La Ecuación de la Parábola
En el área de matemáticas, una parábola es una sección cónica, creado a partir de la intersección de una superficie cónica circular derecha y un plano paralelo a una generatriz recta de la superficie.
Parábolas: Definición y Cómo Encontrar su Ecuación a Partir del Foco y la Directriz
Otra manera de generar una parábola es examinar un punto (el foco) y una línea (la directriz). El lugar geométrico de todos los puntos en ese plano que son equidistantes de la línea es una parábola.
En álgebra, las parábolas se encuentran con frecuencia en forma de gráficos de funciones cuadráticas.
Partes de una Parábola
La línea perpendicular a la directriz que pasa por el foco (es decir, la línea que divide la parábola a través de la parte central) se llama el "eje de simetría".
El punto en el eje de simetría que se cruza con la parábola se llama el "vértice", y es el punto donde la curvatura es mayor.
Longitud focal y dirección de apertura en parábolas
La distancia entre el vértice y el foco, medida a lo largo del eje de simetría, es la "longitud focal". Las parábolas puede abrir hacia arriba, abajo, izquierda, derecha, o en alguna dirección arbitraria.
Introducción sobre la ecuación de la parábola
La parábola es una de las secciones cónicas más comunes en matemáticas
Es la curva que resulta de cortar un cono de revolución con un plano que forma un ángulo igual al de la generatriz con el eje del cono.
La
ecuación de la parábola es una de las formas más comunes para representarla en
el plano cartesiano.
Ecuación de la parábola
La ecuación general de una parábola con vértice en el origen
de coordenadas es:
Y2 = 4px
Donde p es la distancia entre el foco y el vértice de la
parábola. Si la parábola está orientada hacia la derecha, la ecuación se
escribe en términos de la coordenada x en lugar de y:
X2 = 4py
La ecuación de la parábola también se puede expresar en
términos de su forma factorizada:
y = a(x - h)2 + k
Donde a, h y k son constantes y (h, k) es el vértice de la parábola. La constante a determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba, mientras que si a < 0,
la parábola se abre hacia abajo.
Propiedades de la parábola
La parábola tiene varias propiedades
Estas se pueden utilizar para determinar sus características, como la dirección de apertura, el vértice, el foco y la directriz.
Algunas de estas propiedades incluyen:
- La distancia del foco al vértice de la parábola es igual a p, que es la distancia desde el vértice a la directriz de la parábola.
- La ecuación de la directriz de la parábola es y = -p si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo, y x = -p si la parábola se abre hacia la derecha o hacia la izquierda.
- El vértice de la parábola es el punto (h, k), donde h es la coordenada x del vértice y k es la coordenada y.
- La distancia entre el vértice y el foco es la misma que la distancia entre el vértice y la directriz.
- Si
la parábola está orientada hacia arriba o hacia abajo, el eje de simetría
es una línea vertical que pasa por el vértice de la parábola. Si la
parábola está orientada hacia la izquierda o hacia la derecha, el eje de
simetría es una línea horizontal que pasa por el vértice.
Ejemplos de problemas resueltos
A continuación, se presentan algunos ejemplos de problemas
que se pueden resolver utilizando la ecuación de la parábola:
Ejemplo 1
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en (2,3) y foco en (2,5).
Solución: El vértice de la parábola es (h,k) = (2,3), por lo
que la ecuación de la parábola tiene la forma:
(y - 3)2 = 4p(x - 2) Como el foco se encuentra en
(2,5), sabemos que p = 1/4 (la distancia del vértice al foco es la misma que la
distancia del vértice al punto de la parábola más cercano al eje de simetría,
que es la distancia p).
Sustituyendo p en la ecuación de la parábola, obtenemos:
(y - 3)2 = (x - 2)
Lo que nos da la ecuación de la parábola en su forma
canónica.
Ahora podemos encontrar la ecuación en su forma general
despejando la variable y:
Y2 - 6y + 9 = x - 2
Moviendo los términos a la izquierda y simplificando,
tenemos:
x = y2 - 6y + 11
Esta es la ecuación de la parábola en su forma general.
Ejemplo 2
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en (0,0) y que pasa por el punto (2,8).
Solución: Como el vértice es el punto (h,k) = (0,0), la
ecuación de la parábola tiene la forma:
Y2 = 4px
Donde p es la distancia del vértice al foco y al punto más
cercano de la parábola al eje de simetría. Como no se nos da el valor de p,
debemos encontrarlo usando la información adicional que nos proporciona el
punto (2,8).
Primero, encontramos la coordenada x del punto de la
parábola más cercano al eje de simetría. Como el vértice está en el origen, el
punto más cercano al eje de simetría está en x = 0. Sustituyendo x = 0 en la
ecuación de la parábola, obtenemos:
Y2 = 0
Por lo que y = 0 es el punto más cercano al eje de simetría.
Ahora podemos encontrar p utilizando la distancia entre el
punto (2,8) y el punto más cercano al eje de simetría, que es:
p = (2 - 0)/4 = 1/2
Sustituyendo p en la ecuación de la parábola, obtenemos:
Y2 = 2x
Esta es la ecuación de la parábola en su forma canónica.
Para encontrar la ecuación en su forma general, podemos
despejar la variable x:
x = y2/2
Esta es la ecuación de la parábola en su forma general.