Ejercicios de Distribución Binomial
Distribución binomial
La distribución binomial es una distribución de probabilidad
discreta que describe el número de veces que ocurre un evento en una cantidaddeterminada de ensayos independientes y aleatorios, en los que el evento de
interés tiene una probabilidad fija de ocurrencia en cada ensayo.
La distribución binomial se describe por dos parámetros: n,
el número de ensayos, y p, la probabilidad de éxito en cada ensayo. Se
representa matemáticamente como B(n, p).
Fórmula de la distribución binomial
La fórmula para la distribución binomial es:
P(X = k) =
(nCk) * pk * (1-p)(n-k)
donde:
- P(X = k) es la probabilidad de que ocurra el evento de interés exactamente k veces en n ensayos independientes
- nCk representa el coeficiente binomial, que es la cantidad de formas en que se pueden seleccionar k objetos de un conjunto de n objetos sin importar el orden
- p es la probabilidad de éxito en cada ensayo
- (1-p) es la probabilidad de fracaso en cada ensayo
Algunos aspectos importantes de la distribución binomial son:
- Es una distribución de probabilidad discreta, ya que los resultados posibles son valores enteros y limitados.
- La suma de todas las probabilidades posibles debe ser igual a 1.
- La media de la distribución binomial es igual a n*p.
- La
varianza de la distribución binomial es igual a np(1-p).
Principales características de la distribución binomial
La distribución binomial es un modelo de probabilidad discreta que se utiliza para describir eventos que solo pueden tener dos resultados posibles, como éxito o fracaso.
La distribución binomial se basa en una serie de ensayos independientes y idénticos, en los cuales la probabilidad de éxito se mantiene constante.
Los parámetros principales de la distribución binomial son el número total de ensayos (n) y la probabilidad de éxito (p).
La función de probabilidad binomial es simétrica cuando la probabilidad de éxito es igual a la probabilidad de fracaso.
La media de la distribución binomial es igual a np, mientras que la desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de np*(1-p).
La distribución binomial se utiliza comúnmente en aplicaciones como la teoría de juegos, la teoría de la fiabilidad, la teoría de inventarios y la inferencia estadística.
La distribución binomial se puede aproximar por la distribución normal cuando n es grande y p está cerca de 0,5.
La distribución binomial es una de las distribuciones más utilizadas en estadística y probabilidad debido a su simplicidad y aplicabilidad en diversas situaciones.
Ejemplos Resueltos
- Si
un dado justo se lanza 10 veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga un
3 exactamente 3 veces?
- n =
10 (10 lanzamientos del dado)
- k =
3 (3 veces que salió el 3)
- p =
1/6 (la probabilidad de que salga un 3 en cada lanzamiento del dado)
- P(X
= 3) = (10C3) * (1/6)^3 * (5/6)7
- P(X = 3) = 0.155
- Si
un jugador de baloncesto tiene una probabilidad del 70% de encestar un
tiro libre, ¿cuál es la probabilidad de que anote exactamente 5 tiros
libres en 10 intentos?
- n =
10 (10 tiros libres)
- k =
5 (5 veces que anotó el tiro libre)
- p =
0.7 (la probabilidad de que anote el tiro libre en cada intento)
- P(X
= 5) = (10C5) * (0.7)^5 * (0.3)5
- P(X
= 5) = 0.200
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1:
Una fábrica de chocolates produce barras de chocolate con
una probabilidad del 85% de que estén en buenas condiciones. Si se inspeccionan
10 barras, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 8 estén en buenas
condiciones?
Solución:
Para este problema, necesitamos usar la distribución binomial, donde
n = 10 (el número de barras inspeccionadas),
p = 0.85 (la probabilidad de que una barra esté en buenas condiciones)
y x = 8 (el número de
barras que queremos que estén en buenas condiciones).
Entonces, podemos usar la siguiente fórmula:
P(X = x) = (nCx) * px * (1-p)(n-x)
Donde nCx es el coeficiente binomial (n combinado con x),
que se puede calcular como n! / (x! * (n-x)!)
Así que tenemos:
P(X = 8) = (10C8) * 0.85^8 * (1-0.85)(10-8)
P(X = 8) = (45) * 0.3274 * 0.0081
P(X = 8) = 0.1138
Por lo tanto, la probabilidad de que exactamente 8 barras estén en buenas condiciones es del 11.38%.
Ejercicio 2:
Un estudiante está tomando un examen con 20 preguntas de
opción múltiple. Si el estudiante adivina todas las respuestas, ¿cuál es la
probabilidad de que responda correctamente a exactamente 5 preguntas?
Solución:
De nuevo, podemos usar la distribución binomial, donde n =
20 (el número de preguntas en el examen), p = 0.25 (la probabilidad de adivinar
la respuesta correcta a una pregunta de opción múltiple) y x = 5 (el número de
preguntas que queremos que el estudiante responda correctamente).
La fórmula a usar es la misma:
P(X = x) = (nCx) * px * (1-p)(n-x)
Entonces, tenemos:
P(X = 5) = (20C5) * 0.255 * (1-0.25)(20-5)
P(X = 5) = (15504) * 0.0009766 * 0.7738
P(X = 5) = 1.199 x 10-6
Por lo tanto, la probabilidad de que el estudiante responda
correctamente a exactamente 5 preguntas es de 1.199 x 10-6.
Ejercicio 3:
Resuelve paso a paso el siguiente problema "Un equipo
de fútbol ha ganado el 60% de sus partidos esta temporada. Si el equipo juega 8
partidos más, ¿cuál es la probabilidad de que gane al menos 6 de ellos?"
Este problema se puede resolver usando la distribución
binomial. La probabilidad de que el equipo gane un solo partido es del 60%, por
lo que la probabilidad de que pierda es del 40%.
Para encontrar la probabilidad de que el equipo gane al
menos 6 de los 8 partidos, debemos calcular la probabilidad de que gane
exactamente 6, 7 u 8 partidos y sumarlas. Podemos usar la fórmula de la
distribución binomial para encontrar cada una de estas probabilidades:
P(X = k) =
(nCk) * pk * (1-p)(n-k)
donde:
- n es el número de ensayos o partidos
- k es el número de éxitos o partidos ganados
- p es la probabilidad de éxito en cada ensayo o partido
- (1-p) es la probabilidad de fracaso en cada ensayo o partido
- nCk
es el coeficiente binomial que representa el número de formas en que se
pueden elegir k éxitos de un total de n ensayos
Para el problema dado, podemos usar la fórmula para calcular
las probabilidades de ganar exactamente 6, 7 u 8 partidos:
P(X = 6) = (8C6) * 0.66 * 0.42 = 0.311 P(X = 7) = (8C7) * 0.67 * 0.41 = 0.376 P(X = 8) = (8C8) * 0.68 * 0.40 = 0.167
Para encontrar la probabilidad de que gane al menos 6
partidos, debemos sumar estas tres probabilidades:
P(X ≥ 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) =
0.311 + 0.376 + 0.167 = 0.854
Por lo tanto, la probabilidad de que el equipo gane al menos
6 de los 8 partidos restantes es del 85.4%.