Variables Separables Ejercicios Resueltos

Variables Separables

Variables separables en ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales son una parte fundamental de las matemáticas y se utilizan para modelar una amplia variedad de fenómenos en la física, la ingeniería, la economía y otras áreas. Una de las formas más comunes de ecuación diferencial es la ecuación diferencial ordinaria (EDO), que se utiliza para modelar la relación entre una función y su derivada. 

Una forma especial de EDO es la ecuación diferencial separable, que se puede resolver utilizando la técnica de variables separables.

¿Qué son las ecuaciones diferenciales separables?

Una EDO separable es una ecuación que se puede escribir en la forma:

dy/dx = f(x)g(y)

Donde f(x) y g(y) son funciones de x e y, respectivamente. La clave para resolver una EDO separable es separar las variables x e y, de modo que todas las x estén en un lado de la ecuación y todas las y estén en el otro lado. Esto se puede hacer mediante la técnica de la multiplicación cruzada, que implica la multiplicación de ambos lados de la ecuación por el denominador de una de las funciones. Luego, se integra cada lado por separado para obtener la solución.

Pasos para resolver una ecuación diferencial separable

Los pasos generales para resolver una ecuación diferencial separable son los siguientes:

1. Escribir la ecuación en la forma dy/dx = f(x)g(y).
2. Separar las variables x e y.
3. Integrar ambos lados de la ecuación por separado.
4. Añadir la constante de integración C.
5. Si es necesario, despejar y para obtener la solución explícita.

Ejemplos resueltos de ecuaciones diferenciales separables

1. Resolver la ecuación diferencial separable dy/dx = x² y.

Solución:

dy/y = x² dx Integrando ambos lados obtenemos: ln|y| = x³/3 + C Despejando y:

y = e^(x³/3+C) = Ke^(x³/3), donde K = +/-e^c es la constante de integración.

2. Resolver la ecuación diferencial separable dy/dx = y²/x.

Solución:

dy/y² = dx/x Integrando ambos lados obtenemos: -1/y = ln|x| + C Despejando y: y = -1/(ln|x| + C), donde C es la constante de integración.

3. Resolver la ecuación diferencial separable dy/dx = xcos(y).

Solución:

dy/cos(y) = x dx Integrando ambos lados obtenemos: sen(y) = x²/2 + C Despejando y: y = arcsen(x²/2 + C), donde C es la constante de integración.

 

Ejercicios resueltos

1. Resolver la ecuación diferencial dy/dx = 2xy, con y(0) = 1.

Solución:

Primero, separamos las variables en la ecuación:

dy/y = 2x dx

Integramos ambos lados:

∫(dy/y) = ∫(2x dx)

ln|y| = x² + C

donde C es una constante de integración.

Despejando y:

|y| = e^(x² + C) = e^C * e^(x²)

y = ± e^C * e^(x²)

Usando la condición inicial y(0) = 1, tenemos:

1 = ± e^C * e⁰

1 = ± e^C

Por lo tanto, C = 0 y la solución a la ecuación diferencial es:

y = e^(x²)

2. Resolver la ecuación diferencial dy/dx = 3x² y², con y(1) = -1.

Solución:

Nuevamente, separamos las variables:

dy/y² = 3x² dx

Integramos ambos lados:

∫(dy/y²) = ∫(3x² dx)

-1/y = x³ + C

Despejando y:

y = -1 / (x³ + C)

Usando la condición inicial y(1) = -1, tenemos:

-1 = -1 / (1³ + C)

C = 0

Por lo tanto, la solución a la ecuación diferencial es:

y = -1 / x³

3. Resolver la ecuación diferencial dy/dx = (2x + 1) / y, con y(0) = 1.

Solución:

Separamos las variables:

y dy = (2x + 1) dx

Integramos ambos lados:

∫(y dy) = ∫((2x + 1) dx)

Y² / 2 = x² + x + C

Despejando y:

y = ± Raíz cuadrada (2x^2 + 2x + 2C)

Usando la condición inicial y(0) = 1, tenemos:

1 = ± Raíz cuadrada (2(0)² + 2(0) + 2C)

1 = ± Raíz cuadrada (2C)

C = 1/2

Por lo tanto, la solución a la ecuación diferencial es:

y = Raíz cuadrada (2x^2 + 2x + 1)

Aplicaciones de la primera y segunda derivada en ecuaciones diferenciales

La primera y segunda derivada de una función tienen importantes aplicaciones en ecuaciones diferenciales y en problemas de optimización. A continuación, se presentan algunos ejemplos de cómo se pueden aplicar las derivadas en ecuaciones diferenciales.

Problema de la ley de enfriamiento de Newton

La ley de enfriamiento de Newton se utiliza para modelar el proceso de enfriamiento de un objeto a temperatura ambiente. La ecuación diferencial para la temperatura de un objeto que se enfría en un ambiente a temperatura constante se puede escribir como:

dT/dt = -k(T - Ta)

donde T es la temperatura del objeto, Ta es la temperatura ambiente y k es una constante de proporcionalidad. La solución a esta ecuación diferencial es:

T(t) = Ta + (T0 - Ta) e^-kt

donde T0 es la temperatura inicial del objeto en el tiempo t=0.

Para maximizar la tasa de enfriamiento del objeto, debemos encontrar el valor de t para el cual la tasa de cambio de la temperatura es máxima. Para ello, podemos utilizar la primera y segunda derivada de la función T(t). La primera derivada es:

dT/dt = -k(T0 - Ta) e^-kt

La segunda derivada es:

d² /dt² = k²(T0 - Ta) e^-kt

Para maximizar la tasa de enfriamiento, debemos encontrar el valor de t para el cual la segunda derivada es igual a cero. Resolviendo la ecuación d^2T/dt^2 = 0, obtenemos:

t = ln(2)/k

Por lo tanto, el tiempo necesario para maximizar la tasa de enfriamiento es ln(2)/k.