Potencia de Enteros | Ejercicios Resueltos

 Potenciación de Números Enteros | Ejercicios Resueltos

1. Introducción a la potenciación en números enteros

A. Qué es una potencia

La potenciación es una operación matemática que consiste en multiplicar un número (llamado base) por sí mismo varias veces (según el exponente), es decir, elevarlo a una cierta potencia.

B. Partes de una potencia

Una potencia consta de dos partes: la base y el exponente. La base es el número que se va a multiplicar por sí mismo, y el exponente indica cuántas veces se va a multiplicar.

C. Notación de potencias

La notación de potencias se escribe con la base seguida del exponente. Por ejemplo, si queremos escribir la potencia de 2 elevado al cuadrado, lo escribimos como 2^2.

D. Base y exponente

La base es el número que se va a multiplicar por sí mismo, y el exponente es el número que indica cuántas veces se va a multiplicar la base.

E. Valor de una potencia

El valor de una potencia es el resultado de la operación de multiplicar la base por sí misma tantas veces como indique el exponente.

Por ejemplo, si tenemos la potencia 2^3, la base es 2 y el exponente es 3. El valor de esta potencia sería:

2^3 = 2 x 2 x 2 = 8

2. Potencias con exponente positivo

A. Cómo leer una potencia con exponente positivo:

Una potencia con exponente positivo se lee de la siguiente forma: la base elevada a la potencia o exponente. Por ejemplo, 2 elevado a la 3 se lee "dos elevado a la tres".

B. Propiedades de las potencias con exponente positivo:

Las propiedades de las potencias con exponente positivo son las siguientes:

• La potencia de una potencia: (a^m)^n = a^(m x n)
• El producto de potencias con la misma base: a^m x a^n = a^(m + n)
• La división de potencias con la misma base: a^m ÷ a^n = a^(m - n)
• La potencia de la base 10: 10^0 = 1, 10^1 = 10, 10^2 = 100, 10^3 = 1000, etc.

C. Ejemplos de potencias con exponente positivo:

1. 3^4 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
2. 5^2 x 5^3 = 5^(2+3) = 5^5 = 3125
3. 7^6 ÷ 7^2 = 7^(6-2) = 7^4 = 2401
4. 10^5 = 100000

3. Potencias con exponente negativo

A. Cómo leer una potencia con exponente negativo

En una potencia con exponente negativo, el exponente indica el inverso multiplicativo de la base elevado a la potencia positiva correspondiente. Por ejemplo, 2^(-3) se lee "dos elevado a la potencia negativa tres", y significa 1/(2^3).

B. Propiedades de las potencias con exponente negativo

Las propiedades de las potencias con exponente negativo son similares a las de las potencias con exponente positivo. Algunas de las propiedades más comunes son:

• Cualquier número elevado a la potencia -1 es igual a su inverso multiplicativo: a^(-1) = 1/a
• El producto de dos potencias con la misma base y exponentes opuestos es igual a 1: a^n * a^(-n) = 1
• El cociente de dos potencias con la misma base y exponentes opuestos es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes: a^n / a^(-n) = a^(n + n)

C. Ejemplos de potencias con exponente negativo

1. Simplificar la expresión 4^(-2) 4^(-2) = 1/(4^2) 4^(-2) = 1/16

2. Resolver la expresión (3^(-1))^2 (3^(-1))^2 = 3^(-1*2) (3^(-1))^2 = 3^(-2) (3^(-1))^2 = 1/(3^2) (3^(-1))^2 = 1/9

3. Simplificar la expresión (2^(-2) * 2^3)^(-1) (2^(-2) * 2^3)^(-1) = (1/2^2 * 2^3)^(-1) (2^(-2) * 2^3)^(-1) = (1/8)^(-1) (2^(-2) * 2^3)^(-1) = 8

4. Resolver la expresión 5^(-2) * 5^(-3) / 5^(-1) 5^(-2) * 5^(-3) / 5^(-1) = 5^(-2-3) / 5^(-1) 5^(-2) * 5^(-3) / 5^(-1) = 5^(-4) * 5^1 5^(-2) * 5^(-3) / 5^(-1) = 5^(-4+1) 5^(-2) * 5^(-3) / 5^(-1) = 5^(-3) 5^(-2) * 5^(-3) / 5^(-1) = 1/(5^3) 5^(-2) * 5^(-3) / 5^(-1) = 1/125

4. Operaciones combinadas con la potenciación en números enteros

La potenciación en números enteros también se combina con otras operaciones aritméticas, como la multiplicación, división, suma, resta y raíz. En esta sección, se explicará cómo realizar estas operaciones combinadas.

