SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2x2 EJERCICIOS RESUELTOS

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema 2 X 2

Consiste en dos ecuaciones lineales en dos variables.

La solución de este sistema es todo par ordenado que pertenezca al conjunto solución de ambas ecuaciones.

Un sistema 2x2 de ecuaciones lineales es un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas cada una. Estas ecuaciones se escriben generalmente en la forma:

ax + by = c

dx + ey = f

donde a, b, c, d, e, f son coeficientes numéricos y x, y son las incógnitas. El objetivo del sistema es encontrar los valores de x y y que satisfagan ambas ecuaciones simultáneamente.

Este tipo de sistemas se pueden resolver de varias maneras, como por ejemplo por el método de sustitución, el método de eliminación o por medio de matrices. La solución del sistema puede ser un par ordenado (x, y) si existe una única solución, una infinidad de soluciones si las dos ecuaciones son equivalentes o no tiene solución si las dos ecuaciones son contradictorias.

Sistema determinado

1. La solución es un par ordenado, es decir existe una solución única.
2. El par ordenado es la coordenada del punto de intersección.

Sistema inconsistente

• Ambas líneas tienen la misma inclinación por lo tanto no hay intersección entre ellas, decimos que son líneas paralelas.
• Este sistema no tiene solución.

Sistema dependiente

Este sistema consta de dos ecuaciones equivalentes por lo que el conjunto
solución es un conjunto infinito de la forma { (x,y)| ax + by + c = 0 }

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales 2x2?

Hay varias formas de resolver un sistema de ecuaciones lineales 2x2, pero aquí te describiré dos de los métodos más comunes:

• Método de sustitución:

En este método, se despeja una de las variables en una de las ecuaciones y se sustituye en la otra ecuación. Luego, se resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de la variable restante. Finalmente, se sustituye este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable. Los pasos para resolver un sistema 2x2 por el método de sustitución son los siguientes:

1. Despejar una variable en una de las ecuaciones, por ejemplo, si la primera ecuación es ax + by = c, despejar y para obtener y = (c - ax) / b.
2. Sustituir esta expresión de y en la segunda ecuación, dx + ey = f, para obtener una ecuación con una sola variable en términos de x.
3. Resolver la ecuación resultante para x.
4. Sustituir el valor de x encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de y.

• Método de eliminación:

En este método, se suman o restan las dos ecuaciones para eliminar una de las variables y luego se resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de la variable restante. Los pasos para resolver un sistema 2x2 por el método de eliminación son los siguientes:

1. Multiplicar una de las ecuaciones por un número adecuado de manera que el coeficiente de una de las variables en ambas ecuaciones sea igual y opuesto. Por ejemplo, si las dos ecuaciones son ax + by = c y dx + ey = f, multiplicar la primera ecuación por e y la segunda ecuación por -b para que ambos términos tengan un coeficiente de ey.
2. Sumar o restar las dos ecuaciones para eliminar una de las variables y obtener una ecuación con una sola variable.
3. Resolver la ecuación resultante para encontrar el valor de la variable restante.
4. Sustituir el valor de esta variable en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

En ambos métodos, es importante verificar la solución encontrada reemplazando los valores de x y y en ambas ecuaciones originales para asegurarse de que sean solución del sistema.

EJERCICIOS RESUELTOS

Solución de un Sistema de Ecuaciones de 2x2 por el Método de Cramer

El método de Cramer es una forma sistemática de resolver estos sistemas.

Solución de un Sistema de 2 x 2 por el Método de Sustitución

Uno de los métodos para resolver estos sistemas de ecuaciones es el de sustitución que abordamos a continuación resolviendo ejercicios.

Ejercicio: 

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x2 por el método de sustitución:

2x + y = 7   (primera ecuación)

x - y = 1      (segunda ecuación)

Solución:

Paso 1: Despejar una variable en una de las ecuaciones. 

