Productos Notables Ejercicios Resueltos
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
DEFINICIÓN DE PRODUCTO Y PRODUCTO NOTABLE
Un producto es el resultado de multiplicar dos o más números. Los números que se multiplican se llaman factores o divisores del producto. Se llaman productos notables (o productos especiales) a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación, como ya hemos dicho.
En álgebra, los productos notables son expresiones que aparecen con frecuencia y se pueden simplificar utilizando fórmulas específicas. Saber cómo identificar y simplificar estos productos notables puede ahorrar tiempo y esfuerzo al resolver ecuaciones algebraicas más complejas.
Tipos de productos notables
Hay varios tipos de productos notables que se utilizan con frecuencia en álgebra, incluyendo:- Cuadrado de un binomio: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
- Diferencia de cuadrados: (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
- Producto de suma por diferencia: (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
- Cubo de un binomio: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
- Suma o diferencia de cubos: (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 o (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3
Ejercicios resueltos
Simplificar la expresión (x + 2)^2: (x + 2)^2 = x^2 + 2(x)(2) + 2^2 = x^2 + 4x + 4
Simplificar la expresión (3a - 2b)^2: (3a - 2b)^2 = (3a)^2 - 2(3a)(2b) + (2b)^2 = 9a^2 - 12ab + 4b^2
Simplificar la expresión (x + 5)(x - 5): (x + 5)(x - 5) = x^2 - 5x + 5x - 25 = x^2 - 25
Simplificar la expresión (2x + 3)(2x - 3): (2x + 3)(2x - 3) = (2x)^2 - (3)^2 = 4x^2 - 9
Simplificar la expresión (a + b + c)^2: (a + b + c)^2 = a^2 + 2ab + 2ac + b^2 + 2bc + c^2
Simplificar la expresión (a - b)^3: (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
Simplificar la expresión (x + 2)(x^2 - 2x + 4): (x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + 4x + 8 = x^3 + 8
Simplificar la expresión (3x + 1)(9x^2 - 3x + 4): (3x + 1)(9x^2 - 3x + 4) = 27x^3 + 9x^2 + 12x - 9x^2 + 3x - 4 = 27x^3 + 15x - 4
Tutorial para descubrir el paso a paso para resolver ejercicios:
Aplicaciones de producto notable
Para aplicar estos productos notables, solo necesitas identificar qué tipo de expresión algebraica tienes y aplicar la fórmula correspondiente. Veamos algunos ejemplos:
Ejercicio 1: Multiplicación de un binomio por un trinomio.
Factoriza completamente la expresión 3x^2 - 6x - 45.
Solución: Podemos ver que el primer término de esta expresión es el cuadrado de x, por lo que podemos escribir 3x^2 como (x + x)(3). Luego, el último término es 45, que podemos escribir como (5)(9). Ahora, podemos aplicar el producto de la suma por la diferencia para factorizar el trinomio del medio: -6x = -(3)(2x) = -(3)(x + x). Juntando todo, tenemos: 3x^2 - 6x - 45 = (x + x)(3) - (x + x)(3)(5) = (x + x)(3 - 15)(x + x) = -12(x + x)^2Ejercicio 2: Diferencia de cuadrados.
Factoriza completamente la expresión x^4 - 16.
Solución: Podemos ver que esta expresión se puede escribir como la diferencia de dos cuadrados, donde a = x^2 y b = 4: x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 + 4)(x^2 - 4) = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)Ejercicio 3: Cuadrado de un binomio.
Resuelve la ecuación x^2 - 6x + 9 = 0.
Solución: Podemos ver que el primer y el último término de esta expresión son cuadrados perfectos, por lo que podemos escribir: x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 Ahora podemos ver que esta ecuación es una ecuación de segundo grado, por lo que podemos aplicar la fórmula general para resolverla: (x - 3)^2 = 0 x - 3 = 0 x = 3