Multiplicación de Enteros | Ejercicios Resueltos

Multiplicación de Números Enteros | Ejercicios Resueltos

La multiplicación de números enteros es una operación que permite obtener un resultado a partir de dos o más números enteros. La multiplicación se puede entender como la suma repetida de un número, es decir, la multiplicación de dos números a y b se puede interpretar como sumar a "b" veces el número "a".

Para multiplicar números enteros, se multiplican los valores absolutos de los números y se determina el signo del resultado según las siguientes reglas:

• Si ambos números son positivos, el resultado es positivo.
• Si ambos números son negativos, el resultado es positivo.
• Si uno de los números es positivo y otro es negativo, el resultado es negativo.

Ley de los Signos

La ley de signos de la multiplicación de números enteros establece que:

• Si los números tienen el mismo signo (positivo o negativo), el resultado de su multiplicación es positivo.
• Si los números tienen signos diferentes, el resultado de su multiplicación es negativo.

Esta ley puede ser representada en una tabla de la siguiente manera:

Signo de los números	Resultado de la multiplicación
Igual (+ y +) o (- y -)	Positivo
Distinto (+ y -) o (- y +)	Negativo

Por ejemplo, si tenemos los números 3 y -4, podemos aplicar la ley de signos de la multiplicación para determinar el signo del resultado:

• Como los números tienen signos diferentes, el resultado de su multiplicación será negativo.
• Entonces, podemos multiplicar los valores absolutos de los números (3 y 4) para obtener 12.
• Finalmente, agregamos el signo negativo al resultado, luego el resultado de la multiplicación es -12.

De esta forma, la ley de signos de la multiplicación nos permite determinar el signo de la multiplicación de dos números enteros y obtener el resultado correcto.

A continuación, se presentan cuatro ejemplos de multiplicaciones de números enteros:

Ejemplo	Operación	Explicación
1	3 x 4	Multiplicamos los valores absolutos de los números: 3 x 4 = 12. Ambos números son positivos, por lo que el resultado es positivo.
2	-2 x 5	Multiplicamos los valores absolutos de los números: 2 x 5 = 10. Uno de los números es negativo, por lo que el resultado es negativo. Entonces, -2 x 5 = -10.
3	-3 x -2	Multiplicamos los valores absolutos de los números: 3 x 2 = 6. Ambos números son negativos, por lo que el resultado es positivo. Entonces, -3 x -2 = 6.
4	0 x 7	Multiplicamos los valores absolutos de los números: 0 x 7 = 0. Cualquier número multiplicado por cero es cero, por lo que el resultado es cero.

La multiplicación de números enteros se puede entender como una especie de "escalado". Al multiplicar un número entero por otro, estamos multiplicando la magnitud o tamaño de ese número. Si el número es positivo, se agranda, y si es negativo, se reduce y se invierte.

Por ejemplo, si multiplicamos 3 por 4, estamos escalando el número 3 tres veces para que sea igual a 12, que es el resultado de la multiplicación. Si multiplicamos -2 por 5, estamos escalando el número negativo 2 cinco veces para obtener -10 como resultado.

A continuación, se presentan cuatro ejemplos de multiplicación de números enteros:

Ejemplo	Operación	Explicación
1	3 x 4	Escalamos el número 3 tres veces para obtener 12, ya que estamos multiplicando por un número positivo.
2	-2 x 5	Escalamos el número negativo 2 cinco veces, pero invertimos el signo del resultado ya que estamos multiplicando por un número positivo. Así, -2 x 5 = -10.
3	-3 x -2	Escalamos el número negativo 3 dos veces, lo que nos da 6. Luego invertimos el signo del resultado ya que estamos multiplicando dos números negativos. Así, -3 x -2 = 6.
4	0 x 7	Al multiplicar cualquier número por cero, obtenemos cero como resultado, ya que no hay nada que escalar.

En forma similar a la empleada para obtener la suma de dos números enteros de una manera intuitiva, interpretaremos el producto o multiplicación de dos números enteros mediante la recta numérica.

Si a y b son números enteros, el producto de a y b se representa por:

a x b, ab, a • b , (a) (b); donde "a" es el primer factor y "b" es el segundo factor.

Obtenemos el producto a x b mediante la siguiente interpretación geométrica:

1. Gráfica del plano cartesiano

Trazamos dos rectas numéricas que sean perpendiculares (una horizontal y la otra vertical) y asignamos el entero cero al punto de intersección. Los números positivos y negativos quedan representados en cada recta como lo indica la figura.

A las rectas numéricas dispuestas en esta forma se les llama sistema de coordenadas.

La recta horizontal se llama eje de las abscisas y la vertical se llama eje de las ordenadas.

2. Localizamos el primer factor a sobre la recta horizontal y el segundo factor

b sobre la recta vertical

3. Trazamos la recta R1 que pasa por el punto que corresponde al primer factor a (sobre la horizontal) y por el punto que corresponde al 1 sobre la vertical.

4. Por el punto b (que corresponde al segundo factor y que se encuentra sobre la recta vertical) trazamos la recta R₂ tal que R1^IIR2^,es decir que R1 sea paralela a R2^. El punto de intersección de R₂ con la horizontal corresponde al producto a x b, como se indica en la figura.

Como a y b son números enteros, entonces puede ocurrir que los dos factores tengan igual signo o signos diferentes.

