División de Números Enteros | Ejercicios Resueltos
1. Conceptos básicos
Qué es la división de números enteros:
Signos de división:
En la división se utilizan varios símbolos matemáticos. El signo de división es una línea horizontal con un punto arriba y otro abajo que indica la separación entre el dividendo y el divisor. También se utiliza el signo de dos puntos o el signo de la diagonal (/) para separar el dividendo y el divisor. La barra diagonal invertida () también se utiliza para representar la división en algunos contextos, como en programación informática.
2. Propiedades de la división de números enteros
Propiedad conmutativa:
La propiedad conmutativa de la división establece que el orden de los números en la división no altera el resultado. Es decir, si dividimos un número A por un número B o dividimos un número B por un número A, el resultado será el mismo: A/B = B/A.
Propiedad asociativa:
La propiedad asociativa de la división establece que el resultado de una serie de divisiones no se altera si se cambia el orden en que se dividen los números. Por ejemplo, si tenemos tres números A, B y C, la propiedad asociativa nos dice que (A/B)/C = A/(B/C).
Propiedad distributiva:
La propiedad distributiva de la división establece que si multiplicamos un número por la suma o la resta de otros números, podemos dividir el número por cada uno de los números y el resultado será el mismo. Por ejemplo, si tenemos un número A y dos números B y C, la propiedad distributiva nos dice que A/(B+C) = A/B + A/C.
Elemento neutro de la división:
El elemento neutro de la división es el número 1, ya que cualquier número dividido por 1 es igual a sí mismo. Es decir, si dividimos un número A por 1, el resultado será A/1 = A.
Elemento inverso de la división:
El elemento inverso de la división es el número reciproco del divisor. Es decir, si dividimos un número A por un número B, el número inverso de B es 1/B. Entonces, si multiplicamos A por el inverso de B, el resultado será A/B. Por ejemplo, si queremos dividir 10 por 5, podemos multiplicar 10 por el inverso de 5, que es 1/5, para obtener 10/5 = 2.
3. Técnicas de división de números enteros
División con resto:
La división con resto es una técnica que permite obtener el cociente y el resto de la división de dos números enteros. Para realizar la división con resto, se divide el dividendo por el divisor, y se anota el cociente y el resto. El resto es el sobrante que queda después de que se hayan realizado todas las divisiones posibles. Por ejemplo, si queremos dividir 27 entre 4, obtenemos un cociente de 6 y un resto de 3, y podemos escribir la división como:
27 = 4 x 6 + 3.
División larga:
La división larga es una técnica que se utiliza para dividir dos números enteros cuando el divisor tiene más de un dígito. En la división larga, se realiza la división dígito por dígito, escribiendo el cociente y el resto de cada división. Luego, se va sumando el cociente y el resto de cada división para obtener el resultado final. Por ejemplo, si queremos dividir 546 entre 23, podemos realizar la división larga escribiendo 23 a la izquierda y dividiendo dígito por dígito, hasta obtener un cociente de 23 y un resto de 7.
4. Operaciones combinadas con la división de números enteros
Cuando se realizan operaciones combinadas que involucran la división de números enteros, es importante seguir el orden de las operaciones y recordar las reglas de prioridad. Las operaciones combinadas pueden involucrar multiplicación, suma, resta, potencias y raíces.
División y multiplicación
En esta operación combinada, primero se realiza la división y luego la multiplicación. Si hay más de una multiplicación, se realizan de izquierda a derecha. Por ejemplo:18 ÷ 3 x 2 = 6 x 2 = 12
División y suma/resta
En esta operación combinada, primero se realiza la división y luego la suma o resta. Si hay más de una suma o resta, se realizan de izquierda a derecha. Por ejemplo:20 ÷ 4 + 5 = 5 + 5 = 10
División y potencias
En esta operación combinada, primero se realiza la división y luego la potencia. Por ejemplo:
81 ÷ 9² = 81 ÷ 81 = 1
División y raíces
En esta operación combinada, primero se realiza la división y luego la raíz. Por ejemplo:16 ÷ √4 = 16 ÷ 2 = 8
Es importante recordar que en cualquier operación combinada, se deben seguir las reglas de prioridad y realizar las operaciones en el orden correcto para obtener la respuesta correcta.
