Desigualdades Lineales Ejercicios Resueltos

Desigualdades Lineales

Introducción a las desigualdades

En matemáticas, una desigualdad es una relación en la que se compara si dos cantidades son iguales o diferentes, o si una cantidad es mayor o menor que otra. 

En el caso de las desigualdades lineales, las cantidades que se comparan son lineales, es decir, son expresiones algebraicas de primer grado con una variable.

A continuación, presentamos los aspectos a tener en cuenta sobre este tema.

Subtemas sobre las desigualdades lineales

• A. Desigualdades lineales con una variable. 
• B. Resolución de desigualdades lineales. 
• C. Representación gráfica de desigualdades lineales.

A. Desigualdades lineales con una variable:

Una desigualdad lineal con una variable tiene la forma ax + b < c o ax + b > c, donde a, b y c son números reales y x es la variable.

Al igual que en las ecuaciones lineales, se pueden realizar operaciones matemáticas para despejar x de la desigualdad. Sin embargo, hay que tener en cuenta que al multiplicar o dividir ambos lados de la desigualdad por un número negativo, se debe invertir el signo de la desigualdad.

Símbolos en una desigualdad

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos >,<,≥ o ≤.

Una inecuación o desigualdad es lo mismo que una ecuación pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro.

De la definición de desigualdad, se deduce que:

1. Todo número positivo es mayor que cero
2. Todo número negativo es menor que cero
3. Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto
4. Si a > b entonces b < a.

Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer miembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

B. Resolución de desigualdades lineales:

Para resolver una desigualdad lineal, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Despejar la variable en un lado de la desigualdad.
2. Si se multiplica o divide ambos lados por un número negativo, se debe invertir el signo de la desigualdad.
3. Simplificar la desigualdad, combinando términos semejantes si es posible.
4. Graficar la solución en la recta numérica, como se explicará en el subtema C.

Ejercicios Resueltos:

1. Resolver la desigualdad 2x - 3 > 5. 2x - 3 + 3 > 5 + 3 2x > 8 x > 4 La solución es x > 4.

2. Resolver la desigualdad -4x + 7 ≤ 3x - 2. -4x + 7 - 3x + 2 ≤ 0 -7x + 9 ≤ 0 -7x ≤ -9 x ≥ 9/7 La solución es x ≥ 9/7.

3. Resolver la desigualdad 2x + 1 < x - 5. 2x - x < -5 - 1 x < -6 La solución es x < -6.

4. Resolver la desigualdad -3x + 2 ≥ 5x - 1. -3x + 2 - 5x + 1 ≥ 0 -8x + 3 ≥ 0 -8x ≥ -3 x ≤ 3/8 La solución es x ≤ 3/8.

5. Resolver la desigualdad 4x - 7 > 3 - 2x + 5. 4x + 2x > 8 6x > 8 x > 4/3 La solución es x > 4/3.

C. Representación gráfica de desigualdades lineales:

Para representar gráficamente la solución de una desigualdad lineal con una variable, se pueden seguir los siguientes pasos:

1. Despejar la variable en un lado de la desigualdad. Por ejemplo, si tenemos la desigualdad 2x + 3 < 7, podemos despejar x restando 3 a ambos lados: 2x < 4.

2. Dividir ambos lados de la desigualdad por el coeficiente de la variable, si es necesario. En este caso, podemos dividir ambos lados por 2: x < 2.

3. Representar la solución en una recta numérica. En este caso, la solución es x < 2, lo que significa que x puede tomar cualquier valor menor que 2. Podemos representar esta solución en una recta numérica dibujando un círculo abierto en el número 2 (ya que 2 no es una solución válida) y una flecha hacia la izquierda para indicar que la solución incluye todos los números menores que 2.

Ejemplo: Representar gráficamente la solución de la desigualdad 3x - 2 > 7.

1. Despejamos la variable sumando 2 a ambos lados: 3x > 9.
2. Dividimos ambos lados por 3: x > 3.
3. Representamos la solución en una recta numérica dibujando un círculo abierto en el número 3 y una flecha hacia la derecha para indicar que la solución incluye todos los números mayores que 3.

