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LÍMITES AL INFINITO - Ejercicios Resueltos

LÍMITES AL INFINITO - Ejercicios Resueltos.

Uno de los misterios de las matemáticas es el concepto de "infinito", que por lo general se denota con el símbolo $\infty$ .Es simplemente un símbolo que representa a grandes números. De hecho, los números son de tres tipos: grandes, de tamaño normal, y pequeños.

"Infinito" es una idea muy especial. Sabemos que no podemos llegar a él, pero podemos tratar de calcular el valor de las funciones que tienden al infinito.

El infinito no es un número, es una idea. Así que 1 / ∞ es algo como decir 1/todo.

Tal vez podríamos decir que 1 / ∞ = 0, ... pero eso es un problema también, porque si dividimos 1 en pedazos infinitos y a cada uno le toca 0, pues qué pasó con el 1?

De hecho 1 / ∞ es conocido por ser indefinido.

Podemos tomar como muy próxima la siguiente propiedad:



EJERCICIO RESUELTO 1.








Respuesta:


Tutorial con explicación paso a paso:



EJERCICIO RESUELTO 2.






EJERCICIO RESUELTO 3.











Para cuando equis tiende a menos infinito también tenemos:



Más ejercicios y problemas resueltos en vídeo:

PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRIA

PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRIA.

En esta entrada, aprenderemos sobre cómo aplicar las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente) para resolver problemas en el campo de la trigonometría.

Consejos sobre la resolución de problemas de trigonometría:

1) Si no se da un diagrama, dibuje uno usted mismo.

2) Marque los ángulos rectos en el diagrama.

3) Resalte los tamaños de los otros ángulos y las longitudes de las líneas que son conocidos.

4) Marque los ángulos o lados que se deben calcular.

5) Si es posible establezca triángulos rectángulos trazando líneas adicionales. Por ejemplo, si puede dividir un triángulo isósceles en dos triángulos congruentes, esto sería de gran utilidad.

6) Identifique si va a necesitar el teorema de Pitágoras, o las funciones seno, coseno y tangente.

7) Compruebe que su respuesta es razonable. No olvide que la hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo.



EJERCICIO RESUELTO.



Calcular el valor de cosθ en el triángulo anterior.

Solución:

Use el teorema de Pitágoras para evaluar la longitud PR.















EJERCICIOS RESUELTOS EN VÍDEO:


TRIÁNGULO ISÓSCELES - Ejercicios Resueltos

TRIÁNGULO ISÓSCELES - Ejercicios.

Un triángulo isósceles es un triángulo con al menos dos lados iguales. Esta propiedad es equivalente a decir que dos ángulos del triángulo son iguales. Por tanto, un triángulo isósceles tiene dos lados iguales y dos ángulos iguales.

Un triángulo con todos los lados iguales se llama un triángulo equilátero, y un triángulo con todos sus lados diferentes se llama un triángulo escaleno. Por tanto, un triángulo equilátero es un caso especial de un triángulo isósceles que tiene no sólo dos, sino los tres lados y ángulos iguales. Otro caso especial de un triángulo isósceles es el triángulo rectángulo isósceles.




A continuación tenemos la explicación detallada de lo mencionado anteriormente:



Si se nos da un ángulo con una base de, digamos, 45 °, sabemos que los ángulos de la base son congruentes (tienen la misma medida) y los ángulos interiores de cualquier triángulo siempre suman 180 °. Así que el ángulo en el vértice debe ser 180-45-45 = 90°

Hay muchos tipos de triángulos en el mundo de la geometría. El que estamos tratando en ésta entrada es llamado triángulo isósceles. En un triángulo isósceles, los ángulos de la base tienen la misma medida en grados y son, en consecuencia, iguales. Al mismo tiempo, si dos ángulos de un triángulo tienen la misma medida, a continuación, los lados opuestos a los ángulos son de la misma longitud. La manera más fácil para definir un triángulo isósceles es que tiene dos lados iguales.