5. Ejemplos resueltos de división de números enteros
División exacta
La división es exacta cuando el resultado es un número entero, es decir, no hay resto. Por ejemplo:20 ÷ 5 = 4
Esto significa que:
20 se puede dividir exactamente en 5 partes iguales y cada parte es igual a 4.
División inexacta
La división es inexacta cuando el resultado no es un número entero, es decir, hay un resto. Hay tres casos posibles cuando se realiza una división inexacta: cociente entero y resto, fracción como resultado y redondeo al entero más cercano.Cociente entero y resto
En esta división inexacta, el resultado se expresa como un cociente entero y un resto. El cociente entero es el número entero más grande que se puede obtener sin superar el dividendo. El resto es la cantidad sobrante después de haber restado el producto del divisor y el cociente entero del dividendo. Por ejemplo:
23 ÷ 5 = 4 con resto 3
Esto significa que el cociente entero es 4 y el resto es 3, lo que indica que 23 se puede dividir en 5 partes iguales y sobran 3 unidades.
Fracción como resultado
En esta división inexacta, el resultado se expresa como una fracción. La fracción indica cuántas partes iguales del divisor hay en el dividendo y cuántas partes quedan. Por ejemplo:
7 ÷ 3 = 2⅓
Esto significa que 7 se puede dividir en 3 partes iguales y sobra una parte. El resultado se expresa como una fracción mixta, donde el número entero es el cociente y la fracción indica el resto.
Redondeo al entero más cercano
En esta división inexacta, el resultado se redondea al entero más cercano. Si el resto es igual o mayor que la mitad del divisor, se redondea al siguiente entero. De lo contrario, se redondea al entero anterior. Por ejemplo:
13 ÷ 4 ≈ 3
Esto significa que 13 se puede dividir en 4 partes iguales y sobra un poco más de la mitad de una parte. Al redondear al entero más cercano, el resultado es 3.
Es importante recordar que la división puede ser exacta o inexacta y que existen distintos métodos para expresar el resultado dependiendo de la situación.
6. Problemas de la vida real que involucran división de números enteros
La división de números enteros se aplica en muchos problemas de la vida cotidiana, donde es necesario dividir una cantidad en partes iguales o calcular una tasa de cambio. Algunos ejemplos de problemas de la vida real que involucran la división de números enteros son:A. Problemas de reparto de objetos en partes iguales
En esta clase de problemas, se debe repartir una cantidad de objetos en partes iguales entre un número determinado de personas. Por ejemplo:
¿Cuántos dulces le tocan a cada niño si se reparten 24 dulces entre 8 niños?
Solución: Para dividir 24 dulces en partes iguales entre 8 niños, se realiza la división:
24 ÷ 8 = 3. Cada niño recibirá 3 dulces.
B. Problemas de tiempo y velocidad
En estos problemas, se calcula la tasa de cambio o la velocidad promedio a la que se realiza una tarea. Por ejemplo:
Si un coche recorre 120 kilómetros en 2 horas, ¿cuál es su velocidad promedio?
Solución: La velocidad promedio se calcula dividiendo la distancia recorrida entre el tiempo empleado: 120 km ÷ 2 h = 60 km/h.
C. Problemas de finanzas personales
En este tipo de problemas, se calcula la cantidad de dinero que se debe dividir entre varias personas o se determina la cantidad de dinero que se necesita ahorrar para alcanzar un objetivo. Por ejemplo:Si una familia de 4 miembros tiene un presupuesto de $800 para comprar víveres en un mes, ¿cuál es el presupuesto semanal?
Solución: Para calcular el presupuesto semanal, se divide el presupuesto mensual entre las cuatro semanas del mes: $800 ÷ 4 = $200 por semana.
D. Problemas de estadísticas y porcentajes
En estos problemas, se calculan las tasas de porcentaje o la proporción de una cantidad en relación a otra. Por ejemplo:
Si un examen tiene 30 preguntas y un estudiante responde correctamente 24, ¿cuál es su porcentaje de aciertos?
Solución: El porcentaje de aciertos se calcula dividiendo el número de respuestas correctas entre el número total de preguntas y multiplicando el resultado por 100:
24 ÷ 30 × 100 = 80%. El estudiante tiene un 80% de aciertos en el examen.