SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS - Ejercicios resueltos

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS - Ejercicios resueltos.

Esta entrada introduce la técnica de factorización por suma y diferencia de cubos, donde se comienza tomando la raíz cúbica de los cubos perfectos.

Las fórmulas de la suma y la diferencia se muestran a continuación y enseguida tenemos varios ejercicio que son útiles para practicar.

Recuerde que es importante adquirir la habilidad para distinguir éstos casos de factorización, veamos:

Estas fórmulas son realmente fáciles de recordar.

x³ − y³ = (x − y)( x² + xy + y²)

x³ + y³ = (x + y)( x² − xy + y²)

EJERCICIO RESUELTO 1.

Factorizar:

x³ − 8

= x³ − 2³

= ( x − 2 )(x² + 2x + 22)

= ( x − 2)(x² + 2x + 4)

EJERCICIO RESUELTO 2.

Factorizar: 27x³ + 1

27x³ + 1 = (3x)³ + 1³ = (3x + 1)((3x)² - (3x)(1) + 1²) = (3x + 1)(9x² - 3x + 1)

EJERCICIO RESUELTO 3.

Factorizar: x³y⁶ - 64

Podemos expresarlo como: (xy²)³ - 4³, luego tenemos:

x³y⁶ - 64 = (xy²)³ - 4³
= (xy² - 4)((xy²)² + (xy²)(4) + 4²)
= (xy² - 4)(x²y⁴ + 4xy² + 16)

EJERCICIOS ILUSTRATIVOS EN VÍDEO:

El procedimiento que se sigue en el vídeo para la factorización es:

Se abren dos paréntesis juntos, el primero es para un binomio formado por las raíces cúbicas de los términos que nos han resultado, estos deben estar separados por el mismo signo. El segundo paréntesis es para establecer un trinomio que se forma con el cuadrado del primer término del binomio menos ó más el primero por el segundo término del binomio, dependiendo si es suma o resta, y para finalizar, a esto le sumamos el cuadrado del segundo término.

Estos son los pasos necesarios para factorizar una suma y una diferencia de cubos; se muestran en el siguiente tutorial:

• La suma de dos cubos, que sean perfectos se divide en dos factores, donde el primero debe ser la suma de sus raíces cúbicas; el segundo es el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces y esto más el cuadrado de la segunda raíz.

• La diferencia de dos cubos que sean perfectos se parte en dos factores, el primero es la diferencia de sus dos raíces cúbicas; luego el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces a esto se le adiciona el cuadrado de la segunda raíz.

Al final es muy fácil verificar mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación las fórmulas de factorización para la suma y  la  diferencia de dos cubos.

Procedimiento paso por paso:

Primero se extrae la raíz cubica de ambos miembros con el mismo signo de la operación que se realiza, por tanto ambos miembros quedan como un solo factor encerrados dentro de un paréntesis, luego para el siguiente factor o paréntesis se ubica el primer término del paréntesis anterior elevado al cuadrado, la operación contraria, en este caso en el primer paréntesis se realizaba una resta, así que la operación contraria es una suma, producto de los dos términos del paréntesis anterior, a continuación se coloca sumando el segundo término del primer paréntesis  elevado al cuadrado.