TRIÁNGULO RECTÁNGULO - Ejercicios resueltos

TRIÁNGULO RECTÁNGULO - Ejercicios

Un triángulo rectángulo es un triángulo en el que uno de sus ángulo es un ángulo recto (es decir, un ángulo de 90 grados). La relación entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo es la base de la trigonometría.

El lado opuesto al ángulo recto se llama la hipotenusa. Los lados adyacentes al ángulo recto se llaman catetos. Un cateto puede ser identificado como el lado adyacente al ángulo B y opuesto al ángulo A.

Si las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo son números enteros, el triángulo se dice que es un triángulo de Pitágoras y las longitudes de los lados son conocidas como un triple pitagórico.

En la siguiente figura tenemos varios triángulo característicos:

EJERCICIOS RESUELTOS:



Hipotenusa de un triángulo rectángulo.

La hipotenusa es el lado más grande de un triángulo rectángulo y está siempre opuesto al ángulo recto.

la forma más sencilla para la definición es que un triángulo rectángulo tiene un ángulo igual a 90 grados. Un triángulo rectángulo puede ser también un triángulo isósceles, como hemos mostrado en la figura de arriba, lo que significa que tiene dos lados que son iguales. Un triángulo isósceles tiene un ángulo de 90 grados y dos ángulos de 45 grados. Este es el único triángulo rectángulo que es un triángulo isósceles.

Otro triángulo interesante triángulo es el triángulo 30-60-90 grados. La relación del lado más largo de este triángulo y su lado más corto es de dos a uno. Esto quiere decir que el lado más largo es el doble del largo que el lado más corto.

MÁS EJERCICIOS RESUELTOS:


Ecuación de la Elipse - EJERCICIOS RESUELTOS

Ecuación y Elemento de la Elipse. Ejemplos.

Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano tal que la suma de las distancias a partir de T a dos puntos fijos F1 y F2 es una constante dada, K.
TF1 + TF2 = K
F1 y F2 son los focos de la elipse.
El eje mayor es el segmento que contiene tanto los focos y tiene sus extremos en la elipse. Estos extremos se llaman vértices. El punto medio del eje mayor es el centro de la elipse.

El eje menor es perpendicular al eje mayor en el centro, y los puntos finales del eje menor se denominan co-vértices.
Los vértices están en la intersección del eje mayor y la elipse.
Los co-vértices están en la intersección del eje menor y la elipse.

Podemos pensar en una elipse como un óvalo.

Una elipse se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen la siguiente ecuación:



donde:
x, y son las coordenadas de cualquier punto de la elipse,
a, b son el radio en los ejes x e y, respectivamente,

Esta ecuación es muy similar a la que se utiliza para definir un círculo. La única diferencia entre el círculo y la elipse es que en una elipse, hay dos medidas de radio, uno horizontalmente a lo largo del eje x, y otro verticalmente a lo largo del eje y. Claramente, para un círculo estos dos radios tienen el mismo valor.





La forma general de una elipse está dada por la ecuación:

ax2 + by2 + cx + dy + e = 0.

EJERCICIO RESUELTO 1.

Encontrar la ecuación de una elipse centrada en el origen con el eje mayor de longitud 10 situada a lo largo del eje x y con eje menor de longitud 6 a lo largo del eje y.

Solución:
El eje mayor 10 tiene una longitud a lo largo del eje x, la elipse tiene centro en (0,0), por lo que sus puntos finales están en (-5,0) y (5,0). Por lo tanto,

a = 5. Del mismo modo, b = 3. Así que la ecuación de esta elipse es:

x2 y2 x2 y2
---- + ---- = 1 o ---- + ---- = 1
52 32 25 9

EJERCICIO RESUELTO 2.

Describir la curva representada por x2 + 9y2 - 4x - 72y + 139 = 0.

Completar el cuadrado (recuerde que debemos buscar (x - h)2 y (y - k)2).

x2 + 9y2 - 4x - 72y + 139 = 0
(x2 - 4x) + 9(y2 - 8y) + 139 = 0
(x2 - 4x + 4) -4 + 9(y2 - 8y + 16) - 9(16) + 139 = 0
(x - 2)2 + 9(y - 4)2 = 9

(x - 2)2   (y - 4)2
-------- + -------- = 1
    9          1

Luego, (h, k) = (2, 4), a = 3 y b = 1.


