LÍMITE TRIGONOMÉTRICO ejercicios resueltos

Límite Trigonométrico | Ejercicios Resueltos

Los Limites trigonométricos se pueden resolver aplicando un límite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un número, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites.

Los tipos de teoremas básicos generalmente proporcionan en su primera aplicación, la indeterminación 0/0. Por ello, es necesario tener en cuenta la aplicación de las identidades básicas trigonométricas, para eliminar tal indeterminación.

1. Límite Trigonométrico

Los límites trigonométricos son una herramienta importante en el cálculo de límites que involucran funciones trigonométricas. Estos límites se utilizan para encontrar el valor al que se aproximan las funciones trigonométricas cuando la variable independiente se acerca a cierto valor o cuando se alcanza un valor determinado.

2. Límites trigonométricos básicos

Los límites trigonométricos básicos son aquellos que involucran funciones trigonométricas elementales como el seno, el coseno y la tangente. A continuación, se presentan 2 ejercicios resueltos paso a paso.

Ejercicio 1: Calcular el límite: lim(x→0) (sen(x))/x.

Solución: Usando la definición de límite, tenemos:

lim(x→0) (sen(x))/x = 1.

Ejercicio 2: Calcular el límite: lim(x→π/4) (cos(x) - √2/2)/(x - π/4).

Solución: Usando la regla de L'Hôpital, tenemos:

lim(x→π/4) (cos(x) - √2/2)/(x - π/4) = 

lim(x→π/4) -sen(x)/(x - π/4) = -1/√2.

3. Límites trigonométricos con identidades trigonométricas

Los límites trigonométricos con identidades trigonométricas son aquellos que se resuelven utilizando identidades trigonométricas para simplificar la función trigonométrica y luego aplicando las técnicas básicas de límites. A continuación, se presentan 2 ejercicios resueltos paso a paso.

Ejercicio 3: Calcular el límite: lim(x→0) (1 - cos(x))/x^2.

Solución: Usando la identidad trigonométrica 1 - cos(x) = 2sen^2(x/2), podemos simplificar la función y obtener:

lim(x→0) (1 - cos(x))/x^2 = 

lim(x→0) 2sen^2(x/2)/x^2 = 

lim(x→0) (sen(x/2)/x/2)^2 = 1/2.

Ejercicio 4: Calcular el límite: lim(x→0) (sen(x) + x)/x^3.

Solución: Usando la identidad trigonométrica sen(x) = x - (x^3)/3! + O(x^5), podemos simplificar la función y obtener:

lim(x→0) (sen(x) + x)/x^3 = 

lim(x→0) (x - (x^3)/3! + O(x^5) + x)/x^3 = 

lim(x→0) (1/x^2 - 1/3! + O(x^2)) = ∞.

4. Límites trigonométricos con funciones exponenciales

Los límites trigonométricos con funciones exponenciales son aquellos que se resuelven utilizando propiedades de las funciones exponenciales y trigonométricas para simplificar la función y luego aplicando las técnicas básicas de límites. A continuación, se presentan 2 ejercicios resueltos paso a paso.

Ejercicio 5: Calcular el límite: lim(x→0) [(e^x - 1)/x]cos(x).

Solución: Usando la regla de L'Hôpital, tenemos:

lim(x→0) [(e^x - 1)/x]cos(x) = 

lim(x→0) [(e^x)/1]cos(x) = cos(0) = 1.

Ejercicio 6: Calcular el límite: lim(x→π/2) (1 - cos(x))/e^(tan(x) - π/2).

Solución: Usando la identidad trigonométrica 1 - cos(x) = 2sen^2(x/2) y la propiedad exponencial e^a/b = (e^a)^(1/b), podemos simplificar la función y obtener:

lim(x→π/2) (1 - cos(x))/e^(tan(x) - π/2) = 

lim(x→π/2) 2sen^2(x/2)/(e^(tan(x) - π/2)) = 

lim(x→π/2) (sen(x/2)/cos(x/2))^2/(e^(tan(x) - π/2)) = 

lim(x→π/2) [(sen(x/2)/cos(x/2))/(e^(tan(x) - π/2))]^2 = 

lim(x→π/2) [(sen(x/2)/cos(x/2))/(e^[(tan(x) - π/2)/2])]^2 = 1/4.

Límite Trigonométrico | Ejemplo paso a paso

Explicación para expresar un ejercicio determinado en términos de senos y cosenos.

Ejercicios Resueltos de Límites Trigonométricos

Ejercicios resueltos por el profe Jorge paso a paso, de forma detallada.