Ejemplos resueltos:

1. Resolver la desigualdad 2x - 5 < 7.

Primero, despejamos la variable sumando 5 a ambos lados: 2x < 12. 

Luego, dividimos ambos lados por 2: x < 6. La solución es x < 6, lo que significa que x puede tomar cualquier valor menor que 6.

2. Resolver la desigualdad -3x + 4 > 1.

Primero, despejamos la variable restando 4 a ambos lados: -3x > -3. 

Luego, dividimos ambos lados por -3, recordando cambiar el sentido de la desigualdad: 

x < 1. 

La solución es x < 1, lo que significa que x puede tomar cualquier valor menor que 1.

3. Resolver la desigualdad 4x + 3 ≤ 11.

Primero, despejamos la variable restando 3 a ambos lados: 4x ≤ 8. 

Luego, dividimos ambos lados por 4: x ≤ 2. 

La solución es x ≤ 2, significa que x puede tomar cualquier valor menor o igual que 2.

4. Resolver la desigualdad -2x + 6 > 10.

Primero, despejamos la variable restando 6 a ambos lados: -2x > 4. 

Luego, dividimos ambos lados por -2, recordando cambiar el sentido de la desigualdad: 

x < -2. 

La solución es x < -2, lo que significa que x puede tomar cualquier valor menor que -2.

5. Resolver la desigualdad 5 - x ≥ 3.

Primero, despejamos la variable restando 5 a ambos lados: -x ≥ -2. 

Luego, multiplicamos ambos lados por -1, recordando que al multiplicar o dividir por un número negativo se invierte la desigualdad:

(-1)(-x) ≤ (-1)(-2) 

x ≤ 2

Por lo tanto, la solución de la desigualdad es x ≤ 2, lo que indica que el conjunto solución incluye todos los valores de x que son iguales o menores que 2.

Más Ejercicios Resueltos:

1. Resuelve la desigualdad 3x + 1 > 4x - 2.

Primero, restamos 3x a ambos lados:

3x + 1 - 3x > 4x - 2 - 3x

1 > x - 2

Luego, sumamos 2 a ambos lados:

1 + 2 > x - 2 + 2

3 > x

Por lo tanto, la solución de la desigualdad es x < 3.

2. Resuelve la desigualdad 2 - 5x ≤ 1 + 4x.

Primero, restamos 2 a ambos lados:

2 - 5x - 2 ≤ 1 + 4x - 2

-5x ≤ 4x - 1

Luego, restamos 4x a ambos lados:

-5x - 4x ≤ -1

-9x ≤ -1

Finalmente, dividimos ambos lados por -9, recordando invertir la desigualdad:

x ≥ 1/9

Por lo tanto, la solución de la desigualdad es x ≥ 1/9.

3. Resuelve la desigualdad -2x + 4 > 6x - 8.

Primero, restamos 6x a ambos lados:

-2x + 4 - 6x > -8

-8x + 4 > -8

Luego, restamos 4 a ambos lados:

-8x > -12

Finalmente, dividimos ambos lados por -8, recordando invertir la desigualdad:

x < 3/2

Por lo tanto, la solución de la desigualdad es x < 3/2.

4. Resuelve la desigualdad -3(2x - 1) < 5x + 7.

Primero, distribuimos el -3:

-6x + 3 < 5x + 7

Luego, restamos 5x y sumamos 3 a ambos lados:

-11x < 4

Finalmente, dividimos ambos lados por -11, recordando invertir la desigualdad:

x > -4/11

Por lo tanto, la solución de la desigualdad es x > -4/11.

5. Resuelve la desigualdad 3x - 4 < x + 8.

Primero, restamos x a ambos lados:

2x - 4 < 8

Luego, sumamos 4 a ambos lados:

2x < 12

Finalmente, dividimos ambos lados por 2:

x < 6

Por lo tanto, la solución de la desigualdad es x < 6.