Por lo tanto, la ecuación representa una elipse con centro en (2,4), el eje 
mayor paralelo al eje x de longitud 6 y el eje menor paralelo al eje y de 
longitud 2.


MÁS EJERCICIOS RESUELTOS:




PROGRESIÓN GEOMÉTRICA - Ejercicios Resueltos

Ejercicios de Progresión Geométrica.

Una progresión geométrica, también conocida como una secuencia geométrica, es una secuencia de números, donde cada término que viene después del primero se encuentra multiplicando el anterior por un número fijo, diferente de cero llamado la razón común.

Por ejemplo, la secuencia de 2, 6, 18, 54, ... es una progresión geométrica con razón común 3. Del mismo modo 10, 5, 2,5, 1,25, ... es una secuencia geométrica con razón común de un medio. La suma de los términos de una progresión geométrica, se conoce como una serie geométrica.

Ejemplos:



En términos generales una secuencia geométrica es una secuencia donde cualquier elemento después del primero se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante llamada razón común que se denota por r. La razón común (r) se obtiene dividiendo cualquier término por el término anterior, es decir:



Ejemplo, la secuencia 1, 3, 9, 27, 81 es una secuencia geométrica. Tenga en cuenta que después del primer término, el siguiente término se obtiene multiplicando el elemento anterior por 3.

Recuerde que una progresión geométrica es una secuencia de números tales que el cociente de cualquiera de los dos miembros sucesivos de la secuencia es una constante denominada la razón común de la secuencia.

EJERCICIOS DE MATEMÁTICA

EJERCICIOS DE MATEMÁTICA - Razonamiento Matemático.

Para esta entrada tenemos varios ejercicios de matemática que pueden ser de mucha utilidad para los exámenes de admisión a las universidades, repaso para el bachillerato, pruebas de admisión en general y preparatoria.

Los ejercicios están explicados de forma detallada con el objetivo que sean fáciles de entender y seguir algunos pasos importantes para otros problemas similares.


En los ejemplos encontrará diferentes ejercicios que le ayudarán a familiarizarse con los tipos de problemas que aparecen en las diferentes pruebas de aptitud.


EJERCICIO RESUELTO 1.

El triplo de la suma de dos números es 63, y el número mayor es seis veces el menor. Entonces el núero mayor es:

a) 9 b) 18 c) 27 d) 42



EJERCICIO RESUELTO 2.

Cuatro pintores de brocha gorda pintan una casa en seis días. ¿Cuántos días demorarán 12 pintores en pintar una casa igual a ésta, si mantienen ese ritmo?

a) 2 días b) 4 días c) 6 días d) 12 días



EJERCICIO RESUELTO 3.

El largo del puente A es tres veces el largo del puente B. Si las longitudes de ambos puentes suman ciento veinte metros, la longitud del puente más largo es de:

a) 30 metros b) 40 metros c) 80 metros d) 90 metros



EJERCICIO RESUELTO 4.

En un grupo de amigos cada uno pesaba setenta kilogramos. Ellos decidieron hacer una dieta diferente cada uno, para saber cuál era la mejor. Pedro hizo la diete del apio y siete días después pesaba 69,88 kilogramos; Hugo hizo la de la cebolla y cinco días después pesaba 69,91 kilogramos; Sandra hizo la del perejil y a los once días pesaba 69,86 kilogramos y Luisa hizo la del tomate y a los nueve días pesaba 69,87 kilogramos. Según ésto la dieta más efectiva fué:

a) apio b) cebolla c) tomate d) perejil



EJERCICIO RESUELTO 5.

En cuatro días un hombre recorrió 120 kilómetros. Si cada día avanzó un tercio de lo que anduvo el día anterior, en el segundo día recorrió:

a) 27 kilómetros b) 30 kilómetros c) 60 kilómetros d) 81 kilómetros