En este caso, despejaremos x en la segunda ecuación:

x - y = 1

x = y + 1

Paso 2: Sustituir esta expresión de x en la primera ecuación:

2x + y = 7

2(y + 1) + y = 7

Paso 3: Resolver la ecuación resultante para y:

2y + 2 + y = 7

3y = 5

y = 5/3

Paso 4: Sustituir el valor encontrado de y en la expresión de x que obtuvimos en el paso 1:

x = y + 1

x = (5/3) + 1

x = 8/3

Paso 5: Verificar la solución reemplazando los valores encontrados de x e y en ambas ecuaciones originales:

2x + y = 7

2(8/3) + (5/3) = 7

16/3 + 5/3 = 7

7 = 7 (Es una solución válida)

 

x - y = 1

(8/3) - (5/3) = 1

3/3 = 1 (Es una solución válida)

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones lineales es x = 8/3 y y = 5/3.

Solución de un Sistema de 2 x 2 por el Método de Eliminación (Suma y Resta)

Ejercicios resueltos por el método de eliminación, forma de eliminar una de las letras y poder trabajar sólo con una para resolver el sistema de forma práctica.

Ejercicio: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x2 por el método de eliminación:

3x + 2y = 7 (primera ecuación)

2x - 5y = -8 (segunda ecuación)

Solución:

Paso 1: Multiplica la primera ecuación por 5, la segunda ecuación por 2 para eliminar y:

15x + 10y = 35

4x - 10y = -16

Paso 2: Sumar ambas ecuaciones para eliminar y:

15x + 10y + 4x - 10y = 35 - 16

Simplificando, obtenemos:

19x = 19

Paso 3: Resolver la ecuación resultante para x:

19x = 19

x = 1

Paso 4: Sustituir el valor encontrado de x en una de las ecuaciones originales para encontrar y:

3x + 2y = 7

3(1) + 2y = 7

Paso 5: Resolver la ecuación resultante para y:

3 + 2y = 7

2y = 4

y = 2

Paso 6: Verificar la solución reemplazando los valores encontrados de x e y en ambas ecuaciones originales:

3x + 2y = 7

3(1) + 2(2) = 7

3 + 4 = 7

7 = 7 (Es una solución válida)

2x - 5y = -8

2(1) - 5(2) = -8

2 - 10 = -8

-8 = -8 (Es una solución válida)

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones lineales es x = 1 y y = 2.

Solución de un Sistema de 2 x 2 por el Método de Igualación

Forma de resolver el sistema por el método de igualción, escogemos una letra para despejar y luego igualamos las expresiones resultantes, lo cual nos permite trabajar con una de las letras.

Ejercicio: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x2 por el método de igualación:

2x - 3y = 4 (primera ecuación)

4x + y = 7 (segunda ecuación)

Solución:

Paso 1: Despejar una variable en ambas ecuaciones.

En este caso, despejaremos y en la primera ecuación y x en la segunda ecuación:

2x - 3y = 4

-3y = -2x + 4

y = (2/3)x - (4/3)

4x + y = 7

y = -4x + 7

Paso 2: Igualar ambas expresiones de y:

(2/3)x - (4/3) = -4x + 7

Paso 3: Resolver la ecuación resultante para x:

(2/3)x + 4x = 7 + (4/3)

(14/3)x = (25/3)

x = (25/3) ÷ (14/3)

x = 25/14

Paso 4: Sustituir el valor encontrado de x en cualquiera de las expresiones de y que obtuvimos en el paso 1 para encontrar y:

y = (2/3)x - (4/3)

y = (2/3)(25/14) - (4/3)

y = 5/7 - (16/21)

y = (5/7) - (8/21)

y = (15/21) - (8/21)

y = 7/21

Paso 5: Verificar la solución reemplazando los valores encontrados de x e y en ambas ecuaciones originales:

2x - 3y = 4

2(25/14) - 3(7/21) = 4

(25/7) - (9/7) = 4

16/7 = 4

4 = 4 (Es una solución válida)



4x + y = 7

4(25/14) + (7/21) = 7

(50/7) + (1/3) = 7

(150/21) + (7/21) = 7

157/21 = 7

7 = 7 (Es una solución válida)

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones lineales es x = 25/14 y y = 7/21.