PRODUCTO DE NÚMEROS ENTEROS DE IGUAL SIGNO

Ejemplo 1

Determinemos 3X4, donde los dos factores son positivos. Se traza R₁ que pasepor el punto que corresponde a 1 sobre la vertical y por el que corresponde a 3sobre la horizontal. A continuación trazamos por el punto que corresponde anúmero 4 sobre la vertical, la recta R₂|| R₁.
Observemos en la figura, quela recta R₂ corta al eje horizontal en un punto que corresponde al número entero12.Luego, 3x4= 12, donde 12tiene signo positivo (+12) y esel producto de los valoresabsolutos de los factores.

Ejemplo 2

Determinemos -3 X -2, donde los dos factores son negativos. La figura nos;ilustra que el resultado es + 6.Procediendo de la mismamanera, teniendo cuidado en laubicación de cada numero, esdecir, en este caso los númerosse ubican en la parte negativade cada recta, por esto (-3);queda ubicado en la parte

izquierda de la recta horizontal y (-2) en la parte inferior de la recta vertical seobtiene la gráfica.

Luego, (-3) X (-2) = + 6 = 6, donde 6 tiene signo positivo (+6) y es producto delos valores absolutos de los factores

|- 3| = 3 y |-2| = 2, o sea: |- 3| • |- 2| =3X2 = 6.

Los ejemplos anteriores nos permiten generalizar y dar la siguiente regla;práctica:

El producto de dos números enteros del mismo signo es otro número entero

cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores y susigno es positivo.

Ejemplo 3

Como aplicación de la regla dada, tenemos:

5 x 8 = + 40 = 40

-5 x - 8 = + 40 = 40

-128 x -235 = + 30 080 = 30 080

-1 x -128 = +128= 128

PRODUCTO DE NÚMEROS ENTEROS DE DISTINTO SIGNO

Ejemplo 4

Determinemos 2 X ( 4), donde el primer factor es positivo y el segundo factor

es negativo.

En este caso el 2, por ser positivo, queda;ubicado en la parte derecha de la recta horizontal, mientras que el (-4) por sernegativo queda en la parte inferior de la recta vertical. La figura nos ilustra que el resultado es 8. Luego, 2 X ( 4) = 8, donde 8tiene signo negativo y su valor absoluto coincide con el producto de los valoresabsolutos de los dos factores.

|2| = 2, |-4| = 4 y |-8| = |2| X |-4| = 2 X 4 = 8

El producto de dos números enteros de distinto signo es otro número entero

cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores y su

signo es negativo.

PROPIEDADES

La interpretación geométrica de la multiplicación de números enteros la hemos establecido con el fin de que esta operación tenga las mismas propiedades dela multiplicación de números naturales y cero. A continuación enunciamos estas propiedades y sus aplicaciones, dejando como ejercicio la verificación geométrica de las mismas.

A. Propiedad Clausurativa.

Si a, b € Z, entonces a X b € Z. El producto de dos números enteros es otro

número entero.

Ejemplo 5

-8 є Z y 4 є Z; -8 x 4 = -32; y -32 є Z.

-3 є Z y -4 є Z; -3 x (-4)= +12 y +12 є Z.

-20 є Z y 0 є Z-20 x 0 = 0 y 0 є Z.

B. Propiedad conmutativa

Si a, b € Z, entonces ab = ba.

Ejemplo 6

-5 x 3 = -15 y 3 x (-5) = -15. Luego, -5 x 3 = 3 x (-5).

-4 x (-6) = + 20y -5 x (-4) = + 20.Luego,

4 x ( 5) = 5 x (4).

C. Propiedad asociativa

Si a, b y c € Z, entonces (ab) c = a (be).

Ejemplo 12

a) (5 x 3) x (-4) = 15 x (-4) = -60 5 x {3 x (-4)} = 5 x (-12) = -60

Luego, (5 x 3) x ( 4) = 5 x (3 x ( 4)).

b) [-5 x (-3)] x (-1) = 15 x (-1) = -15 y -5 x [(-3) x (-1)] = -5 x 3 = -15

Luego, [-5x (-3)] x (-1) = -5 x [(-3) x (-1)].

D. Propiedad del elemento neutro (modulativa)

Si a є Z, entonces a • 1 = 1 • a = a.

El número 1 es el elemento neutro para el producto de números enteros.

Ejemplo 7

-5 x 1=1=1x (-5) = -5 4x1 = 1 x 4 = 4 0 x 1 = 1 x 0 = 0

Observemos que ( 1) x 5 = 5 X ( 1) = 5, pero 5 ≠ 5, luego 1 no es

elemento neutro para el producto de enteros.

E. Propiedad uniforme

Si a, b y c 6 Z y a = b, entonces a • c = b • c

Ejemplo 8

Sea 5 x 3 = 15 una igualdad de números y 4 e Z.

Entonces, (-5 x 3) x (-4) = -5 x [3 x (-4)] = -5 x (-12) = +60y
-15 x (-4) = +60.;Luego, (-5 x 3) X ( 4) = -15 x (-4).

F. Propiedad cancelativa

Si a, b y c є Z y a • c = b • c, entonces a = b, con c ≠ 0

Ejemplo 9

Hallemos el valor de x entero en: 3 • x =7 • ( -3).
Solución 3 • x = -7 • (3)
3 • x =3 • ( -7) (propiedad conmutativa)
x = -7 (propiedad cancelativa)
G. Propiedad distributiva
Si a, b y c e Z, entonces (a + b) • c = a • c + b • c.