LENGUAJE ALGEBRAICO EJERCICIOS RESUELTOS

LENGUAJE ALGEBRAICO EJERCICIOS RESUELTOS

El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y, además, las trata como números en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico. La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se llama Álgebra.

Para poder manejar el lenguaje algebraico es necesario comprender lo siguiente:

1. Se usan todas las letras del alfabeto.
2. Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es decir, cualquier número o constante como el vocablo pi.
3. Por lo regular las letras X., Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la función o expresión álgebraica.

El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números lo que normalmente tomamos como expresiones particulares. De esta forma se pueden manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir lo que permite simplificar teoremas, formular ecuaciones e inecuaciones y el estudio de cómo resolverlas. Este lenguaje nos ayuda a resolver problemas matemáticos mostrando generalidades.

Introducción al lenguaje algebraico

El lenguaje algebraico es una herramienta utilizada para representar expresiones y ecuaciones matemáticas de una manera más compacta y fácil de manejar. En lugar de trabajar con números y operaciones aritméticas, el lenguaje algebraico utiliza letras y símbolos para representar números y operaciones.

Representación de expresiones en lenguaje algebraico

Las expresiones algebraicas están formadas por variables, coeficientes y operaciones matemáticas. Las variables son letras que representan números desconocidos o variables independientes. Los coeficientes son números que multiplican a las variables. Las operaciones matemáticas son los símbolos que indican qué hacer con las variables y los coeficientes.

Ejemplo de lenguaje algebraico

Por ejemplo, la expresión 3x + 2 representa un número desconocido (x) multiplicado por 3 y sumado a 2. La letra x es la variable, el número 3 es el coeficiente y el símbolo + indica que se debe sumar.

Representación de ecuaciones en lenguaje algebraico

Las ecuaciones algebraicas son declaraciones matemáticas que igualan dos expresiones. Las ecuaciones se representan mediante una igualdad (=). Por ejemplo, la ecuación 3x + 2 = 8 significa que la expresión 3x + 2 es igual a 8.

Para resolver ecuaciones, se utilizan las mismas operaciones aritméticas que se utilizan en la resolución de problemas numéricos. El objetivo es aislar la variable para encontrar su valor. Para ello, se pueden aplicar las operaciones inversas a ambos lados de la igualdad.

Ejercicios resueltos

1. Representa la expresión matemática "el triple de un número más cinco". 
2. Solución: La expresión se puede representar como 3x + 5, donde x es el número desconocido.
3. Resuelve la ecuación 2x + 4 = 10. 
4. Solución: Primero se resta 4 a ambos lados de la igualdad, quedando 2x = 6. Luego, se divide entre 2 en ambos lados para obtener x = 3.
5. Representa la expresión matemática "la mitad de la suma de dos números". 
6. Solución: La expresión se puede representar como (x + y)/2, donde x e y son los números desconocidos.
7. Resuelve la ecuación 5x - 2 = 13. 
8. Solución: Primero se suma 2 a ambos lados de la igualdad, quedando 5x = 15. Luego, se divide entre 5 en ambos lados para obtener x = 3.
9. Representa la expresión matemática "el doble de la resta de un número menos cuatro". Solución: La expresión se puede representar como 2(x - 4), donde x es el número desconocido.
10. Resuelve la ecuación 3(x + 2) = 21. 
11. Solución: Primero se divide entre 3 en ambos lados de la igualdad, quedando x + 2 = 7. Luego, se resta 2 a ambos lados para obtener x = 5.

Ejemplos resueltos:

Ejemplo 1: Si x representa la edad de Ana, escribe una expresión algebraica para representar la edad de su hermano Juan, sabiendo que este tiene dos años menos que ella.

Solución: Si x representa la edad de Ana, entonces podemos decir que la edad de Juan es x - 2. Por lo tanto, la expresión algebraica que representa la edad de Juan es x - 2.

Ejemplo 2: Escribe una expresión algebraica para la siguiente situación: el triple de un número, disminuido en 5.

Solución: Si llamamos "n" al número, el triple de ese número es 3n. Para disminuirlo en 5, restamos 5 a la expresión anterior, quedando como sigue: 3n - 5.

Ejemplo 3: Escribe una expresión algebraica para la siguiente situación: la suma de tres números consecutivos.

Solución: Si llamamos "n" al primer número, entonces el siguiente número sería "n + 1", y el tercero sería "n + 2". Por lo tanto, la expresión algebraica que representa la suma de estos tres números consecutivos es: n + (n + 1) + (n + 2).

Ejemplo 4: Escribe una expresión algebraica para la siguiente situación: la suma de dos números pares consecutivos.

Solución: Si llamamos "n" al primer número par, entonces el siguiente número par sería "n + 2". Por lo tanto, la expresión algebraica que representa la suma de estos dos números pares consecutivos es: n + (n + 2).

Ejemplo 5: Escribe una expresión algebraica para la siguiente situación: el doble de un número más la mitad de otro número.

Solución: Si llamamos "n" al primer número y "m" al segundo número, entonces el doble de "n" es 2n y la mitad de "m" es m/2. Por lo tanto, la expresión algebraica que representa la suma de estas dos expresiones es: 2n + m/2.

Ejemplo 6: Escribe una expresión algebraica para la siguiente situación: la suma de dos números consecutivos es 43.

Solución: Si llamamos "n" al primer número, entonces el siguiente número sería "n + 1". Como la suma de estos dos números consecutivos es 43, podemos escribir la siguiente ecuación: n + (n + 1) = 43. Luego, resolvemos la ecuación: 2n + 1 = 43, 2n = 42, n = 21. 

Por lo tanto, el primer número es 21 y el segundo número es 22. La expresión algebraica para la suma de estos dos números consecutivos es: 21 + 22 = 43.