A. Potencia y multiplicación/división

Para multiplicar potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes. Por ejemplo:

$2^3\times 2^2=2^{3+2}=2^5=32$

Para dividir potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes. Por ejemplo:

$2^6÷2^3=2^{6-3}=2^3=8$

B. Potencia y suma/resta

Para sumar o restar potencias con la misma base y exponente, se realizan las operaciones aritméticas con los coeficientes de las bases y se mantiene la misma base y exponente. Por ejemplo:

$3^4+2^4=81+16=97$

Para sumar o restar potencias con la misma base pero con exponentes diferentes, primero se deben igualar los exponentes. Después de igualar los exponentes, se pueden sumar o restar los coeficientes de las bases y se mantiene la misma base y exponente. Por ejemplo:

$2^5+2^3=2^5+2^5÷2^2=2^5+2^3=32+8=40$

C. Potencia y raíz

La raíz n-ésima de una potencia es igual a la potencia elevada a la fracción 1/n del exponente. Por ejemplo:

$\sqrt[3]{4^9}=4^{9÷3}=4^3=64$

En el caso de que se tenga una raíz con un exponente diferente a 1, se puede reescribir la raíz como una potencia y aplicar las reglas anteriores. Por ejemplo:

$\sqrt[4]{5^6}\times \sqrt[3]{5^2}=5^{6÷4}\times 5^{2÷3}=5^{3\mathrm{/}2}=\sqrt{5^3}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$

5. Ejemplos resueltos de potenciación en números enteros

A. Potencias con exponente positivo

Ejemplo 1: Calcula el valor de 3 elevado a la quinta potencia. 

Solución: 3 elevado a la quinta potencia se escribe como: 3^5. 

Para calcularlo, simplemente multiplicamos 3 por sí mismo 5 veces: 

3^5 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

Ejemplo 2: Calcula el valor de (-2) elevado a la cuarta potencia. 

Solución: (-2) elevado a la cuarta potencia se escribe como: (-2)^4. 

Para calcularlo, simplemente multiplicamos -2 por sí mismo 4 veces:

(-2)^4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16

B. Potencias con exponente negativo

Ejemplo 1: Calcula el valor de 2 elevado a la menos tercera potencia.

Solución: 2 elevado a la menos tercera potencia se escribe como: 2^-3. Para calcularlo, primero invertimos la base, lo que nos da 1/2 elevado a la tercera potencia: 2^-3 = 1/(2^3) = 1/8

Ejemplo 2: Calcula el valor de (-5) elevado a la menos segunda potencia. 

Solución: (-5) elevado a la menos segunda potencia se escribe como: (-5)^-2. 

Para calcularlo, primero invertimos la base, lo que nos da 1/(-5) elevado a la segunda potencia: (-5)^-2 = 1/((-5)^2) = 1/25

C. Operaciones combinadas con potencias

Ejemplo 1: Calcula el valor de la expresión (2^3 x 3^2)/(2^2 x 3^3). 

Solución:Primero simplificamos las potencias con la misma base: 

(2^3 x 3^2)/(2^2 x 3^3) = (8 x 9)/(4 x 27) 

Luego simplificamos los factores comunes: (8 x 9)/(4 x 27) = (2 x 4 x 9)/(4 x 3 x 9) = 2/3

Ejemplo 2: Calcula el valor de la expresión (2^4 + 3^3)/(2^2 x 3). 

Solución:Primero resolvemos las potencias: (2^4 + 3^3)/(2^2 x 3) = (16 + 27)/(4 x 3) 

Luego simplificamos los factores comunes: (16 + 27)/(4 x 3) = 43/12.

6. Aplicaciones de la potenciación en la vida real

La potenciación es una operación matemática que tiene muchas aplicaciones prácticas en la vida diaria, la ciencia, la tecnología y las finanzas. A continuación, se presentan algunos ejemplos de cómo se utiliza la potenciación en estas áreas:

A. Uso de la potenciación en la ciencia

En la ciencia, la potenciación se utiliza en muchas ramas, como la física, la química y la biología. Por ejemplo, la ley de la gravitación universal de Newton utiliza la potencia para calcular la fuerza de atracción entre dos objetos en función de sus masas y la distancia que los separa. En química, las ecuaciones de reacción química pueden involucrar la potenciación para indicar el número de átomos o moléculas involucrados en una reacción. En biología, las ecuaciones que modelan el crecimiento exponencial de una población utilizan la potencia para expresar el número de individuos en una población en un momento determinado.

B. Uso de la potenciación en la tecnología

En la tecnología, la potenciación se utiliza para expresar las capacidades de los dispositivos electrónicos y su rendimiento. Por ejemplo, la potencia de una computadora se mide en gigahertzios (GHz), que es el número de ciclos de reloj por segundo que el procesador de la computadora puede realizar. Además, la capacidad de almacenamiento de un disco duro se mide en terabytes (TB), que es una unidad de potencia de diez que indica la cantidad de bytes que puede almacenar el disco.

C. Uso de la potenciación en las finanzas

En las finanzas, la potenciación se utiliza para calcular el crecimiento del dinero en el tiempo. Por ejemplo, la fórmula del interés compuesto utiliza la potencia para calcular el monto final de una inversión con una tasa de interés fija. Además, la potenciación se utiliza para expresar las tasas de crecimiento de los mercados financieros y las acciones. Los inversores pueden utilizar estas tasas de crecimiento para tomar decisiones informadas sobre cómo invertir su dinero.

En resumen, la potenciación es una operación matemática muy importante que se utiliza en muchas áreas de la vida diaria, la ciencia, la tecnología y las finanzas. Comprender cómo funciona la potenciación y cómo se utiliza puede ayudar a las personas a tomar decisiones informadas y resolver problemas en una variedad de situaciones.