Caso 6 Factorización - Ejercicios Resueltos
1. Introducción al trinomio de la forma x^2+bx+c
A. Qué es el trinomio de la forma x^2+bx+c
El trinomio de la forma x^2+bx+c es una expresión algebraica que tiene tres términos y sigue el patrón de una variable al cuadrado (x^2), sumada o restada de un término lineal (bx) y una constante (c). Este tipo de trinomios son comunes en álgebra y se utilizan frecuentemente en la factorización de expresiones y en la resolución de ecuaciones cuadráticas.
B. Razones para factorizar trinomios de la forma x^2+bx+c
La factorización de trinomios de la forma x^2+bx+c es una técnica importante en álgebra que puede utilizarse para simplificar expresiones y resolver ecuaciones cuadráticas. Al factorizar un trinomio de esta forma, se pueden encontrar dos binomios que, al multiplicarse, producen el trinomio original. La factorización de trinomios también puede ayudar a encontrar las raíces de una ecuación cuadrática, lo que es útil para resolver problemas en áreas como la física, la ingeniería y las finanzas.
2. Identificación de los coeficientes a, b y c en el trinomio x^2+bx+c
A. Cómo identificar los coeficientes a, b y c en el trinomio x^2+bx+c
En el trinomio de la forma x^2+bx+c, el coeficiente a es el coeficiente del término cuadrático x^2, el coeficiente b es el coeficiente del término lineal x, y el coeficiente c es el término constante.
Por ejemplo, en el trinomio x^2 + 4x + 4, el coeficiente a es 1, el coeficiente b es 4, y el coeficiente c es 4.
B. Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Identificar los coeficientes a, b y c en el trinomio x^2 + 6x + 8.
Solución: En el trinomio x^2 + 6x + 8, el coeficiente a es 1, el coeficiente b es 6, y el coeficiente c es 8.
Ejemplo 2: Identificar los coeficientes a, b y c en el trinomio 3x^2 - 5x - 2.Solución: En el trinomio 3x^2 - 5x - 2, el coeficiente a es 3, el coeficiente b es -5, y el coeficiente c es -2.
3. Pasos para factorizar el trinomio de la forma x^2+bx+c
Cuando nos encontramos ante un trinomio de la forma x^2+bx+c, podemos utilizar varios métodos para factorizarlo. Uno de los más comunes es el método de la factorización por agrupación.
A. Método de la factorización por agrupación
El método de la factorización por agrupación se basa en la idea de agrupar los términos del trinomio de manera que sea posible factorizar por separado cada uno de los grupos resultantes. Los pasos para aplicar este método son los siguientes:
- Identificar los coeficientes a, b y c del trinomio x^2+bx+c.
- Buscar dos números, m y n, tales que su producto sea igual a ac (el producto del coeficiente a y el coeficiente c) y su suma sea igual a b (el coeficiente b).
- Reescribir el trinomio como x^2+mx+nx+c.
- Agrupar los términos de manera que queden dos grupos, uno formado por x^2+mx y otro por nx+c.
- Factorizar por separado cada uno de los grupos resultantes.
- Escribir el resultado final como el producto de los factores obtenidos en los dos grupos.
B. Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Factorizar el trinomio x^2+6x+8.
- Identificar los coeficientes a, b y c: a=1, b=6 y c=8.
- Buscar dos números cuyo producto sea igual a 18=8 y cuya suma sea igual a 6. En este caso, los números son 2 y 4, ya que 24=8 y 2+4=6.
- Reescribir el trinomio como x^2+2x+4x+8.
- Agrupar los términos de manera que queden dos grupos: (x^2+2x) y (4x+8).
- Factorizar por separado cada uno de los grupos resultantes:
x^2+2x=x(x+2) 4x+8=4(x+2)
- Escribir el resultado final como el producto de los factores obtenidos en los dos grupos:
x^2+6x+8=x(x+2)+4(x+2)=(x+2)(x+4)
Por lo tanto, la factorización del trinomio x^2+6x+8 es (x+2)(x+4).