Regla de Ruffini Ejercicios Resueltos
En este artículo se explica la Regla de ruffini o división sintética que nos sirve en algunos casos para factorizar. Este tipo de división solo lo podemos utilizar cuando tengamos división por cocientes de grado uno.
Normalmente una división de polinomios en algebra es un proceso largo hasta la obtención del residuo, en cambio con el proceso de ruffini (recordemos que solo se puede utilizar cuando tengamos un divisor de tipo (x-a) o también (x+a). Si tenemos este tipo de divisor lo primero que hacemos es escribir los coeficientes del polinomio de grado mayor a menor y por último los números.
La Regla de Ruffini
Es un método utilizado para dividir polinomios de una sola variable por un binomio de la forma (x - a). El proceso se realiza de la siguiente manera:- Se escribe el polinomio a dividir en orden descendente de grado.
- Se escribe el número a, que es el opuesto del término independiente (x - a).
- Se coloca el número a en una línea vertical a la izquierda del polinomio.
- Se escriben los coeficientes del polinomio en diagonal, comenzando por el coeficiente del término de mayor grado, hasta el término independiente.
- Se traza una línea debajo del último coeficiente.
- Se multiplica el número a por el coeficiente del término de mayor grado y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente.
- Se suma ese resultado con el siguiente coeficiente y se coloca el resultado debajo del tercer coeficiente.
- Se repite el proceso de sumar y multiplicar hasta llegar al último coeficiente.
- Si el último número de la última línea es igual al resto (el término independiente del polinomio original), la división se ha realizado correctamente.
Ahora, vamos a ver algunos ejemplos resueltos paso a paso:
Ejercicio 1: Divide el polinomio x^3 - 3x^2 + 2x + 1 entre (x - 1).
Escribimos el polinomio en orden descendente de grado: x^3 - 3x^2 + 2x + 1.
Obtenemos el número a, que es el opuesto del término independiente del binomio (x - a): a = 1.
Colocamos el número a en una línea vertical a la izquierda del polinomio:
1 |
Escribimos los coeficientes del polinomio en diagonal:
1 | -3 2 1
___________
5. Tras la línea, añadimos un espacio para el resultado de la operación:
1 | -3 2 1
___________
6. Multiplicamos el número a (1) por el coeficiente del término de mayor grado (x^3) y escribimos el resultado debajo del siguiente coeficiente:
1 | -3 2 1
___________
1
7. Sumamos ese resultado con el siguiente coeficiente y escribimos el resultado debajo del tercer coeficiente:
1 | -3 2 1
___________
1 -2
8. Repetimos el proceso de sumar y multiplicar hasta llegar al último coeficiente:
1 | -3 2 1
___________
1 -2 4
2 -2
_____
0 2
9. Como el último número de la última línea es 2, que es igual al término independiente del polinomio original, la división se ha realizado correctamente. Por lo tanto, la solución es:
x^3 - 3x^2
Ejercicio 2: Divide el polinomio P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 2x^2 - 7x - 4 entre el polinomio Q(x) = x + 2, utilizando la regla de Ruffini.
Solución: Para utilizar la regla de Ruffini, primero se debe determinar el coeficiente principal de Q(x), que en este caso es 1. Luego, se colocan los coeficientes de P(x) en orden descendente en la primera fila de la tabla y se escribe el coeficiente principal de Q(x) en la segunda fila, dejando un espacio en blanco entre ellos.
En la tercera fila se escribe el primer término de P(x), y en las celdas restantes se escriben los resultados de multiplicar el término de la fila anterior por el coeficiente principal de Q(x). Estos resultados se suman diagonalmente y se escriben en la cuarta fila. A continuación, se repite este proceso con los términos restantes de P(x) hasta completar la tabla.
| 3
5 -2 -7
-4
-2 | 3 -1 3 -15 26
|_____________________
3 2
-3 -10 22
Por lo tanto, la división de P(x) entre Q(x) es:
P(x) = Q(x) * C(x) + R(x) 3x^4 + 5x^3 - 2x^2 - 7x - 4 = (x + 2) * (3x^3 + 2x^2 - 3x - 10) + 22
Entonces, el cociente es C(x) = 3x^3 + 2x^2 - 3x - 10 y el resto es R(x) = 22.
Ejercicio 2: Divide el polinomio P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 entre el polinomio Q(x) = x - 1, utilizando la regla de Ruffini.
Solución: En este caso, la tabla quedaría así:
| 2 -5 3 1
1 | 2 -3 6 7
|_________________
2 -3 6 7
Por lo tanto, la división de P(x) entre Q(x) es:
P(x) = Q(x) * C(x) + R(x) 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 = (x - 1) * (2x^2 - 3x + 6) + 7
Entonces, el cociente es C(x) = 2x^2 - 3x + 6 y el resto es R(x) = 7.