Diferencia de Cuadrados - Ejercicios Resueltos

1. Introducción a la diferencia de cuadrados

A. Qué es la diferencia de cuadrados

La diferencia de cuadrados es una expresión algebraica que se obtiene al restar dos términos que son cuadrados perfectos. Se escribe en la forma: a^2 - b^2, donde a y b son números o variables.

B. Razones para identificar diferencias de cuadrados

Es importante identificar las diferencias de cuadrados porque pueden ser factorizadas en una forma más simple y útil en cálculos posteriores. La factorización de diferencias de cuadrados también puede ser útil en la resolución de ecuaciones y problemas de geometría y física.

2. Identificación de una diferencia de cuadrados

A. Cómo reconocer una diferencia de cuadrados:

Una diferencia de cuadrados es una expresión algebraica de la forma a^2 - b^2, donde a y b son términos algebraicos. La diferencia de cuadrados se caracteriza por la presencia de dos términos que están siendo restados y ambos términos son cuadrados perfectos. Por lo tanto, podemos identificar una diferencia de cuadrados si:

• La expresión tiene dos términos que están siendo restados
• Ambos términos son cuadrados perfectos (es decir, son el resultado de elevar al cuadrado un término algebraico)

B. Ejemplos resueltos paso a paso:

1. Identifica si la expresión es una diferencia de cuadrados: x^2 - 16.

Solución:

• La expresión tiene dos términos que están siendo restados: x^2 y 16.
• x^2 es el cuadrado perfecto de x, y 16 es el cuadrado perfecto de 4.
• Por lo tanto, la expresión es una diferencia de cuadrados y puede ser factorizada como (x+4)(x-4).

2. Identifica si la expresión es una diferencia de cuadrados: 9a^2 - 25b^2.

Solución:

• La expresión tiene dos términos que están siendo restados: 9a^2 y 25b^2.
• 9a^2 es el cuadrado perfecto de 3a, y 25b^2 es el cuadrado perfecto de 5b.
• Por lo tanto, la expresión es una diferencia de cuadrados y puede ser factorizada como (3a+5b)(3a-5b).

3. Identifica si la expresión es una diferencia de cuadrados: x^2 + 9.

Solución:

• La expresión tiene dos términos que están siendo sumados: x^2 y 9.
• x^2 es el cuadrado perfecto de x, pero 9 no es un cuadrado perfecto.
• Por lo tanto, la expresión no es una diferencia de cuadrados y no puede ser factorizada como tal.

3. Factorización de una diferencia de cuadrados

A. Pasos para factorizar una diferencia de cuadrados

La factorización de una diferencia de cuadrados sigue un proceso sencillo y consiste en aplicar la fórmula:

a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)

donde "a" y "b" son términos que pueden ser números, variables o combinaciones de ambos.

El primer paso para factorizar una diferencia de cuadrados es identificar los términos "a" y "b". Una vez que se han identificado, se deben aplicar los siguientes pasos:

1. Escribir la diferencia de cuadrados en la forma a^2 - b^2.
2. Identificar "a" y "b" en la expresión.
3. Aplicar la fórmula de la diferencia de cuadrados para factorizar la expresión.

B. Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1: Factorizar x^2 - 4

En este caso, "a" es x y "b" es 2. Por lo tanto, la expresión se puede escribir como:

x^2 - 4 = x^2 - 2^2

Ahora, aplicando la fórmula de la diferencia de cuadrados:

x^2 - 2^2 = (x + 2) (x - 2)

Por lo tanto, la factorización de la expresión x^2 - 4 es (x + 2) (x - 2).

Ejemplo 2: Factorizar 9y^2 - 25

En este caso, "a" es 3y y "b" es 5. Por lo tanto, la expresión se puede escribir como:

9y^2 - 25 = (3y)^2 - 5^2

Ahora, aplicando la fórmula de la diferencia de cuadrados:

(3y)^2 - 5^2 = (3y + 5) (3y - 5)

Por lo tanto, la factorización de la expresión 9y^2 - 25 es (3y + 5) (3y - 5).

Ejemplo 3: Factorizar 16a^2 - 81b^2

En este caso, "a" es 4a y "b" es 9b. Por lo tanto, la expresión se puede escribir como:

16a^2 - 81b^2 = (4a)^2 - (9b)^2

Ahora, aplicando la fórmula de la diferencia de cuadrados:

(4a)^2 - (9b)^2 = (4a + 9b) (4a - 9b)

Por lo tanto, la factorización de la expresión 16a^2 - 81b^2 es (4a + 9b) (4a - 9b).

En resumen, la diferencia de cuadrados es una técnica de factorización útil en diferentes áreas de las matemáticas y las ciencias, y su comprensión y aplicación puede ayudar a simplificar expresiones, resolver problemas y facilitar el cálculo de límites.