7.2.13

Integrales por Sustitución

Integrales por Sustitución

Comenzamos empleando dos ejercicios para ver los tipos de radicales, los analizamos y vemos que provienen de un teorema de Pitágoras. Observando los radicales de los ambos ejercicios, podemos ver que, por el signo de un radical que está sumando se trata de una hipotenusa en un triángulo, y en el otro radical que se está restando se trata de un cateto en un triángulo. Dependiendo del signo del radical se deduce que, si se está restando dos cuadrados perfectos puede tratarse de un cateto, y si se están sumando dos cuadrados perfectos pude tratarse de una hipotenusa, todo depende del signo del radical.

Para esta sustitución vamos a recurrir a triángulos, triángulos rectángulos y a tres funciones trigonométricas, pues en esto consiste el método. Como se trata de teorema de Pitágoras, procederemos a dibujar un triángulo rectángulo con sus respectivas características, como lo son sus medidas y un ángulo agudo que le vamos a llamar teta, que va ser la nueva variable que vamos a sustituir, para que nos quede una integral más sencilla. El objetivo de este método es quitar el radical.

Una vez dibujamos el triángulo ubicamos las medidas de los catetos y de la hipotenusa, luego debemos encontrar una expresión para ''x'' en términos trigonométricos. Hallada la expresión para ''x'' debemos procurar que quede en el numerador y que la raíz no aparezca. Buscamos una expresión para ''x'', para poder sustituirla.




Segundo Parte
Ahora despejamos ''x'', sacamos el diferencial, lo derivamos, preparamos el radical y una vez tenemos a que equivale el radical, reescribimos la integral original, simplificamos y resolvemos, el resultado que está nos dé, lo debemos pasar a los términos de la variable original, que es ''x''. No lo podemos dejar en términos trigonométricos, pues esto no nos lo pidieron ni preguntaron, por esta razón debemos retornar a términos de ''x'' que es la variable original



Tercera Parte
Siempre que en el radical tengamos una suma utilizamos tangente, analizando el radical vemos que proviene de un teorema de Pitágoras, por lo cual, procederemos a realizar un triángulo con sus respectivas características.
En casos de que el radical tenga una resta, procedemos hacer la resta y poner las etiquetas en el triángulo, por medio de tres principales funciones trigonométricas (tan, sec y sen), pues estas son las más viables a la hora de simplificar.
Una vez definida la expresión, debemos procurar que no queden los radicales, y que ''x'' no quede en el denominador.
Sea cual sea el caso, con las tres principales funciones trigonométricas (ya mencionadas anteriormente), la ''x'' queda de cateto opuesto o de hipotenusa, dependiendo de cómo se representa.



Cuarta Parte
Para resolver este ejercicio debemos mirar y analizar el mejor método para resolverlo, en este caso es por sustitución trigonométrica. El radical nos permite ver que proviene de un teorema de Pitágoras ya que, sus características tienen un cuadrado, un signo de ''+'' o ''-'' y otro cuadrado. Por lo tanto procedemos a realizar el triángulo con sus respectivas etiquetas, por medio de las tres principales funciones trigonométricas, ya mencionadas. Despejamos ''x'' y pasamos al diferencial de ''x'' o ''dx''. Reescribimos la integral y simplificamos.



Quinta Parte
Del resultado que nos arroja la simplificación, debemos pasar a los términos de la variable original, que es ''x''. Porque recordemos que no se puede dejar en términos trigonométricos, pues esto no nos lo pidieron ni preguntaron, por esta razón debemos retornar a términos de ''x'' que es la variable original.