Suma o Adición de Números Complejos. Ejercicios.
En esta entrada miraremos conceptos básicos y fundamentales sobre la suma de complejos.Tenga en cuenta que el conjunto R de todos los números reales es un subconjunto del conjunto C números complejos, ya que cualquier número real puede ser considerado como aquel que tiene una parte imaginaria igual a cero.
El conjugado de un número complejo a + bi
es un número complejo igual a: a - b i
Ejemplos: Encuentra el conjugado de los siguientes números complejos.
a) 7 - i, b) -3 + 4i, c) 45 -9i
Solución al ejemplo anterior
a) 7 + i, b) -3 - 4i, c) 45 + 9i
La adición de números complejos
La adición de dos números complejos a + bi y c + di se define como sigue.(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i
Esto es similar a la agrupación de los términos semejantes: partes reales se añaden a partes reales y partes imaginarias se añaden a partes imaginarias.
Ejemplo: Exprese en la forma de un número complejo a + b i.
a) (2 + 3i) + (-4 + 5i)
b) (3i) + (-5 + 6i)
c) (2) + (-2 + 9i)
Solución al ejemplo anterior.
(2 + 3i) + (-4 + 5i) = (2 - 4) + (3 + 5)i = - 2 + 8 i
(3i) + (-5 + 6i) = (0 - 5) + (3 + 6)i = -5 + 9 i
(2) + (-2 + 9i) = (2 - 2) + (9) i = 9i
Además se puede hacer mediante la agrupación de los términos semejantes.
(2 + 3i) + (-4 + 5i) = 2 + 3 i - 4 + 5i + 8 = -2 + 8i
Los números complejos se añaden mediante la adición de las
partes real e imaginaria de los sumandos. Es decir:
De manera similar, se
define pora la resta
Uso de la visualización
de los números complejos en el plano complejo.
La adición tiene la interpretación geométrica siguiente: la suma de numeros complejos A y B, se puede interpretar como los puntos del plano complejo, el punto X se obtiene mediante la construcción de un paralelogramo en el cual tres de cuyos vértices están en O, A y B. De manera equivalente, X es el punto de tal que los triángulos con vértices O, A, B, y X, B, A, son congruentes.
La suma de números complejos es siempre un número complejo?
Respuesta:
El "número complejo" es un número de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i es la raíz cuadrada principal de -1.
Puesto que b puede ser igual a 0, se ve que los números reales son un subconjunto de los números complejos. Asimismo, dado que uno puede ser cero, los números imaginarios son un subconjunto de los números complejos.
Así que vamos a tener dos números complejos: a + bi y c + di (donde a, b, c, y d son reales). Al sumarlos se obtiene:
(a + c) + (b + d) i
La suma de dos números reales siempre es real, por lo que a + c es un número real y b + d es un número real, por lo que la suma de dos números complejos es un número complejo.
Lo que realmente puede preguntarse es si la suma de dos números no reales complejos jamás puede ser un número real. La respuesta es sí:
(3 +2 i) + (5-2i) = 8.
De hecho, los números complejos forman un campo algebraicamente. La suma, diferencia, producto y cociente de dos números complejos (excepto la división por 0) es un número complejo (teniendo en cuenta el caso especial de que los números reales e imaginarios son un subconjunto de los números complejos).
Puesto que los números complejos son legítimas entidades matemáticas, al igual que los números escalares, pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse. Algunas calculadoras científicas están programadas para realizar directamente estas operaciones en dos o más números complejos, pero estas operaciones también se puede hacer "a mano". Esta entrada le muestra cómo las operaciones básicas se llevan a cabo. Es altamente recomendable que se dote de una calculadora científica capaz de realizar funciones aritméticas en números complejos. Hará que su estudio de AC (circuitos) sea mucho más agradable que si se ve obligado a hacer todos los cálculos por el camino más largo.
La Suma y la resta con números complejos en forma rectangular es fácil. Por otra parte, simplemente se suman los componentes reales de los números complejos para determinar el componente real de la suma, y sumar los componentes imaginarios de los números complejos para determinar el componente imaginario de la suma:
La adición tiene la interpretación geométrica siguiente: la suma de numeros complejos A y B, se puede interpretar como los puntos del plano complejo, el punto X se obtiene mediante la construcción de un paralelogramo en el cual tres de cuyos vértices están en O, A y B. De manera equivalente, X es el punto de tal que los triángulos con vértices O, A, B, y X, B, A, son congruentes.
Suma y resta en los complejos
La suma de números complejos es siempre un número complejo?
Respuesta:
El "número complejo" es un número de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i es la raíz cuadrada principal de -1.
Puesto que b puede ser igual a 0, se ve que los números reales son un subconjunto de los números complejos. Asimismo, dado que uno puede ser cero, los números imaginarios son un subconjunto de los números complejos.
Así que vamos a tener dos números complejos: a + bi y c + di (donde a, b, c, y d son reales). Al sumarlos se obtiene:
(a + c) + (b + d) i
La suma de dos números reales siempre es real, por lo que a + c es un número real y b + d es un número real, por lo que la suma de dos números complejos es un número complejo.
Lo que realmente puede preguntarse es si la suma de dos números no reales complejos jamás puede ser un número real. La respuesta es sí:
(3 +2 i) + (5-2i) = 8.
De hecho, los números complejos forman un campo algebraicamente. La suma, diferencia, producto y cociente de dos números complejos (excepto la división por 0) es un número complejo (teniendo en cuenta el caso especial de que los números reales e imaginarios son un subconjunto de los números complejos).
Puesto que los números complejos son legítimas entidades matemáticas, al igual que los números escalares, pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse. Algunas calculadoras científicas están programadas para realizar directamente estas operaciones en dos o más números complejos, pero estas operaciones también se puede hacer "a mano". Esta entrada le muestra cómo las operaciones básicas se llevan a cabo. Es altamente recomendable que se dote de una calculadora científica capaz de realizar funciones aritméticas en números complejos. Hará que su estudio de AC (circuitos) sea mucho más agradable que si se ve obligado a hacer todos los cálculos por el camino más largo.
La Suma y la resta con números complejos en forma rectangular es fácil. Por otra parte, simplemente se suman los componentes reales de los números complejos para determinar el componente real de la suma, y sumar los componentes imaginarios de los números complejos para determinar el componente imaginario de la suma: