f'(x) = 12x2 - 12
Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos:
12x2 - 12 = 0
12(x2 - 1) = 0
x = -1, 1
Encontramos la segunda derivada de f(x): f''(x) = 24x
Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos:
f''(-1) = -24 < 0, entonces tenemos un máximo relativo en x = -1. f''(1) =
24 > 0, entonces tenemos un mínimo relativo en x = 1.
Por lo tanto, f(x) tiene un máximo relativo en x = -1 y un mínimo relativo en x = 1.
7. Encuentre los máximos y mínimos relativos de la función f(x) = x3 - 3x.
Solución: Primero encontramos la primera derivada de f(x):
f'(x) = 3x2 - 3
Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos:
3x2 - 3 = 0
3(x2 - 1) = 0
x = -1, 1
Encontramos la segunda derivada de f(x): f''(x) = 6x
Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos: f''(-1)
= -6 < 0, entonces tenemos un máximo relativo en x = -1. f''(1) = 6 > 0,
entonces tenemos un mínimo relativo en x = 1.
Por lo tanto, f(x) tiene un máximo relativo en x = -1 y un mínimo relativo en x = 1.
Aplicaciones de la Primera y Segunda Derivada
Las aplicaciones de la primera y segunda derivada son
amplias y se encuentran en muchas áreas de las matemáticas y la física. En
general, la derivada de una función describe cómo cambia esa función en un
punto dado, y las aplicaciones de la derivada se basan en el hecho de que las
funciones pueden tener un máximo o mínimo en un punto crítico, lo que puede ser
importante para resolver problemas reales.
A continuación, se presentan algunas aplicaciones comunes de
la primera y segunda derivada:
- Encontrar
los puntos críticos: los puntos donde la primera derivada se anula pueden
ser máximos o mínimos locales, o puntos de inflexión en la función. Esto
se puede usar para optimizar la función en algún sentido, como maximizar
las ganancias o minimizar los costos.
- Determinar
la concavidad de una curva: la segunda derivada describe la tasa de cambio
de la pendiente de la función, lo que permite determinar si la función es
cóncava hacia arriba o hacia abajo. Esto se utiliza en análisis de
optimización y en cálculo integral.
- Encontrar
la aceleración y la velocidad: la velocidad es la primera derivada de la
posición, y la aceleración es la segunda derivada de la posición. Estas
aplicaciones son importantes en física y mecánica, donde se necesitan
cálculos precisos de la velocidad y la aceleración para resolver problemas
relacionados con la fuerza y el movimiento.
- Encontrar puntos de inflexión: estos son puntos donde la segunda derivada se anula y la curvatura de la función cambia de cóncava a convexa o viceversa. Los puntos de inflexión se utilizan para estudiar la curvatura y la forma de la función, y son importantes en la geometría analítica.
- Estudio de la función a través de la gráfica de la derivada: una forma de analizar una función es trazar su derivada y estudiar los cambios de signo en la función derivada. Estos cambios de signo pueden indicar máximos y mínimos, y pueden ayudar a determinar la forma de la función original.
Tabla de Derivadas:
